Кратність (термін) — це властивість, яка показує, скільки разів одне число можна поділити на інше без залишку. Наприклад, якщо ми беремо число 3, кожне число, яке можна отримати, помноживши 3 на інше натуральне число (наприклад, можна отримати 3, 6, 9, 12 і т. д.), буде кратним числу 3, оскільки вони діляться на нього без залишку.
Важливо відзначити, що будь-яке натуральне число має нескінченну кількість кратних. Найменшим кратним числа є саме це число, але найбільше кратне числа не можна визначити, оскільки кратні можуть бути нескінченно великими.
Кратність простого множника
При розкладені на прості множники, кратність простого множника — це його [en]. Наприклад, простий множник цілого числа 60 є
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5,
кратність простого множника 2 дорівнює 2, тоді як кратність кожного з простих множників 3 і 5 дорівнює 1. Таким чином, 60 має чотири прості множники з урахуванням кратності, але лише три різні прості множники.
Кратність кореня многочлена
Нехай — поле, а — поліном від однієї змінної із коефіцієнтами у . Елемент є коренем кратності для , якщо існує такий поліном , що і . Якщо , то називається простим коренем. Якщо , то називається кратним коренем порядку або коренем кратності .
Наприклад, поліном має корені 1 і −4, і його можна записати як . Це означає, що 1 є коренем кратності 2, а −4 є простим коренем (кратності 1). Кратність кореня — це кількість входжень цього кореня при розкладенні полінома на множники відповідно до основної теореми алгебри.
Якщо є коренем кратності якогось поліному, то він буде коренем кратності для похідної цього полінома, якщо тільки характеристика основного поля не є дільником k, у такому випадку є коренем з кратність принаймні для похідної цього полінома.
Дискримінант полінома дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли поліном має кратний корінь.
Поведінка поліноміальної функції поблизу кратного кореня
Графік поліноміальної функції f перетинає або торкається осі x у тих точках, де є корені полінома. Якщо корінь полінома є кратним, графік є дотичним до осі x, якщо корінь є простим, то графік f не торкається осі у цій точці x. Графік перетинає вісь x в коренях з непарною кратністю і не перетинає її в коренях з парною кратністю.
Ненульова поліноміальна функція завжди невід'ємна тоді і тільки тоді, коли всі її корені мають парну кратність і існує такий, що .
Кратність розв'язку нелінійної системи рівнянь
Рівняння має розв'язок лише для одного значення змінної — кратності , якщо
- і
Іншими словами, диференціальний функціонал , визначений як похідна функції у точці , обертається в нуль в для від 1 до . Ці диференціальні функціонали охоплюють векторний простір, який називається двоїстим простором Маколея в , а його розмірність дорівнює кратності як нуля .
Нехай — система рівнянь із змінними з розв'язком , де є відображенням або . Існує також подвійний простір Маколея диференціальних функціоналів в , в якому кожен функціонал обертається у нуль . Розмірність цього дуального простору Маколея є кратністю розв'язку рівняння . Двоїстий простір Маколея формує структуру кратності розв'язку системи.
Наприклад, буде розв'язком системи рівнянь , де
Цей корінь має кратність 3, оскільки двоїстий простір Маколея
має розмірність 3, де позначає диференціальний функціонал , застосований до функції в точці .
Кратність завжди скінченна, якщо розв'язок є ізольованим, є інваріантною до зміни параметрів у тому сенсі, що -кратний розв'язок стає кластером розв'язків із сумарною кратністю під час зміни параметрів у комплексних просторах і тотожна кратності перетину для поліноміальних систем.
Кратність перетину
В алгебраїчній геометрії перетин двох підмноговидів алгебраїчної множини є скінченним об'єднанням [en]. Кожній складовій такого перетину приписується «множина кратності». Це поняття є [en] у тому розумінні, що його можна визначити, розглядаючи події в околі будь-якої [en] цієї складової. З цього випливає, що без втрати загальності ми можемо розглядати, для визначення множинної кратності перетину, перетин двох афінних многовидів (підмноговидів афінного простору).
