Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:
- векторного простору (це модуль над полем);
- комутативної групи (це модуль над кільцем цілих чисел );
- ідеала кільця (це модуль, що є підкільцем).
Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.
Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні серед всіх цілих чисел.
Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.
Визначення
Коли задано кільце , то
-модулем називається абелева група
з додатковою операцією множення на елементи кільця
,
що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності
,
,
,
.
Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:
.
Підмодуль, ідеал та гомоморфізм
- Підмодулем модуля
називається підгрупа групи
, замкнута відносно множення на елементи з
.
- Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (
), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
- Гомоморфізмом
-модулів
та
називається гомоморфізм груп
, для якого виконується умова
. Множину всіх таких гомоморфізмів позначають
.
Приклади
- Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (
-модуль).
- Лінійний простір над полем
є модулем над полем
.
- Лінійний простір
— модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень
.
Історія
Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.
Див. також
Джерела
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Modul nad kilcem algebrichna struktura v abstraktnij algebri sho ye uzagalnennyam ponyat vektornogo prostoru ce modul nad polem komutativnoyi grupi ce modul nad kilcem cilih chisel Z displaystyle mathbb Z ideala kilcya ce modul sho ye pidkilcem Nazvi ideal ta modul pohodyat z modulnoyi arifmetiki a same z kratnosti za modulem Idealom kilcya ye jogo pidkilce zamknene vidnosno mnozhennya na elementi kilcya Napriklad chisla kratni n displaystyle n sered vsih cilih chisel Bagato rezultativ dlya idealiv ye spravedlivimi yaksho pribrati mnozhennya a zalishiti tilki kratnist elementiv tobto zaminiti pidkilce do nezalezhnu komutativnu grupu ViznachennyaKoli zadano kilce R displaystyle R to R displaystyle R modulem nazivayetsya abeleva grupa M displaystyle M z dodatkovoyu operaciyeyu mnozhennya na elementi kilcya R M M displaystyle R times M to M sho zadovilnyaye umovi distributivnosti ta asociativnosti m1 m2 M r1 r2 R displaystyle forall m 1 m 2 in M r 1 r 2 in R r m1 m2 rm1 rm2 displaystyle r m 1 m 2 rm 1 rm 2 r1 r2 m r1m r2m displaystyle r 1 r 2 m r 1 m r 2 m r1r2 m r1 r2m displaystyle r 1 r 2 m r 1 r 2 m 1R m m displaystyle 1 R cdot m m Yaksho kilce ye nekomutativnim to takij modul nazivayetsya livim Dlya viznachennya pravogo modulya zaminyuyut umovu 3 na m r1r2 mr1 r2 displaystyle m r 1 r 2 mr 1 r 2 Pidmodul ideal ta gomomorfizmPidmodulem modulya MR displaystyle M R nazivayetsya pidgrupa grupi M displaystyle M zamknuta vidnosno mnozhennya na elementi z R displaystyle R Yaksho kilce rozglyadati yak livij modul nad soboyu R M displaystyle R M todi jogo pidmoduli ye livimi idealami yaksho kilce rozglyadati yak pravij modul pravimi idealami V komutativnomu kilci livi i pravi ideali zbigayutsya Gomomorfizmom R displaystyle R moduliv A displaystyle A ta B displaystyle B nazivayetsya gomomorfizm grup f A B displaystyle f colon A to B dlya yakogo vikonuyetsya umova f ra rf a a A r R displaystyle f ra rf a forall a in A r in R Mnozhinu vsih takih gomomorfizmiv poznachayut HomR A B displaystyle mathrm Hom R A B PrikladiAbeleva grupa modul nad kilcem cilih chisel Z displaystyle mathbb Z modul Linijnij prostir nad polem F displaystyle F ye modulem nad polem F displaystyle F Linijnij prostir V displaystyle V modul nad kilcem vsih svoyih linijnih peretvoren L V displaystyle L V IstoriyaNajprostishi Z displaystyle mathbb Z moduli zustrichayutsya vzhe v robotah Gausa Ponyattya modulya zustrichayetsya vpershe v 60 80 h rokah 19 st v robotah Dedekinda ta Kronekera U toj zhe chas provodilos doslidzhennya skinchennomirnih asociativnih algebr Pirs Frobenius sho prizvelo do vivchennya idealiv deyakih nekomutativnih kilec Spochatku teoriya moduliv rozvivalas yak teoriya idealiv deyakogo kilcya lishe v robotah Emmi Neter bulo zamicheno sho bagato rezultativ mozhna zformulyuvati dlya dovilnih moduliv a ne tilki idealiv Div takozhBimodulDzherelaVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi