У математиці Ряд Те́йлора — представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlUwTDFOcGJuUmhlVjlUVmtjdWMzWm5Mek13TUhCNExWTnBiblJoZVY5VFZrY3VjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Концепція ряду Тейлора була сформульована шотландським математиком Джеймсом Грегорі і офіційно представлена англійським математиком Бруком Тейлором в 1715 році. Якщо ряд Тейлора з центром в нулі, то цей ряд також називається рядом Маклорена, який названий на честь шотландського математика Маклорена, який широко використав цей особливий випадок ряду Тейлора в 18-му столітті.
Функція може бути апроксимована за допомогою скінченного числа членів ряду Тейлора. Теорема Тейлора дає кількісні оцінки похибок, які вносяться за допомогою використання такого наближення. Поліном, утворений з деяких початкових членів ряду Тейлора, називається многочленом Тейлора. Ряд Тейлора функції є границею поліномів Тейлора цієї функції у міру збільшення міри, за умови, що існує границя. Функція може не дорівнювати її ряду Тейлора, навіть якщо ряд збігається в кожній точці. Функція, яка дорівнює її ряду Тейлора у відкритому інтервалі (чи в колі в комплексній площині), називається аналітичною в цьому інтервалі.
Визначення
Рядом Тейлора дійсної або комплексної функції , яка є нескінченно диференційовною в околі точки
, називається степеневий ряд
який може бути записаний компактно:
де означає факторіал
і
означає
-ну похідну
в точці
. Похідна нульового порядку
тут визначається як сама функція
, тому що
і
дорівнюють
.
При цей ряд також називають рядом Маклорена.
Приклад
Ряд Маклорена для будь-якого многочлена є самим многочленом. Ряд Маклорена — геометрична прогресія:
так що ряд Тейлора для при
є
Інтегруючи наведений вище Маклорена, ми отримуємо ряд Маклорена для , де
означає натуральний логарифм:
і відповідний ряд Тейлора для при
У загальному випадку, відповідний ряд Тейлора для в ненульовій точці
дорівнює:
Ряд Тейлора для експоненти при
дорівнює
Розклад вище правильний, оскільки похідна по
також
і
дорівнюють
. Це залишає вирази
у чисельнику і
у знаменнику для кожного члена у нескінченній сумі.
Історія
Грецький філософ Зенон розглядав проблему знаходження суми нескінченного ряду для досягнення скінченного результату, але відхилив його як неможливе: результатом був парадокс Зенона. Пізніше Арістотель запропонував філософський розв'язок парадоксу, але математичний зміст не з'ясував. Його отримав Архімед, як це було зроблено до Арістотеля атомістом Демокрітом. Завдяки методу вичерпування Архімеда, нескінченну кількість поділів можна виконати для досягнення скінченного результату. Китайський математик Лю Хуей незалежно використав схожий метод через декілька століть.
Уперше використав ряди Тейлора і тісно пов'язані з ними методи у 14-му столітті Мадхаве з Сандамаграми. Хоча жоден звіт про його роботу не уцілів, праці пізніших [en] свідчать про те, що він виявив ряд особливих випадків рядів Тейлора, у тому числі для тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса і арктангенса. Керальска школа астрономії і математики до 16-го століття розвивала його роботи, збільшуючи кількість розкладів у ряди і раціональні наближення.
У 17-му столітті, Джеймс Грегорі також працював в цій галузі і опублікував декілька рядів Маклорена. Проте лише в 1715 році Брук Тейлор запропонував загальний метод побудови цих рядів для усіх функцій, для яких вони існують,, на честь якого тепер названо ці ряди.
Ряд Маклорена було названо на честь Коліна Маклорена, професора з Единбургу, який опублікував спеціальний випадок ряду Тейлора у 18-му столітті.
Аналітичні функції
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk5qTDBWNGNGOXVaV2RmYVc1MlpYSnpaVjl6Y1hWaGNtVXVjM1puTHpJd01IQjRMVVY0Y0Y5dVpXZGZhVzUyWlhKelpWOXpjWFZoY21VdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Якщо задається збіжним степеневим рядом у відкритому крузі (або в інтервалі дійсної прямої) з центром в точці
на комплексній площині, то вона називається аналітичною в цьому крузі. Таким чином, для
в цьому крузі
визначається збіжним степеневим рядом
Диференціюючи по наведені вище формули
разів, та підставляючи
маємо:
і тому розклад цієї функції в степеневий ряд збігається з її рядом Тейлора. Таким чином, функція є аналітичною у відкритому крузі з центром в точці тоді і тільки тоді, коли її ряд Тейлора збігається до значення функції в кожній точці заданого круга.
Якщо дорівнює її ряду Тейлора для всіх
в комплексній площині, то вона називається цілою. Многочлени, експоненційна функція
і тригонометричні функції синус і косинус, є прикладами цілих функцій. Функції, такі як квадратний корінь, логарифм, тригонометричні функції тангенс та арктангенс не є цілими. Для цих функцій ряд Тейлора не збігається, якщо
далеко від
. Тобто, ряд Тейлора [en] в точці
, якщо відстань між
і
більше, ніж його радіус збіжності. Ряд Тейлора можна використовувати для обчислення значення цілої функції в кожній точці, якщо лише в одній точці відомі значення функції і всіх її похідних.
Використання ряду Тейлора для аналітичних функцій включає в себе:
- Часткові суми (поліноми Тейлора) рядів можуть бути використані як наближення функції. Ці наближення стають більш точними при включені чим більшої кількості членів розкладу.
- Диференціювання та інтегрування степенних рядів можна виконати почленно і, отже, досить легко.
- Аналітична функція однозначно продовжується до голоморфної функції у відкритому крузі на комплексній площині. Це робить механізм комплексного аналізу більш доступним.
- (Усіченні) ряди можна використовувати для чисельного обчислення значень функції (часто переробляючи поліном у форму Чебишова і його обчислення за допомогою [en]).
- Алгебраїчні операції легко проводити над функціями, які представлені у вигляді степенних рядів; наприклад, формула Ейлера випливає з розкладу ряду Тейлора для тригонометричних і показових функцій. Цей результат має фундаментальне значення в таких областях, як гармонічний аналіз.
- Апроксимація з використанням декількох перших членів ряду Тейлора може зробити нерозв'язні проблеми розв'язними для обмеженої області; цей підхід часто використовується у фізиці.
Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій
Тут наведено декілька важливих розкладів в ряду Маклорена. Всі ці розклади справедливі для комплексного аргументу .
Експоненційна функція
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell5TDBWNGNGOXpaWEpwWlhNdVoybG1Mekl5TUhCNExVVjRjRjl6WlhKcFpYTXVaMmxtLmdpZg==.gif)
Експонента має такий ряд Маклорена
Він збігається для всіх
Натуральний логарифм
Для натурального логарифму є наступні важливі ряди Маклорена:
Обидва ці ряди збігаються при однак, ряд для
збігається також при
, а ряд для
— при
Геометричний ряд
Геометричний ряд та його похідні мають такі ряди Маклорена:
Всі ці ряди збігаються при
Біноміальний ряд
Біноміальний ряд — це степеневий ряд, вигляду:
з узагальненими біноміальними коефіцієнтами
Цей ряд збігається при для всіх дійсних або комплексних чисел
Якщо то це по суті буде геометричний ряд.
Для і
будуть відповідні ряди Маклорена:
Тригонометричні функції
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkV4TDFSaGVXeHZja052YzBOdmMwVnVhR0Z1WTJWa0xuTjJaeTh4TlRCd2VDMVVZWGxzYjNKRGIzTkRiM05GYm1oaGJtTmxaQzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekEzTDFSaGVXeHZja052YzFCdmJGTldSeTV6ZG1jdk1UVXdjSGd0VkdGNWJHOXlRMjl6VUc5c1UxWkhMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekV5TDFSaGVXeHZja052YzBGc2JGTldSeTV6ZG1jdk1UVXdjSGd0VkdGNWJHOXlRMjl6UVd4c1UxWkhMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Тригонометричні функції та їх обернені мають наступні ряди Маклорена:
Числа , що з’являються в розкладі
, є числами Бернуллі, а
у розкладі
— числа Ейлера.
Гіперболічні функції
Гіперболічні функції мають ряди Маклорена, тісно пов’язані з рядами Маклорена для відповідних тригонометричних функцій:
Числа , що з’являються в розкладі
, є числами Бернуллі.
W-функція Ламберта
W-функція Ламберта має такий ряд Маклорена:
Цей ряд збігається при
Формула Тейлора
Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора відображає поведінку функції в околі деякої точки.
Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано
Нехай функція для точки
і для деякого натурального числа
задовольняє умовам:
- для всіх
існує
- існує
Тоді справедливе співвідношення
де (o-маленьке) називається залишковим членом у формі Пеано.
Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа
Нехай функція ,
і для деякого натурального числа
для всіх
існує
Тоді для всіх
існує
таке, що
де називається залишковим членом у формі Лагранжа.
Як видно, умови для формули Тейлора з залишковим членом у формі Пеано слабші ніж з залишковим членом у формі Лагранжа.
Формула Тейлора з залишковим членом у формі Коші
Нехай функція ,
і для деякого натурального числа
функція
є
раз неперервно диференційовною на інтервалі
. Тоді для всіх
виконується рівність
де називається залишковим членом у формі Коші або залишковим членом у інтегральній формі.
Обчислення рядів Тейлора
Існує декілька методів обчислення рядів Тейлора. Можна спробувати використати означення ряду, однак цей спосіб часто вимагає узагальнення форми коефіцієнтів. Також можна використовувати такі маніпуляції, як заміна, множення або ділення, додавання або віднімання стандартних рядів Тейлора, щоб побудувати ряд Тейлора функції, оскільки ряд Тейлора є степеневим рядом. У деяких випадках можна знайти ряд Тейлора, багаторазово застосовуючи інтегрування по частинах.
Перший приклад:
Тут використовується метод під назвою «непряме розширення», щоб розширити задану функцію. Цей метод використовує відомий розклад Тейлора експоненти. Щоб розкласти функцію в ряд Тейлора, використаємо відомий ряд Тейлора функції
:
Тому
Другий приклад:
Нехай задано функцію
Знайдемо її формулу Тейлора з точністю до включно.
Перепишемо задану функцію наступним чином:
Формули Тейлора натурального логарифма з точністю до :
і косинуса з точністю до :
.
Підставимо другу формулу в першу:
Оскільки косинус є (парною функцією), то коефіцієнти для всіх непарних степенів x, x3, x5, x7, ... мають дорівнювати нулю.
Третій приклад:
Нехай задано функцію
Знайдемо її ряд Тейлора в точці 0. Для експоненти маємо такий ряд Тейлора:
а для косинуса такий:
В загальному степеневий розклад має такий вигляд:
Тоді множення на її знаменник і підстановка ряду Маклорена косинуса дає наступне:
Групування доданків до четвертого степеня дає
Значення можна знайти шляхом порівняння коефіцієнтів правої частини з відповідними коефіцієнатими розкладу експоненти, що дає:
Наближення і збіжність
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkkyTDFSaGVXeHZjbk5wYm1VdWMzWm5Mek13TUhCNExWUmhlV3h2Y25OcGJtVXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN6TDB4dloxUmhlUzV6ZG1jdk16QXdjSGd0VEc5blZHRjVMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekkzTDB4dloyRnlhWFJvYlY5SFNVWXVaMmxtTHpNd01IQjRMVXh2WjJGeWFYUm9iVjlIU1VZdVoybG0uZ2lm.gif)
Зображений справа графік є наближенням в околі точки
. Рожева крива задається наступним многочленом сьомого степеня:
Похибка в цьому наближенні не перевищує . Для повного періоду з центром в точці
(
), похибка менша за 0.08215. Зокрема, при
, похибка менша ніж 0.000003.
На противагу цьому показано графік функції натурального логарифма і деякі з його многочленів Тейлора в околі точки
. Ці наближення сходяться до функції тільки в області
; за межами цієї області многочлени Тейлора вищих степенів гірше наближені до функції. Це схоже на феномен Рунге.
Похибка, що виникає при наближенні функції її поліномом Тейлора n-го степеня, називається залишком або залишковим многочленом та позначається через . Теорема Тейлора може бути використана для отримання (оцінки для величини залишку).
Загалом, ряд Тейлора не обов'язково має збігатися у всіх точках. Доведено, що множина функцій зі збіжним рядом Тейлора є множиною міри нуль в просторі Фреше гладких функцій. І навіть якщо ряд Тейлора функції дійсно сходиться, то в загальному випадку його сума не обов'язково дорівнює значенню функції
. Наприклад, функція
нескінченно диференційована в точці , і має всі похідні рівні нулю. Отже, ряд Тейлора
при
тотожно дорівнює нулю. Проте,
не нульова функція, так що її ряд Тейлора не дорівнює значенню функції в околі початку координат. Таким чином,
є прикладом [en].
В аналізі функцій дійсної змінної, цей приклад показує, що існують нескінченно диференційовані , для яких ряди Тейлора не рівні
, навіть якщо вони збігаються. На противагу цьому, голоморфні функції, які вивчаються в комплексному аналізі, завжди мають збіжні ряди Тейлора, і навіть ряди Тейлора мероморфних функцій, які можуть мати особливості, ніколи не збігаються до значень, відмінних від значень самої функції. Комплексна функція
не прямує до
при
, що прямує до
вздовж уявної осі, тому вона не є неперервною в комплексній площині і її ряд Тейлора є невизначеним в точці
.
У більш загальному сенсі, будь-яка послідовність дійсних або комплексних чисел може бути коефіцієнтами в ряді Тейлора нескінченно диференційованої функції, заданої на дійсній прямій, внаслідок [en]. В результаті радіус збіжності ряду Тейлора може дорівнювати нулю. Є навіть нескінченно диференційовані функції, визначеної на дійсній прямій, ряд Тейлора якої має радіус збіжності, рівний .
Функцію не можна розкласти в ряд Тейлора в особливій точці; в цих випадках часто використовуються ряди з від'ємними степенями змінної ; див. ряд Лорана. Наприклад,
можна розкласти в ряд Лорана.
Узагальнення
Існує узагальнення ряду Тейлора, що дозволяє збігатися до значення самої функції для будь-якої обмеженої неперервної функції на , використовуючи скінченні різниці. Має місце наступна теорема, яку довів [en], що для будь-якого
,
Тут —
-та скінченна різниця з кроком розміру
. Ряд — це саме ряд Тейлора, за винятком того, що скінченні різниці стоять замість похідних: ряд формально аналогічний ряду Ньютона. Коли функція
є аналітичною в точці
, то члени цього ряду збігаються до членів ряду Тейлора, і в цьому сенсі наведений вище ряд узагальнює звичайний ряд Тейлора.
Загалом, для будь-якої нескінченної послідовності має місце наступна рівність:
Зокрема,
Ряд справа є математичним сподіванням , де
являє собою випадкову величину розподілу Пуассона, яка приймає значення
з ймовірністю
. Отже,
Закон великих чисел виконується, якщо виконується наведена вище тотожність.
Ряд Тейлора для функцій багатьох аргументів
Ряд Тейлора також можна узагальнити для функцій більш ніж однієї змінної
Наприклад, для функції , яка залежить від двох змінних, x і y, ряд Тейлора в точці (a, b) має вигляд
де нижні індекси позначають відповідні часткові похідні.
Розклад скалярної функції з більш ніж однією змінною в ряд Тейлора компактно можна записати як
де D f (a) —це градієнт функції f, обчислений в точці x = a, а D2 f (a) – це матриця Гесе.
Застосовуючи мультиіндекс позначення, ряд Тейлора кількох змінних можна позначити так:
який слід розуміти як скорочену багатоіндексну версію першої формули цього розділу з повною аналогією до випадку однієї змінної.
Приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelEzTDFObFkyOXVaRjlQY21SbGNsOVVZWGxzYjNJdWMzWm5Mekl3TUhCNExWTmxZMjl1WkY5UGNtUmxjbDlVWVhsc2IzSXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Щоб обчислити розклад в ряд Тейлора функції в точці (a, b) = (0, 0) до одночленів другого степеня, спочатку знайдемо всі необхідні часткові похідні:
Обчислення цих похідних у початку координат дає коефіцієнти в ряді Тейлора:
Підставивши ці значення в загальну формулу
отримаємо
Оскільки ln(1 + y) є аналітичною в , то маємо
Порівняння з рядом Фур'є
Тригонометричний ряд Фур'є дозволяє виразити періодичну функцію або функцію, визначену на відрізку , як нескінченну суму тригонометричних функцій (синусів і косинусів). У цьому сенсі ряд Фур'є схожий на ряд Тейлора, оскільки останній дозволяє виразити функцію як нескінченну суму степенів. Тим не менш, ці два ряди відрізняють
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici Ryad Te jlora predstavlennya funkciyi u viglyadi neskinchennoyi sumi dodankiv yaki obchislyuyutsya zi znachen funkcij pohidnih v odnij tochci Oskilki stepin polinoma Tejlora zrostaye vin nablizhayetsya do pravilnoyi funkciyi Ce zobrazhennya pokazuye s i n x displaystyle sin x i yiyi nablizhennya Tejlora mnogochleni stepenya 1 3 5 7 9 11 i 13 Koncepciya ryadu Tejlora bula sformulovana shotlandskim matematikom Dzhejmsom Gregori i oficijno predstavlena anglijskim matematikom Brukom Tejlorom v 1715 roci Yaksho ryad Tejlora z centrom v nuli to cej ryad takozh nazivayetsya ryadom Maklorena yakij nazvanij na chest shotlandskogo matematika Maklorena yakij shiroko vikoristav cej osoblivij vipadok ryadu Tejlora v 18 mu stolitti Funkciya mozhe buti aproksimovana za dopomogoyu skinchennogo chisla chleniv ryadu Tejlora Teorema Tejlora daye kilkisni ocinki pohibok yaki vnosyatsya za dopomogoyu vikoristannya takogo nablizhennya Polinom utvorenij z deyakih pochatkovih chleniv ryadu Tejlora nazivayetsya mnogochlenom Tejlora Ryad Tejlora funkciyi ye graniceyu polinomiv Tejlora ciyeyi funkciyi u miru zbilshennya miri za umovi sho isnuye granicya Funkciya mozhe ne dorivnyuvati yiyi ryadu Tejlora navit yaksho ryad zbigayetsya v kozhnij tochci Funkciya yaka dorivnyuye yiyi ryadu Tejlora u vidkritomu intervali chi v koli v kompleksnij ploshini nazivayetsya analitichnoyu v comu intervali ViznachennyaRyadom Tejlora dijsnoyi abo kompleksnoyi funkciyi f x displaystyle f x yaka ye neskinchenno diferencijovnoyu v okoli tochki a displaystyle a nazivayetsya stepenevij ryad f a f a 1 x a f a 2 x a 2 f a 3 x a 3 displaystyle f a frac f a 1 x a frac f a 2 x a 2 frac f a 3 x a 3 cdots yakij mozhe buti zapisanij kompaktno n 0 f n a n x a n displaystyle sum n 0 infty frac f n a n x a n de n displaystyle n oznachaye faktorial n displaystyle n i f n a displaystyle f n a oznachaye n displaystyle n nu pohidnu f displaystyle f v tochci a displaystyle a Pohidna nulovogo poryadku f displaystyle f tut viznachayetsya yak sama funkciya f displaystyle f tomu sho x a 0 displaystyle x a 0 i 0 displaystyle 0 dorivnyuyut 1 displaystyle 1 Pri a 0 displaystyle a 0 cej ryad takozh nazivayut ryadom Maklorena PrikladRyad Maklorena dlya bud yakogo mnogochlena ye samim mnogochlenom Ryad Maklorena 1 x 1 displaystyle 1 x 1 geometrichna progresiya 1 x x 2 x 3 displaystyle 1 x x 2 x 3 cdots tak sho ryad Tejlora dlya x 1 displaystyle x 1 pri a 1 displaystyle a 1 ye 1 x 1 x 1 2 x 1 3 displaystyle 1 x 1 x 1 2 x 1 3 cdots Integruyuchi navedenij vishe Maklorena mi otrimuyemo ryad Maklorena dlya ln 1 x displaystyle ln 1 x de ln displaystyle ln oznachaye naturalnij logarifm x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 displaystyle x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots i vidpovidnij ryad Tejlora dlya ln x displaystyle ln x pri a 1 displaystyle a 1 x 1 1 2 x 1 2 1 3 x 1 3 1 4 x 1 4 displaystyle x 1 frac 1 2 x 1 2 frac 1 3 x 1 3 frac 1 4 x 1 4 cdots U zagalnomu vipadku vidpovidnij ryad Tejlora dlya ln x displaystyle ln x v nenulovij tochci a x 