Числа Ейлера

Не плутати з числами Єйлера I рода.

Числа Ейлера — у математиці — послідовність e n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), що визначається розкладанням ряду Тейлора, де cosht — гіперболічний косинус.

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$,

Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням многочленів Ейлера, а саме:

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Числа Ейлера з'являються в розширеннях ряду Тейлора секансом і гіперболічним секансом функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в комбінаториці, зокрема при підрахунку кількості множини з парним числом елементів, які чергуються.

Приклади

Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні індексовані (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	1385
E10	=	−50521
E12	=	2702765
E14	=	−199360981
E16	=	19391512145
E18	=	−2404879675441

Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.

Явні формули

Як ітераційна сума

Явною формулою для номерів Ейлера є:

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}$

де i означає уявну одиницю з i² = −1.

Як сума над розділами

Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним розбиттям 2n,

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

а також суму за непарним розбиттям 2n − 1,

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

де в обох випадках K = k₁ + ··· + k_n та

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над ks to 2k₁ + 4k₂ + ··· + 2nk_n = 2n та до k₁ + 3k₂ + ··· + (2n − 1)k_n = 2n − 1, відповідно.

Як приклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=-50\,521.\end{aligned}}}$

Як визначник

E_2n також дається визначником

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Асимптотичне наближення

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

Ейлерові зигзагоподібні числа

Ряд Тейлора sec x + tan x є

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

де A_n — ^[en], починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)

Для всіх парних n,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

де E_n — число Ейлера; і для всіх непарних n,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

де B_n — число Бернуллі.

Для кожного n,

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$^[]

Див. також

• Стала Ейлера — Маскероні
• Число Белла
• Числа Бернуллі

Примітки

1. Ross Tang, «An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series» [ 11-05-2012 у Wayback Machine.]
2. Vella, David C. (2008). Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers. Integers. 8 (1): A1.
3. Malenfant, J. (2011). Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers. arXiv:1103.1585 [math.NT].

Зовнішні посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Euler numbers, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Weisstein, Eric W. Euler number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.