Таким чином, маючи два афінних многовиди V1 і V2, розглянемо нерозкладну складову W перетину з V1 і V2. Нехай d — розмірність W, а P — будь-яка загальна точка W. Перетин W з гіперплощиною d в загальному положенні, яка проходить через P, має нерозкладену складову, яка зводиться до однієї точки P . Отже, локальне кільце в цій компоненті координатного кільця перетину має лише один простий ідеал, і тому є кільцем Артіна. Це кільце є кінцево-вимірним векторним простором над базовим полем. Його розмірність — це множинна кратність перетину V1 і V2 у W.
Це визначення дозволяє нам точно сформулювати теорему Безу та її узагальнення.
Наведене визначення узагальнює кратність кореня полінома наступним чином. Корені полінома f — це точки на афінній прямій, які є компонентами алгебраїчної множини, заданої многочленом. Координатне кільце цієї афінної множини має вигляд де K — алгебраїчно замкнуте поле, що містить коефіцієнти f. Якщо — розкладення полінома f, тоді локальне кільце R відносно простого ідеалу буде є Це векторний простір над K, розмірність якого відповідає кратності кореня.
Це визначення кратності перетину, яке, по суті, належить Жан-П'єр Серру, описане у його книзі «Локальна алгебра», працює лише для теоретико-множинних компонент (також їх називають «ізольованими компонентами») перетину, а не для вбудованих компонент. Були розроблені теорії для роботи з вбудованими компонентами (див. [en] для більш детальної інформації).
У комплексному аналізі
Нехай z0 є коренем голоморфної функції f, а n — найменше додатне ціле число таке, що n-та похідна f, обчислена як z0, відрізняється від нуля. Тоді ряд Лорана для функції f в околі точки z0 починається з n-го члена, і кажуть, що у функції f є корінь кратності (або «порядку») n.
Якщо n=1, то корінь називається простим.
Ми також можемо визначити кратність нулів та полюсів мероморфної функції. Якщо у нас є мероморфна функція де g і h — це функції, візьмемо ряди Тейлора g і h в околі точки z0, і знайдемо перший ненульовий член у кожному з них (позначимо порядок цих членів як m і n відповідно). Якщо m=n, то точка має ненульове значення. Якщо точка є нулем кратності Якщо , то точка має полюс кратності .
Див. також
Примітки
- D.J. Бейтс, А.Дж. Sommese, J.D. Hauenstein і C.W. Wampler (2013). Чисельне розв’язування поліноміальних систем із Бертіні. SIAM. с. 186—187.
- B.H. Дейтон, Т.-Й. Li and Z. Zeng (2011). Кілька нулів нелінійних систем. Mathematics of Computation. 80 (276): 2143—2168. arXiv:2103.05738. doi:10.1090/s0025-5718-2011-02462- 2. S2CID 9867417.
{{}}
: Перевірте значення|doi=
() - Macaulay, F.S. (1916). Алгебраїчна теорія модульних систем. Cambridge Univ. Press 1994, перевидання оригіналу 1916.