0 displaystyle a x 0 dorivnyuye ln x 0 1 x 0 x x 0 1 x 0 2 x x 0 2 2 displaystyle ln x 0 frac 1 x 0 x x 0 frac 1 x 0 2 frac x x 0 2 2 cdots Ryad Tejlora dlya eksponenti e x displaystyle e x pri a 0 displaystyle a 0 dorivnyuye 1 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 1 x x 2 2 x 3 6 x 4 24 x 5 120 n 0 x n n displaystyle 1 frac x 1 1 frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 frac x 5 5 cdots 1 x frac x 2 2 frac x 3 6 frac x 4 24 frac x 5 120 cdots sum n 0 infty frac x n n Rozklad vishe pravilnij oskilki pohidna e x displaystyle e x po x displaystyle x takozh e x displaystyle e x i e 0 displaystyle e 0 dorivnyuyut 1 displaystyle 1 Ce zalishaye virazi x 0 n displaystyle x 0 n u chiselniku i n displaystyle n u znamenniku dlya kozhnogo chlena u neskinchennij sumi IstoriyaGreckij filosof Zenon rozglyadav problemu znahodzhennya sumi neskinchennogo ryadu dlya dosyagnennya skinchennogo rezultatu ale vidhiliv jogo yak nemozhlive rezultatom buv paradoks Zenona Piznishe Aristotel zaproponuvav filosofskij rozv yazok paradoksu ale matematichnij zmist ne z yasuvav Jogo otrimav Arhimed yak ce bulo zrobleno do Aristotelya atomistom Demokritom Zavdyaki metodu vicherpuvannya Arhimeda neskinchennu kilkist podiliv mozhna vikonati dlya dosyagnennya skinchennogo rezultatu Kitajskij matematik Lyu Huej nezalezhno vikoristav shozhij metod cherez dekilka stolit Upershe vikoristav ryadi Tejlora i tisno pov yazani z nimi metodi u 14 mu stolitti Madhave z Sandamagrami Hocha zhoden zvit pro jogo robotu ne uciliv praci piznishih en svidchat pro te sho vin viyaviv ryad osoblivih vipadkiv ryadiv Tejlora u tomu chisli dlya trigonometrichnih funkcij sinusa kosinusa tangensa i arktangensa Keralska shkola astronomiyi i matematiki do 16 go stolittya rozvivala jogo roboti zbilshuyuchi kilkist rozkladiv u ryadi i racionalni nablizhennya U 17 mu stolitti Dzhejms Gregori takozh pracyuvav v cij galuzi i opublikuvav dekilka ryadiv Maklorena Prote lishe v 1715 roci Bruk Tejlor zaproponuvav zagalnij metod pobudovi cih ryadiv dlya usih funkcij dlya yakih voni isnuyut na chest yakogo teper nazvano ci ryadi Ryad Maklorena bulo nazvano na chest Kolina Maklorena profesora z Edinburgu yakij opublikuvav specialnij vipadok ryadu Tejlora u 18 mu stolitti Analitichni funkciyiDokladnishe Analitichna funkciya Funkciya e 1 x 2 displaystyle e frac 1 x 2 ne ye analitichnoyi v tochci x 0 displaystyle x 0 ryad Tejlora totozhno dorivnyuye 0 displaystyle 0 a sama funkciya totozhno ne dorivnyuye 0 displaystyle 0 Yaksho f x displaystyle f x zadayetsya zbizhnim stepenevim ryadom u vidkritomu kruzi abo v intervali dijsnoyi pryamoyi z centrom v tochci b displaystyle b na kompleksnij ploshini to vona nazivayetsya analitichnoyu v comu kruzi Takim chinom dlya x displaystyle x v comu kruzi f displaystyle f viznachayetsya zbizhnim stepenevim ryadom f x n 0 a n x b n displaystyle f x sum n 0 infty a n x b n Diferenciyuyuchi po x displaystyle x navedeni vishe formuli n displaystyle n raziv ta pidstavlyayuchi x b displaystyle x b mayemo f n b n a n displaystyle frac f n b n a n i tomu rozklad ciyeyi funkciyi v stepenevij ryad zbigayetsya z yiyi ryadom Tejlora Takim chinom funkciya ye analitichnoyu u vidkritomu kruzi z centrom v tochci b displaystyle b todi i tilki todi koli yiyi ryad Tejlora zbigayetsya do znachennya funkciyi v kozhnij tochci zadanogo kruga Yaksho f x displaystyle f x dorivnyuye yiyi ryadu Tejlora dlya vsih x displaystyle x v kompleksnij ploshini to vona nazivayetsya ciloyu Mnogochleni eksponencijna funkciya e x displaystyle e x i trigonometrichni funkciyi sinus i kosinus ye prikladami cilih funkcij Funkciyi taki yak kvadratnij korin logarifm trigonometrichni funkciyi tangens ta arktangens ne ye cilimi Dlya cih funkcij ryad Tejlora ne zbigayetsya yaksho x displaystyle x daleko vid b displaystyle b Tobto ryad Tejlora en v tochci x displaystyle x yaksho vidstan mizh x displaystyle x i b displaystyle b bilshe nizh jogo radius zbizhnosti Ryad Tejlora mozhna vikoristovuvati dlya obchislennya znachennya ciloyi funkciyi v kozhnij tochci yaksho lishe v odnij tochci vidomi znachennya funkciyi i vsih yiyi pohidnih Vikoristannya ryadu Tejlora dlya analitichnih funkcij vklyuchaye v sebe Chastkovi sumi polinomi Tejlora ryadiv mozhut buti vikoristani yak nablizhennya funkciyi Ci nablizhennya stayut bilsh tochnimi pri vklyucheni chim bilshoyi kilkosti chleniv rozkladu Diferenciyuvannya ta integruvannya stepennih ryadiv mozhna vikonati pochlenno i otzhe dosit legko Analitichna funkciya odnoznachno prodovzhuyetsya do golomorfnoyi funkciyi u vidkritomu kruzi na kompleksnij ploshini Ce robit mehanizm kompleksnogo analizu bilsh dostupnim Usichenni ryadi mozhna vikoristovuvati dlya chiselnogo obchislennya znachen funkciyi chasto pereroblyayuchi polinom u formu Chebishova i jogo obchislennya za dopomogoyu en Algebrayichni operaciyi legko provoditi nad funkciyami yaki predstavleni u viglyadi stepennih ryadiv napriklad formula Ejlera viplivaye z rozkladu ryadu Tejlora dlya trigonometrichnih i pokazovih funkcij Cej rezultat maye fundamentalne znachennya v takih oblastyah yak garmonichnij analiz Aproksimaciya z vikoristannyam dekilkoh pershih chleniv ryadu Tejlora mozhe zrobiti nerozv yazni problemi rozv yaznimi dlya obmezhenoyi oblasti cej pidhid chasto vikoristovuyetsya u fizici Rozklad v ryad Maklorena dlya deyakih funkcijDokladnishe Spisok ryadiv ta sum Tut navedeno dekilka vazhlivih rozkladiv v ryadu Maklorena Vsi ci rozkladi spravedlivi dlya kompleksnogo argumentu x displaystyle x Eksponencijna funkciya