Диференціальне числення

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як , теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення
Тема вивчення/дослідження	похідна
Підтримується Вікіпроєктом
Класифікаційний код ACM 2012	10003734
Протилежне	інтегральне числення
Диференціальне числення у Вікісховищі

Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою ${\displaystyle s(t)={\frac {gt^{2}}{2}}}$, де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, ${\displaystyle g\approx 9{,}8}$ м/с². Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту ${\displaystyle t}$. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту ${\displaystyle t}$, але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від ${\displaystyle t}$ до ${\displaystyle t+\Delta t}$ дорівнює:

${\displaystyle {\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}=gt+{\frac {g}{2}}\Delta t\qquad (1)}$

При необмеженому зменшенні проміжку ${\displaystyle \Delta t}$, вираз (1) поступово наближується до ${\displaystyle gt}$. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу ${\displaystyle t}$. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу ${\displaystyle t}$, проміжку часу від ${\displaystyle t}$ до ${\displaystyle t+\Delta t}$ та закону руху, який виражається формулою ${\displaystyle s=f(t)}$. Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від ${\displaystyle t}$ до ${\displaystyle t+\Delta t}$ задається формулою ${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$, де ${\displaystyle \Delta s=f(t+\Delta t)-f(t)}$, а швидкість руху у момент часу ${\displaystyle t}$ дорівнює:

${\displaystyle v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}\qquad (2)}$

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t+\Delta t}$). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці ${\displaystyle M}$. Нехай крива Г є графіком функції ${\displaystyle y=f(x)}$. Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута ${\displaystyle \alpha }$, який дотична утворює з додатнім напрямом осі ${\displaystyle Ox}$.

Позначимо через ${\displaystyle x_{0}}$ абсцису точки ${\displaystyle M}$, а через ${\displaystyle x_{1}=x_{0}+\Delta x}$ — абсцису точки ${\displaystyle M_{1}}$. Кутовий коефіцієнт січної ${\displaystyle MM_{1}}$ дорівнює:

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {M_{1}N}{MN}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$,

де ${\displaystyle \Delta y=M_{1}N=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ — приріст функції на проміжку ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]}$. Якщо визначати дотичну у точці ${\displaystyle M}$ як граничне положення січної ${\displaystyle MM_{1}}$ при ${\displaystyle x_{1}}$ прямує до нуля, то отримаємо:

${\displaystyle \tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$.

Поняття похідної

Докладніше: Похідна

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції ${\displaystyle y=f(x)}$ у точці ${\displaystyle x}$ називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

${\displaystyle y'=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю ${\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}}$, де ${\displaystyle \Delta q}$ — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час ${\displaystyle \Delta t}$, а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції ${\displaystyle y=f(x)}$ позначають ${\displaystyle f'(x),y',{\frac {dy}{dx}},{\frac {df}{dx}},Df(x)}$.

Якщо функція ${\displaystyle y=f(x)}$ має похідну у точці ${\displaystyle x_{0}}$, то вона визначена як у самій точці ${\displaystyle x_{0}}$, так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці ${\displaystyle x_{0}}$. Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція ${\displaystyle y=|x|=+{\sqrt {x^{2}}}}$, графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при ${\displaystyle x=0}$ не має похідної, оскільки відношення ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ не має границі при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$: якщо ${\displaystyle \Delta x>0}$це відношення дорівнює ${\displaystyle +1}$, а якщо ${\displaystyle \Delta x<0}$, то воно дорівнює ${\displaystyle -1}$. Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто ${\displaystyle y=f(u)}$ та ${\displaystyle u=\phi (x)}$, або всерівно що ${\displaystyle y=f[\phi (x)]}$, то ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}=f'(u)\phi '(x)}$

Якщо похідна ${\displaystyle f'(x)}$ має похідну, то її називають другою похідною функції ${\displaystyle y=f(x)}$ та позначають ${\displaystyle y'',f''(x),{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},D^{2}f(x)}$. З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: ${\displaystyle y^{n},f^{n}(x),{\frac {d^{n}x}{dx^{n}}},{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},D^{n}f(x)}$.

Таблиця похідних

Докладніше: Таблиця похідних

Основні похідні

• Похідна від сталої: ${\displaystyle (C)'=0\,}$
• Похідна від степеневої функції: ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}\,}$
• Похідна від показникової функції: ${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a\,}$
• Похідна від експоненти: ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\,}$
• Похідна від логарифмічної функції: ${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}$
• Похідна від натурального логарифма: ${\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}$
• Похідна від синуса: ${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$
• Похідна від косинуса: ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$
• Похідна від тангенса: ${\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$
• Похідна від котангенса: ${\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$
• Похідна від арксинуса: ${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• Похідна від арккосинуса: ${\displaystyle (\arccos x)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Правила диференціювання

• Сталу можна виносити за знак похідної: ${\displaystyle [Cf(x)]'=Cf'(x)\,}$
• Сума та різниця похідних: ${\displaystyle [f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)}$
• Добуток похідних: ${\displaystyle [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,}$
• Частка похідних: ${\displaystyle \left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}}$

Тут ${\displaystyle C,n,a(a>0)}$ — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції ${\displaystyle y=f(x)}$ називається вираз ${\displaystyle dy=y'dx}$, де ${\displaystyle dx=\Delta x}$ приріст аргументу x.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ремез, Н. С. Вища математика. Спеціальні розділи: Диференціальне числення функцій двох змінних. Розрахункова робота (Електронний ресурс) [ 20 липня 2019 у Wayback Machine.] : навч. посіб. для здобувачів ступеня бакалавра за освітньою програмою «Інженерна екологія та ресурсозбереження» / Н.  С.  Ремез, В.  Ф.  Мейш, В.  О.  Броницький ; КПІ ім. Ігоря Сікорського. — Електронні текстові дані (1 файл: 1,26 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2019. — 77 с. — Назва з екрана.
• Математичний аналіз 1. Диференціальне числення функцій дійсної змінної. Збірник задач для розрахункових робіт (Електронний ресурс): навчальний. посібник для студентів спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ; уклад.: Ю.  В.  Богданський, В.  Г.  Бондаренко, А.  Ю.  Мальцев, Г.  Б.  Подколзін. — Електронні текстові дані (1 файл: 2,36 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2020. — 59 с.
• Механічний та геометричний зміст похідної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 259-261. — 594 с.
• Динамічні моделі FIZMA.neT [ 15 травня 2021 у Wayback Machine.]