- (Krantz 1999, стор. 70)
Джерела
- Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN . (укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kratnist termin ce vlastivist yaka pokazuye skilki raziv odne chislo mozhna podiliti na inshe bez zalishku Napriklad yaksho mi beremo chislo 3 kozhne chislo yake mozhna otrimati pomnozhivshi 3 na inshe naturalne chislo napriklad mozhna otrimati 3 6 9 12 i t d bude kratnim chislu 3 oskilki voni dilyatsya na nogo bez zalishku Vazhlivo vidznachiti sho bud yake naturalne chislo maye neskinchennu kilkist kratnih Najmenshim kratnim chisla ye same ce chislo ale najbilshe kratne chisla ne mozhna viznachiti oskilki kratni mozhut buti neskinchenno velikimi Kratnist prostogo mnozhnikaPri rozkladeni na prosti mnozhniki kratnist prostogo mnozhnika ce jogo en Napriklad prostij mnozhnik cilogo chisla 60 ye 60 2 2 3 5 kratnist prostogo mnozhnika 2 dorivnyuye 2 todi yak kratnist kozhnogo z prostih mnozhnikiv 3 i 5 dorivnyuye 1 Takim chinom 60 maye chotiri prosti mnozhniki z urahuvannyam kratnosti ale lishe tri rizni prosti mnozhniki Kratnist korenya mnogochlenaNehaj F displaystyle F pole a p x displaystyle p x polinom vid odniyeyi zminnoyi iz koeficiyentami u F displaystyle F Element a F displaystyle a in F ye korenem kratnosti k displaystyle k dlya p x displaystyle p x yaksho isnuye takij polinom s x displaystyle s x sho s a 0 displaystyle s a neq 0 i p x x a k s x displaystyle p x x a k s x Yaksho k 1 displaystyle k 1 to a displaystyle a nazivayetsya prostim korenem Yaksho k 2 displaystyle k geqslant 2 to a displaystyle a nazivayetsya kratnim korenem poryadku k displaystyle k abo korenem kratnosti k displaystyle k Napriklad polinom p x x 3 2 x 2 7 x 4 displaystyle p x x 3 2x 2 7x 4 maye koreni 1 i 4 i jogo mozhna zapisati yak p x x 4 x 1 2 displaystyle p x x 4 x 1 2 Ce oznachaye sho 1 ye korenem kratnosti 2 a 4 ye prostim korenem kratnosti 1 Kratnist korenya ce kilkist vhodzhen cogo korenya pri rozkladenni polinoma na mnozhniki vidpovidno do osnovnoyi teoremi algebri Yaksho a displaystyle a ye korenem kratnosti k displaystyle k yakogos polinomu to vin bude korenem kratnosti k 1 displaystyle k 1 dlya pohidnoyi cogo polinoma yaksho tilki harakteristika osnovnogo polya ne ye dilnikom k u takomu vipadku a displaystyle a ye korenem z kratnist prinajmni k displaystyle k dlya pohidnoyi cogo polinoma Diskriminant polinoma dorivnyuye nulyu todi i tilki todi koli polinom maye kratnij korin Povedinka polinomialnoyi funkciyi poblizu kratnogo korenya Grafik funkciyi y x3 2x2 7x 4 maye prostij korin kratnist 1 u tochci x 4 ta korin kratnosti 2 u tochci x 1 Grafik peretinaye vis x u tochci z prostim korenem x 4 Pri comu u tochci z korenem kratnosti 2 grafik ye dotichnim do visi x ale ne peretinaye yiyi oskilki kratnist cogo korenya ye parnim chislom Grafik polinomialnoyi funkciyi f peretinaye abo torkayetsya osi x u tih tochkah de ye koreni polinoma Yaksho korin polinoma ye kratnim grafik ye dotichnim do osi x yaksho korin ye prostim to grafik f ne torkayetsya osi u cij tochci x Grafik peretinaye vis x v korenyah z neparnoyu kratnistyu i ne peretinaye yiyi v korenyah z parnoyu kratnistyu Nenulova polinomialna funkciya zavzhdi nevid yemna todi i tilki