Eksponencijna funkciya e x displaystyle e x sinim kolorom ta suma pershih n 1 displaystyle n 1 chleniv ryadu Tejlora v tochci 0 displaystyle 0 chervonim kolorom Eksponenta maye takij ryad Maklorena e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 cdots Vin zbigayetsya dlya vsih x displaystyle x Naturalnij logarifm Dokladnishe Ryad Merkatora Dlya naturalnogo logarifmu ye nastupni vazhlivi ryadi Maklorena log 1 x n 1 x n n displaystyle log 1 x sum n 1 infty frac x n n log 1 x n 1 1 n 1 x n n displaystyle log 1 x sum n 1 infty 1 n 1 frac x n n Obidva ci ryadi zbigayutsya pri x lt 1 displaystyle x lt 1 odnak ryad dlya log 1 x displaystyle log 1 x zbigayetsya takozh pri x 1 displaystyle x 1 a ryad dlya log 1 x displaystyle log 1 x pri x 1 displaystyle x 1 Geometrichnij ryad Geometrichnij ryad ta jogo pohidni mayut taki ryadi Maklorena 1 1 x n 0 x n x lt 1 displaystyle frac 1 1 x sum n 0 infty x n quad x lt 1 1 1 x 2 n 1 n x n 1 x lt 1 displaystyle frac 1 1 x 2 sum n 1 infty nx n 1 quad x lt 1 x 1 x 2 n 0 n x n x lt 1 displaystyle frac x 1 x 2 sum n 0 infty nx n quad x lt 1 2 1 x 3 n 2 n 1 n x n 2 x lt 1 displaystyle frac 2 1 x 3 sum n 2 infty n 1 nx n 2 quad x lt 1 2 x 2 1 x 3 n 0 n 1 n x n x lt 1 displaystyle frac 2x 2 1 x 3 sum n 0 infty n 1 nx n quad x lt 1 Vsi ci ryadi zbigayutsya pri x lt 1 displaystyle x lt 1 Binomialnij ryad Binomialnij ryad ce stepenevij ryad viglyadu 1 x a n 0 a n x n displaystyle 1 x alpha sum n 0 infty alpha choose n x n z uzagalnenimi binomialnimi koeficiyentami a n k 1 n a k 1 k a a 1 a n 1 n displaystyle alpha choose n prod k 1 n frac alpha k 1 k frac alpha alpha 1 cdots alpha n 1 n Cej ryad zbigayetsya pri x lt 1 displaystyle x lt 1 dlya vsih dijsnih abo kompleksnih chisel a displaystyle alpha Yaksho a 1 displaystyle alpha 1 to ce po suti bude geometrichnij ryad Dlya a 1 2 displaystyle alpha frac 1 2 i a 1 2 displaystyle alpha frac 1 2 budut vidpovidni ryadi Maklorena 1 x 1 2 1 1 2 x 1 8 x 2 1 16 x 3 5 128 x 4 7 256 x 5 n 0 1 n 1 2 n 4 n n 2 2 n 1 x n 1 x 1 2 1 1 2 x 3 8 x 2 5 16 x 3 35 128 x 4 63 256 x 5 n 0 1 n 2 n 4 n n 2 x n displaystyle begin aligned 1 x frac 1 2 amp 1 tfrac 1 2 x tfrac 1 8 x 2 tfrac 1 16 x 3 tfrac 5 128 x 4 tfrac 7 256 x 5 cdots amp amp sum n 0 infty frac 1 n 1 2n 4 n n 2 2n 1 x n 1 x frac 1 2 amp 1 tfrac 1 2 x tfrac 3 8 x 2 tfrac 5 16 x 3 tfrac 35 128 x 4 tfrac 63 256 x 5 cdots amp amp sum n 0 infty frac 1 n 2n 4 n n 2 x n end aligned Trigonometrichni funkciyi Dijsna chastina kosinusu v kompleksnij ploshini Nablizhennya vosmogo stepenya dlya kosinusu v kompleksnij ploshini Dvi vishezgadani poverhni razom Trigonometrichni funkciyi ta yih oberneni mayut nastupni ryadi Maklorena sin x n 0 1 n 2 n 1 x 2 n 1 x x 3 3 x 5 5 displaystyle sin x sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 x 2n 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 cdots cos x n 0 1 n 2 n x 2 n 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle cos x sum n 0 infty frac 1 n 2n x 2n 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots tg x n 1 B 2 n 4 n 1 4 n 2 n x 2 n 1 x x 3 3 2 x 5 15 17 x 7 315 62 x 9 2835 x lt p 2 displaystyle operatorname tg x sum n 1 infty frac B 2n 4 n 1 4 n 2n x 2n 1 x frac x 3 3 frac 2x 5 15 frac 17x 7 315 frac 62x 9 2835 cdots quad x lt frac pi 2 sec x n 0 1 n E 2 n 2 n x 2 n x lt p 2 displaystyle sec x sum n 0 infty frac 1 n E 2n 2n x 2n quad x lt frac pi 2 arcsin x n 0 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 x 1 displaystyle arcsin x sum n 0 infty frac 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 arccos x p 2 arcsin x p 2 n 0 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 x 1 displaystyle arccos x pi over 2 arcsin x pi over 2 sum n 0 infty frac 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 arctg x n 0 1 n 2 n 1 x 2 n 1 x 1 x i displaystyle operatorname arctg x sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 x not pm i Chisla B k displaystyle B k sho z yavlyayutsya v rozkladi tg x displaystyle operatorname tg x ye chislami Bernulli a E k displaystyle E k u rozkladi sec x displaystyle sec x chisla Ejlera Giperbolichni funkciyi Giperbolichni funkciyi mayut ryadi Maklorena tisno pov yazani z ryadami Maklorena dlya vidpovidnih trigonometrichnih funkcij sh x n 0 x 2 n 1 2 n 1 x x 3 3 x 5 5 displaystyle operatorname sh x sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 cdots ch x n 0 x 2 n 2 n 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle operatorname ch x sum n 0 infty frac x 2n 2n 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots th x n 1 B 2 n 4 n 4 n 1 2 n x 2 n 1 x 1 3 x 3 2 15 x 5 17 315 x 7 x lt p 2 displaystyle operatorname th x sum n 1 infty frac B 2n 4 n 4 n 1 2n x 2n 1 x frac 1 3 x 3 frac 2 15 x 5 frac 17 315 x 7 cdots quad x lt frac pi 2 arsh x n 0 1 n 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 x 1 displaystyle operatorname arsh x sum n 0 infty frac 1 n 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 arth x n 0 x 2 n 1 2 n 1 x 1 x 1 displaystyle operatorname arth x sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 quad x leqslant 1 x not pm 1 Chisla B k displaystyle B k sho z yavlyayutsya v rozkladi th x displaystyle operatorname th x ye chislami Bernulli W funkciya Lamberta W funkciya Lamberta maye takij ryad Maklorena W 0 x n 1 n n 1 n x n x x 2 3 2 x 3 8 3 x 4 125 24 x 5 displaystyle W 0 x sum n 1 infty frac n n 1 n x n x x 2 frac 3 2 x 3 frac 8 3 x 4 frac 125 24 x 5 cdots Cej ryad zbigayetsya pri x lt 1 e displaystyle x lt frac 1 e Formula TejloraFormula Tejlora vikoristovuyetsya