todi koli vsi yiyi koreni mayut parnu kratnist i isnuye x 0 displaystyle x 0 takij sho f x 0 gt 0 displaystyle f x 0 gt 0 Kratnist rozv yazku nelinijnoyi sistemi rivnyanRivnyannya f x 0 displaystyle f x 0 maye rozv yazok lishe dlya odnogo znachennya zminnoyi x displaystyle x kratnosti k displaystyle k yaksho f x f x f k 1 x 0 displaystyle f x f x cdots f k 1 x 0 i f k x 0 displaystyle f k x neq 0 Inshimi slovami diferencialnij funkcional j displaystyle partial j viznachenij yak pohidna 1 j d j d x j displaystyle frac 1 j frac d j dx j funkciyi u tochci x displaystyle x obertayetsya v nul v f displaystyle f dlya j displaystyle j vid 1 do k 1 displaystyle k 1 Ci diferencialni funkcionali 0 1 k 1 displaystyle partial 0 partial 1 cdots partial k 1 ohoplyuyut vektornij prostir yakij nazivayetsya dvoyistim prostorom Makoleya v x displaystyle x a jogo rozmirnist dorivnyuye kratnosti x displaystyle x yak nulya f x displaystyle f x Nehaj f x 0 displaystyle mathbf f mathbf x mathbf 0 sistema m displaystyle m rivnyan iz n displaystyle n zminnimi z rozv yazkom x displaystyle mathbf x de f displaystyle mathbf f ye vidobrazhennyam R n R m displaystyle mathbb R n to mathbb R m abo C n C m displaystyle mathbb C n to mathbb C m Isnuye takozh podvijnij prostir Makoleya diferencialnih funkcionaliv v x displaystyle mathbf x v yakomu kozhen funkcional obertayetsya u nul f displaystyle mathbf f Rozmirnist cogo dualnogo prostoru Makoleya ye kratnistyu rozv yazku x displaystyle mathbf x rivnyannya f x 0 displaystyle mathbf f mathbf x mathbf 0 Dvoyistij prostir Makoleya formuye strukturu kratnosti rozv yazku sistemi Napriklad x 0 0 displaystyle mathbf x 0 0 bude rozv yazkom sistemi rivnyan f x 0 displaystyle mathbf f mathbf x mathbf 0 de f x sin x 1 x 2 x 1 2 x 1 sin x 2 x 2 2 displaystyle mathbf f mathbf x left begin array c sin x 1 x 2 x 1 2 x 1 sin x 2 x 2 2 end array right Cej korin maye kratnist 3 oskilki dvoyistij prostir Makoleya s p a n 00 10 01 10 20 11 02 displaystyle span partial 00 partial 10 partial 01 partial 10 partial 20 partial 11 partial 02 maye rozmirnist 3 de i j displaystyle partial ij poznachaye diferencialnij funkcional 1 i j i j x 1 i x 2 j displaystyle frac 1 i j frac partial i j partial x 1 i partial x 2 j zastosovanij do funkciyi f displaystyle mathbf f v tochci x 0 0 displaystyle mathbf x 0 0 Kratnist zavzhdi skinchenna yaksho rozv yazok ye izolovanim ye invariantnoyu do zmini parametriv u tomu sensi sho k displaystyle k kratnij rozv yazok staye klasterom rozv yazkiv iz sumarnoyu kratnistyu k displaystyle k pid chas zmini parametriv u kompleksnih prostorah i totozhna kratnosti peretinu dlya polinomialnih sistem Kratnist peretinuDokladnishe en V algebrayichnij geometriyi peretin dvoh pidmnogovidiv algebrayichnoyi mnozhini ye skinchennim ob yednannyam en Kozhnij skladovij takogo peretinu pripisuyetsya mnozhina kratnosti Ce ponyattya ye en u tomu rozuminni sho jogo mozhna viznachiti rozglyadayuchi podiyi v okoli bud yakoyi en ciyeyi skladovoyi Z cogo viplivaye sho bez vtrati zagalnosti mi mozhemo rozglyadati dlya viznachennya mnozhinnoyi kratnosti peretinu peretin dvoh afinnih mnogovidiv pidmnogovidiv afinnogo prostoru Takim chinom mayuchi dva afinnih mnogovidi V1 i V2 rozglyanemo nerozkladnu skladovu W peretinu z V1 i V2 Nehaj d rozmirnist W a P bud yaka zagalna tochka W Peretin W z giperploshinoyu d v zagalnomu polozhenni yaka prohodit cherez P maye nerozkladenu skladovu yaka zvoditsya do odniyeyi tochki P Otzhe lokalne kilce v cij komponenti koordinatnogo kilcya peretinu maye lishe odin prostij ideal i tomu ye kilcem Artina Ce kilce ye kincevo vimirnim vektornim prostorom nad bazovim polem Jogo rozmirnist ce mnozhinna kratnist peretinu V1 i V2 u W Ce viznachennya dozvolyaye nam tochno sformulyuvati teoremu Bezu ta yiyi uzagalnennya Navedene viznachennya uzagalnyuye kratnist korenya polinoma nastupnim chinom Koreni polinoma f ce tochki na afinnij pryamij yaki ye komponentami algebrayichnoyi mnozhini zadanoyi mnogochlenom Koordinatne kilce ciyeyi afinnoyi mnozhini maye viglyad R K X f displaystyle R K X langle f rangle de K algebrayichno zamknute pole sho mistit koeficiyenti f Yaksho f X i 1 k X a i m i displaystyle f X prod i 1 k X alpha i m i rozkladennya polinoma f todi lokalne kilce Rvidnosno prostogo idealu bude X a i displaystyle langle X alpha i rangle ye K X X a m i displaystyle K X langle X alpha m i rangle Ce vektornij prostir nad K rozmirnist yakogo vidpovidaye kratnosti m i displaystyle m i korenya Ce viznachennya kratnosti peretinu yake po suti nalezhit Zhan P yer Serru opisane u jogo knizi Lokalna algebra pracyuye lishe dlya teoretiko mnozhinnih komponent takozh yih nazivayut izolovanimi komponentami peretinu a ne dlya vbudovanih komponent Buli rozrobleni teoriyi dlya roboti z vbudovanimi komponentami div en dlya bilsh detalnoyi informaciyi U kompleksnomu analiziNehaj z0 ye korenem golomorfnoyi funkciyi f a n najmenshe dodatne cile chislo take sho n ta pohidna f obchislena yak z0 vidriznyayetsya vid nulya Todi ryad Lorana dlya funkciyi f v okoli tochki z0 pochinayetsya z n go chlena i kazhut sho u funkciyi f ye korin kratnosti abo poryadku n Yaksho n 1 to korin nazivayetsya prostim Mi takozh mozhemo viznachiti kratnist nuliv ta polyusiv meromorfnoyi funkciyi Yaksho u nas ye meromorfna funkciya f g h textstyle f frac g h de g i h ce funkciyi vizmemo ryadi Tejlora g i h v okoli tochki z0 i znajdemo pershij nenulovij chlen u kozhnomu z nih poznachimo poryadok cih chleniv yak m i n vidpovidno Yaksho m n to tochka maye nenulove znachennya Yaksho m gt n displaystyle m gt n tochka ye nulem kratnosti m n displaystyle m n Yaksho m lt n displaystyle m lt n to tochka maye polyus kratnosti n m displaystyle n m Div takozhNajmenshe spilne kratne Najbilshij spilnij dilnikPrimitkiD J Bejts A Dzh Sommese J D Hauenstein i C W Wampler 2013 Chiselne rozv yazuvannya polinomialnih sistem iz Bertini SIAM s 186 187 B H Dejton T J Li and Z Zeng 2011 Kilka nuliv nelinijnih sistem Mathematics of Computation 80 276 2143 2168 arXiv 2103 05738 doi 10 1090 s0025 5718 2011 02462 2 S2CID 9867417 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Perevirte znachennya doi dovidka Macaulay F S 1916 Algebrayichna teoriya modulnih sistem Cambridge Univ Press 1994 perevidannya originalu 1916 Krantz 1999 stor 70 DzherelaDrozd Yu A 1997 Teoriya algebrichnih chisel PDF Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 82 ISBN 966 594 019 8 ukr