pri dovedenni bagatoh teorem u diferencialnomu chislenni Yaksho govoriti nestrogo to formula Tejlora vidobrazhaye povedinku funkciyi v okoli deyakoyi tochki Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Peano Nehaj funkciya f a b R displaystyle f a b to mathbb R dlya tochki x 0 a b displaystyle x 0 in a b i dlya deyakogo naturalnogo chisla n displaystyle n zadovolnyaye umovam dlya vsih x a b displaystyle x in a b isnuye f n 1 x displaystyle f n 1 x isnuye f n x 0 displaystyle f n x 0 Todi spravedlive spivvidnoshennya f x k 0 n f k x 0 k x x 0 k o x x 0 n x x 0 displaystyle f x sum k 0 n frac f k x 0 k x x 0 k o left x x 0 n right x to x 0 de o x x 0 n displaystyle o left x x 0 n right o malenke nazivayetsya zalishkovim chlenom u formi Peano Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Lagranzha Nehaj funkciya f a b R displaystyle f a b to mathbb R x 0 a b displaystyle x 0 in a b i dlya deyakogo naturalnogo chisla n displaystyle n dlya vsih x a b displaystyle x in a b isnuye f n 1 x displaystyle f n 1 x Todi dlya vsih x a b displaystyle x in a b isnuye 8 0 1 displaystyle theta in 0 1 take sho f x k 0 n f k x 0 k x x 0 k r n x displaystyle f x sum k 0 n frac f k x 0 k x x 0 k r n x de r n x f n 1 x 0 8 x x 0 n 1 x x 0 n 1 displaystyle r n x frac f n 1 x 0 theta x x 0 n 1 x x 0 n 1 nazivayetsya zalishkovim chlenom u formi Lagranzha Yak vidno umovi dlya formuli Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Peano slabshi nizh z zalishkovim chlenom u formi Lagranzha Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Koshi Nehaj funkciya f a b R displaystyle f a b to mathbb R x 0 a b displaystyle x 0 in a b i dlya deyakogo naturalnogo chisla n displaystyle n funkciya f displaystyle f ye n 1 displaystyle n 1 raz neperervno diferencijovnoyu na intervali a b displaystyle a b Todi dlya vsih x a b displaystyle x in a b vikonuyetsya rivnist f x k 0 n f k x 0 k x x 0 k R n x displaystyle f x sum k 0 n frac f k x 0 k x x 0 k R n x de R n x 1 n x 0 x f n 1 t x t n d t displaystyle R n x frac 1 n int limits x 0 x f n 1 t x t n dt nazivayetsya zalishkovim chlenom u formi Koshi abo zalishkovim chlenom u integralnij formi Obchislennya ryadiv TejloraIsnuye dekilka metodiv obchislennya ryadiv Tejlora Mozhna sprobuvati vikoristati oznachennya ryadu odnak cej sposib chasto vimagaye uzagalnennya formi koeficiyentiv Takozh mozhna vikoristovuvati taki manipulyaciyi yak zamina mnozhennya abo dilennya dodavannya abo vidnimannya standartnih ryadiv Tejlora shob pobuduvati ryad Tejlora funkciyi oskilki ryad Tejlora ye stepenevim ryadom U deyakih vipadkah mozhna znajti ryad Tejlora bagatorazovo zastosovuyuchi integruvannya po chastinah Pershij priklad Tut vikoristovuyetsya metod pid nazvoyu nepryame rozshirennya shob rozshiriti zadanu funkciyu Cej metod vikoristovuye vidomij rozklad Tejlora eksponenti Shob rozklasti funkciyu 1 x e x displaystyle 1 x e x v ryad Tejlora vikoristayemo vidomij ryad Tejlora funkciyi e x displaystyle e x e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 cdots Tomu 1 x e x e x x e x n 0 x n n n 0 x n 1 n 1 n 1 x n n n 0 x n 1 n 1 n 1 x n n n 1 x n n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 x n 1 n 1 n 1 n x n n 0 n 1 n x n displaystyle begin aligned 1 x e x amp e x xe x sum n 0 infty frac x n n sum n 0 infty frac x n 1 n 1 sum n 1 infty frac x n n sum n 0 infty frac x n 1 n amp 1 sum n 1 infty frac x n n sum n 1 infty frac x n n 1 1 sum n 1 infty left frac 1 n frac 1 n 1 right x n amp 1 sum n 1 infty frac n 1 n x n amp sum n 0 infty frac n 1 n x n end aligned Drugij priklad Nehaj zadano funkciyu f x ln cos x x p 2 p 2 displaystyle f x ln cos x quad x in left frac pi 2 frac pi 2 right Znajdemo yiyi formulu Tejlora z tochnistyu do x 7 displaystyle x 7 vklyuchno Perepishemo zadanu funkciyu nastupnim chinom f x ln 1 cos x 1 displaystyle f x ln bigl 1 cos x 1 bigr Formuli Tejlora naturalnogo logarifma z tochnistyu do x 3 displaystyle x 3 ln 1 x x x 2 2 x 3 3 o x 3 displaystyle ln 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 o left x 3 right i kosinusa z tochnistyu do x 7 displaystyle x 7 cos x 1 x 2 2 x 4 24 x 6 720 o x 7 displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 24 frac x 6 720 o left x 7 right Pidstavimo drugu formulu v pershu f x ln 1 cos x 1 cos x 1 1 2 cos x 1 2 1 3 cos x 1 3 o cos x 1 3 x 2 2 x 4 24 x 6 720 o x 7 1 2 x 2 2 x 4 24 o x 5 2 1 3 x 2 2 o x 3 3 o x 7 x 2 2 x 4 24 x 6 720 x 4 8 x 6 48 x 6 24 o x 7 x 2 2 x 4 12 x 6 45 o x 7 displaystyle begin aligned f x amp ln bigl 1 cos x 1 bigr amp cos x 1 tfrac 1 2 cos x 1 2 tfrac 1 3 cos x 1 3 o left cos x 1 3 right amp left frac x 2 2 frac x 4 24 frac x 6 720 o left x 7 right right frac 1 2 left frac x 2 2 frac x 4 24 o left x 5 right right 2 frac 1 3 left frac x 2 2 o left x 3 right right 3 o left x 7 right amp frac x 2 2 frac x 4 24 frac x 6 720 frac x 4 8 frac x 6 48 frac x 6 24 o left x 7 right amp frac x 2 2 frac x 4 12 frac x 6 45 o left x 7 right end aligned Oskilki kosinus ye parnoyu funkciyeyu to koeficiyenti dlya vsih neparnih stepeniv x x3 x5 x7 mayut dorivnyuvati nulyu Tretij priklad Nehaj zadano funkciyu g x e x cos x displaystyle g x frac e x cos x Znajdemo yiyi ryad Tejlora v tochci 0 Dlya eksponenti mayemo takij ryad Tejlora e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 cdots a dlya kosinusa takij cos x 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots V zagalnomu stepenevij rozklad maye takij viglyad e x cos x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 displaystyle frac e x cos x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 cdots Todi mnozhennya g x displaystyle g x na yiyi znamennik i pidstanovka ryadu Maklorena kosinusa daye nastupne e x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 cos x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 c 4 x 4 1 x 2 2 x 4 4 c 0 c 0 2 x 2 c 0 4 x 4 c 1 x c 1 2 x 3 c 1 4 x 5 c 2 x 2 c 2 2 x 4 c 2 4 x 6 c 3 x 3 c 3 2 x 5 c 3 4 x 7 c 4 x 4 displaystyle begin aligned e x amp left c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 cdots right cos x amp left c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 c 4 x 4 cdots right left 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots right amp c 0 frac c 0 2 x 2 frac c 0 4 x 4 c 1 x frac c 1 2 x 3 frac c 1 4 x 5 c 2 x 2 frac c 2 2 x 4 frac c 2 4 x 6 c 3 x 3 frac c 3 2 x 5 frac c 3 4 x 7 c 4 x 4 cdots end aligned Grupuvannya dodankiv do chetvertogo stepenya daye e x c 0 c 1 x c 2 c 0 2 x 2 c 3 c 1 2 x 3 c 4 c 2 2 c 0 4 x 4 displaystyle e x c 0 c 1 x left c 2 frac c 0 2 right x 2 left c 3 frac c 1 2 right x 3 left c 4 frac c 2 2 frac c 0 4 right x 4 cdots Znachennya c i displaystyle c i mozhna znajti shlyahom porivnyannya koeficiyentiv pravoyi chastini z vidpovidnimi koeficiyenatimi rozkladu eksponenti sho daye e x cos x 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 2 displaystyle frac e x cos x 1 x x 2 frac 2x 3 3 frac x 4 2 cdots Nablizhennya i zbizhnistDokladnishe Teorema Tejlora Sinusoyida sinij dobre aproksimuyetsya yiyi mnogochlenom Tejlora stepenya 7 rozhevij na vsomu periodi z centrom u pochatku koordinat Mnogochleni Tejlora dlya log 1 x displaystyle log 1 x zabezpechuyut tochni nablizhennya tilki v diapazoni 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 Pri x gt 1 displaystyle x gt 1 mnogochleni Tejlora bilsh visokogo stepenya zadayut pogani nablizhennya Nablizhennya Tejlora dlya log 1 x displaystyle log 1 x chornij Pri x gt 1 displaystyle x gt 1 nablizhennya rozbigayetsya Zobrazhenij sprava grafik ye nablizhennyam sin x displaystyle sin x v okoli tochki x 0 displaystyle x 0 Rozheva kriva zadayetsya nastupnim mnogochlenom somogo stepenya sin x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle sin left x right approx x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 Pohibka v comu nablizhenni ne perevishuye x 9 9 displaystyle frac x 9 9 Dlya povnogo periodu z centrom v tochci 0 displaystyle 0 p lt x lt p displaystyle pi lt x lt pi pohibka mensha za 0 08215 Zokrema pri 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 pohibka mensha nizh 0 000003 Na protivagu comu pokazano grafik funkciyi naturalnogo logarifma log 1 x displaystyle log 1 x i deyaki z jogo mnogochleniv Tejlora v okoli tochki a 0 displaystyle a 0 Ci nablizhennya shodyatsya do funkciyi tilki v oblasti 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 za mezhami ciyeyi oblasti mnogochleni Tejlora vishih stepeniv girshe nablizheni do funkciyi Ce shozhe na fenomen Runge Pohibka sho vinikaye pri nablizhenni funkciyi yiyi polinomom Tejlora n go stepenya nazivayetsya zalishkom abo zalishkovim mnogochlenom ta poznachayetsya cherez R n x displaystyle R n x Teorema Tejlora mozhe buti vikoristana dlya otrimannya ocinki dlya velichini zalishku Zagalom ryad Tejlora ne obov yazkovo maye zbigatisya u vsih tochkah Dovedeno sho mnozhina funkcij zi zbizhnim ryadom Tejlora ye mnozhinoyu miri nul v prostori Freshe gladkih funkcij I navit yaksho ryad Tejlora funkciyi f displaystyle f dijsno shoditsya to v zagalnomu vipadku jogo suma ne obov yazkovo dorivnyuye znachennyu funkciyi f x displaystyle f x Napriklad funkciya f x e 1 x 2 x 0 0 x 0 displaystyle f x begin cases e 1 x 2 amp x neq 0 0 amp x 0 end cases neskinchenno diferencijovana v tochci x 0 displaystyle x 0 i maye vsi pohidni rivni nulyu Otzhe ryad Tejlora f x displaystyle f x pri x 0 displaystyle x 0 totozhno dorivnyuye nulyu Prote f x displaystyle f x ne nulova funkciya tak sho yiyi ryad Tejlora ne dorivnyuye znachennyu funkciyi v okoli pochatku koordinat Takim chinom f x displaystyle f x ye prikladom en V analizi funkcij dijsnoyi zminnoyi cej priklad pokazuye sho isnuyut neskinchenno diferencijovani f x displaystyle f x dlya yakih ryadi Tejlora ne rivni f x displaystyle f x navit yaksho voni zbigayutsya Na protivagu comu golomorfni funkciyi yaki vivchayutsya v kompleksnomu analizi zavzhdi mayut zbizhni ryadi Tejlora i navit ryadi Tejlora meromorfnih funkcij yaki mozhut mati osoblivosti nikoli ne zbigayutsya do znachen vidminnih vid znachen samoyi funkciyi Kompleksna funkciya e z 2 displaystyle e z 2 ne pryamuye do 0 displaystyle 0 pri z displaystyle z sho pryamuye do 0 displaystyle 0 vzdovzh uyavnoyi osi tomu vona ne ye neperervnoyu v kompleksnij ploshini i yiyi ryad Tejlora ye neviznachenim v tochci 0 displaystyle 0 U bilsh zagalnomu sensi bud yaka poslidovnist dijsnih abo kompleksnih chisel mozhe buti koeficiyentami v ryadi Tejlora neskinchenno diferencijovanoyi funkciyi zadanoyi na dijsnij pryamij vnaslidok en V rezultati radius zbizhnosti ryadu Tejlora mozhe dorivnyuvati nulyu Ye navit neskinchenno diferencijovani funkciyi viznachenoyi na dijsnij pryamij ryad Tejlora yakoyi maye radius zbizhnosti rivnij 0 displaystyle 0 Funkciyu ne mozhna rozklasti v ryad Tejlora v osoblivij tochci v cih vipadkah chasto vikoristovuyutsya ryadi z vid yemnimi stepenyami zminnoyi x displaystyle x div ryad Lorana Napriklad f x e x 2 displaystyle f x e x 2 mozhna rozklasti v ryad Lorana Uzagalnennya Isnuye uzagalnennya ryadu Tejlora sho dozvolyaye zbigatisya do znachennya samoyi funkciyi dlya bud yakoyi obmezhenoyi neperervnoyi funkciyi na 0 displaystyle 0 infty vikoristovuyuchi skinchenni riznici Maye misce nastupna teorema yaku doviv en sho dlya bud yakogo t gt 0 displaystyle t gt 0 lim h 0 n 0 t n n D h n f a h n f a t displaystyle lim h to 0 sum n 0 infty frac t n n frac Delta h n f a h n f a t Tut D h n displaystyle Delta h n n displaystyle n ta skinchenna riznicya z krokom rozmiru h displaystyle h Ryad ce same ryad Tejlora za vinyatkom togo sho skinchenni riznici stoyat zamist pohidnih ryad formalno analogichnij ryadu Nyutona Koli funkciya f displaystyle f ye analitichnoyu v tochci a displaystyle a to chleni cogo ryadu zbigayutsya do chleniv ryadu Tejlora i v comu sensi navedenij vishe ryad uzagalnyuye zvichajnij ryad Tejlora Zagalom dlya bud yakoyi neskinchennoyi poslidovnosti a i displaystyle a i maye misce nastupna rivnist n 0 u n n D n a i e u j 0 u j j a i j displaystyle sum n 0 infty frac u n n Delta n a i e u sum j 0 infty frac u j j a i j Zokrema f a t lim h 0 e t h j 0 f a j h t h j j displaystyle f a t lim h to 0 e t h sum j 0 infty f a jh frac t h j j Ryad sprava ye matematichnim spodivannyam f a X displaystyle f a X de X displaystyle X yavlyaye soboyu vipadkovu velichinu rozpodilu Puassona yaka prijmaye znachennya j h displaystyle jh z jmovirnistyu e t h t h j j displaystyle e t h frac t h j j Otzhe f a t lim h 0 f a x d P t h h x displaystyle f a t lim h to 0 int limits infty infty f a x dP t h h x Zakon velikih chisel vikonuyetsya yaksho vikonuyetsya navedena vishe totozhnist Ryad Tejlora dlya funkcij bagatoh argumentivRyad Tejlora takozh mozhna uzagalniti dlya funkcij bilsh nizh odniyeyi zminnoyi T x 1 x d n 1 0 n d 0 x 1 a 1 n 1 x d a d n d n 1 n d n 1 n d f x 1 n 1 x d n d a 1 a d f a 1 a d j 1 d f a 1 a d x j x j a j 1 2 j 1 d k 1 d 2 f a 1 a d x j x k x j a j x k a k 1 3 j 1 d k 1 d l 1 d 3 f a 1 a d x j x k x l x j a j x k a k x l a l displaystyle begin aligned T x 1 ldots x d amp sum n 1 0 infty cdots sum n d 0 infty frac x 1 a 1 n 1 cdots x d a d n d n 1 cdots n d left frac partial n 1 cdots n d f partial x 1 n 1 cdots partial x d n d right a 1 ldots a d amp f a 1 ldots a d sum j 1 d frac partial f a 1 ldots a d partial x j x j a j frac 1 2 sum j 1 d sum k 1 d frac partial 2 f a 1 ldots a d partial x j partial x k x j a j x k a k amp qquad qquad frac 1 3 sum j 1 d sum k 1 d sum l 1 d frac partial 3 f a 1 ldots a d partial x j partial x k partial x l x j a j x k a k x l a l cdots end aligned Napriklad dlya funkciyi f x y displaystyle f x y yaka zalezhit vid dvoh zminnih x i y ryad Tejlora v tochci a b maye viglyad f a b x a f x a b y b f y a b 1 2 x a 2 f x x a b 2 x a y b f x y a b y b 2 f y y a b displaystyle f a b x a f x a b y b f y a b frac 1 2 Big x a 2 f xx a b 2 x a y b f xy a b y b 2 f yy a b Big cdots de nizhni indeksi poznachayut vidpovidni chastkovi pohidni Rozklad skalyarnoyi funkciyi z bilsh nizh odniyeyu zminnoyu v ryad Tejlora kompaktno mozhna zapisati yak T x f a x a T D f a 1 2 x a T D 2 f a x a displaystyle T mathbf x f mathbf a mathbf x mathbf a mathsf T Df mathbf a frac 1 2 mathbf x mathbf a mathsf T D 2 f mathbf a mathbf x mathbf a cdots de D f a ce gradiyent funkciyi f obchislenij v tochci x a a D2 f a ce matricya Gese Zastosovuyuchi multiindeks poznachennya ryad Tejlora kilkoh zminnih mozhna poznachiti tak T x a 0 x a a a a f a displaystyle T mathbf x sum alpha geq 0 frac mathbf x mathbf a alpha alpha left mathrm partial alpha f right mathbf a yakij slid rozumiti yak skorochenu bagatoindeksnu versiyu pershoyi formuli cogo rozdilu z povnoyu analogiyeyu do vipadku odniyeyi zminnoyi Priklad Aproksimaciya chastkovoyu sumoyu ryadu Tejlora do mnogochleniv drugogo stepenya pomaranchevij funkciyi f x y e sup x sup ln 1 y sinij v pochatku koordinat Shob obchisliti rozklad v ryad Tejlora funkciyi f x y e x ln 1 y displaystyle f x y e x ln 1 y v tochci a b 0 0 do odnochleniv drugogo stepenya spochatku znajdemo vsi neobhidni chastkovi pohidni f x e x ln 1 y f y e x 1 y f x x e x ln 1 y f y y e x 1 y 2 f x y f y x e x 1 y displaystyle begin aligned f x amp e x ln 1 y 6pt f y amp frac e x 1 y 6pt f xx amp e x ln 1 y 6pt f yy amp frac e x 1 y 2 6pt f xy amp f yx frac e x 1 y end aligned Obchislennya cih pohidnih u pochatku koordinat daye koeficiyenti v ryadi Tejlora f x 0 0 0 f y 0 0 1 f x x 0 0 0 f y y 0 0 1 f x y 0 0 f y x 0 0 1 displaystyle begin aligned f x 0 0 amp 0 f y 0 0 amp 1 f xx 0 0 amp 0 f yy 0 0 amp 1 f xy 0 0 amp f yx 0 0 1 end aligned Pidstavivshi ci znachennya v zagalnu formulu T x y f a b x a f x a b y b f y a b 1 2 x a 2 f x x a b 2 x a y b f x y a b y b 2 f y y a b displaystyle begin aligned T x y amp f a b x a f x a b y b f y a b amp frac 1 2 left x a 2 f xx a b 2 x a y b f xy a b y b 2 f yy a b right cdots end aligned otrimayemo T x y 0 0 x 0 1 y 0 1 2 0 x 0 2 2 x 0 y 0 1 y 0 2 y x y y 2 2 displaystyle begin aligned T x y amp 0 0 x 0 1 y 0 frac 1 2 Big 0 x 0 2 2 x 0 y 0 1 y 0 2 Big cdots amp y xy frac y 2 2 cdots end aligned Oskilki ln 1 y ye analitichnoyu v y lt 1 displaystyle y lt 1 to mayemo e x ln 1 y y x y y 2 2 y lt 1 displaystyle e x ln 1 y y xy frac y 2 2 cdots qquad y lt 1 Porivnyannya z ryadom Fur yeDokladnishe Ryad Fur ye Trigonometrichnij ryad Fur ye dozvolyaye viraziti periodichnu funkciyu abo funkciyu viznachenu na vidrizku a b displaystyle a b yak neskinchennu sumu trigonometrichnih funkcij sinusiv i kosinusiv U comu sensi ryad Fur ye shozhij na ryad Tejlora oskilki ostannij dozvolyaye viraziti funkciyu yak neskinchennu sumu stepeniv Tim ne mensh ci dva ryadi vidriznyayut