Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.
Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.
Границя послідовності
Стале число називають границею послідовності
, якщо для кожного додатного числа
, скільки б малим воно не було, існує такий номер
, що всі значення
, в яких номер
, задовольняють нерівність
Той факт, що є границею послідовності, позначають так:
або просто
чи
. Номер
залежить від вибору числа
. При зменшенні
число
буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени
послідовності до
вимагати, тим більші значення їх індексів.
Границя функції
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF4TDB3bFF6TWxRVVJ0YVhSbFh6QXhMbk4yWnk4eU1qQndlQzFNSlVNekpVRkViV2wwWlY4d01TNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelkyTDB4cGJXbDBMV0YwTFdsdVptbHVhWFI1TFdkeVlYQm9MbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFNYVcxcGRDMWhkQzFwYm1acGJtbDBlUzFuY21Gd2FDNXdibWM9LnBuZw==.png)
Нехай , причому
, і
— гранична точка множини
. У подальшому будемо розглядати функції
.
Означення за Коші
Число називається границею функції
в точці
, якщо для кожного додатного числа
існує додатне число
таке, що для довільного
виконується нерівність
Позначення:
або
при
.
Під і
можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка
обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані
до граничної точки.
Означення за Гейне
Число називається границею функції
в точці
, якщо для довільної послідовності
,
при
, що збігається до числа
, відповідна послідовність значень функції
збіжна і має границею одне і теж саме число
.
Наприклад,
.
Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:
f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0) | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
1.900 | 1.990 | 1.999 | не визначено | 2.001 | 2.010 | 2.100 |
Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто
Це також можна обчислити алгебраїчно як для всіх дійсних чисел x ≠ 1.
Оскільки x + 1 визначене при , то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності
На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію
,
для якої
- f(100) = 1.9900
- f(1000) = 1.9990
- f(10000) = 1.9999
Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі
Обчислюваність границі
Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, [en] яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності [en] показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.
Див. також
- Границя функції в точці
- Одностороння границя: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної x, коли x прямує до точки зліва або справа
- Список границь: список границь поширених функцій
- Стискна теорема: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями
- Верхня і нижня границі
- Швидкість збіжності
- Асимптотичний аналіз: метод опису граничної поведінки
- Нотація Ландау: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності
- Фундаментальна послідовність
- Рівномірна збіжність
- Збіжність майже всюди
- Збіжність за мірою
- Збіжність випадкових величин
- Границя в теорії категорій
- Межа (значення)
Джерела
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — .(укр.)
Примітки
- Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kordon U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Granicya znachennya Granicya odne z osnovnih ponyat matematiki yake oznachaye sho deyakij ob yekt zminyuyuchis neskinchenno nablizhayetsya do pevnogo stalogo znachennya Tochnij zmist otrimuye lishe pri nayavnosti korektnogo viznachennya ponyattya blizkosti mizh elementami tochkami mnozhini v yakij vkazana velichina nabuvaye znachennya Osnovni ponyattya matematichnogo analizu neperervnist pohidna integral viznachayut cherez granicyu Granicya poslidovnostiDokladnishe Granicya chislovoyi poslidovnosti Stale chislo a displaystyle a nazivayut graniceyu poslidovnosti xn n 1 displaystyle x n n 1 infty yaksho dlya kozhnogo dodatnogo chisla e displaystyle varepsilon skilki b malim vono ne bulo isnuye takij nomer N displaystyle N sho vsi znachennya xn displaystyle x n v yakih nomer n gt N displaystyle n gt N zadovolnyayut nerivnist xn a lt e displaystyle x n a lt varepsilon Toj fakt sho a displaystyle a ye graniceyu poslidovnosti poznachayut tak limn xn a displaystyle lim n rightarrow infty x n a abo prosto limx a displaystyle lim x a chi xn a n displaystyle x n rightarrow a n rightarrow infty Nomer N displaystyle N zalezhit vid viboru chisla e displaystyle varepsilon Pri zmenshenni e displaystyle varepsilon chislo N displaystyle N bude zbilshuvatis Tobto chim bilsh blizki chleni xn displaystyle x n poslidovnosti do a displaystyle a vimagati tim bilshi znachennya yih indeksiv Granicya funkciyicDlya vsih x gt S f x perebuvaye v mezhah e iz L Dokladnishe Granicya funkciyi v tochci Nehaj A R displaystyle A subset mathbb R prichomu A displaystyle A neq emptyset i x0 displaystyle x 0 granichna tochka mnozhini A displaystyle A U podalshomu budemo rozglyadati funkciyi f A R displaystyle f A to mathbb R Oznachennya za Koshi Chislo a displaystyle a nazivayetsya graniceyu funkciyi f displaystyle f v tochci x0 displaystyle x 0 yaksho dlya kozhnogo dodatnogo chisla e displaystyle varepsilon isnuye dodatne chislo d displaystyle delta take sho dlya dovilnogo x A x0 d x0 d x0 displaystyle x in A cap x 0 delta x 0 delta setminus x 0 vikonuyetsya nerivnist f x a lt e displaystyle f x a lt varepsilon Poznachennya a limx x0f x displaystyle a lim x to x 0 f x abo f x a displaystyle f x to a pri x x0 displaystyle x to x 0 Pid e displaystyle varepsilon i d displaystyle delta mozhna rozumiti yak pohibku ta vidstan vidpovidno U cih poznachennyah pohibka e displaystyle varepsilon obchislennya znachennya granici zmenshuyetsya pri zmenshenni vidstani d displaystyle delta do granichnoyi tochki Oznachennya za Gejne Chislo p displaystyle p nazivayetsya graniceyu funkciyi f displaystyle f v tochci x0 displaystyle x 0 yaksho dlya dovilnoyi poslidovnosti xn n 1 A displaystyle left x n right n 1 infty subset A xn x0 displaystyle x n neq x 0 pri n N displaystyle n in mathbb N sho zbigayetsya do chisla x0 displaystyle x 0 vidpovidna poslidovnist znachen funkciyi f xn n 1 displaystyle left f left x n right right n 1 infty zbizhna i maye graniceyu odne i tezh same chislo p displaystyle p Napriklad f x x2 1x 1 displaystyle f x frac x 2 1 x 1 Yak vidno f 1 ne viznacheno ale koli x nablizhayetsya do 1 to f x vidpovidno nablizhayetsya do 2 f 0 9 f 0 99 f 0 999 f 1 0 f 1 001 f 1 01 f 1 1 1 900 1 990 1 999 ne viznacheno 2 001 2 010 2 100 Takim chinom f x mozhna zrobiti yak zavgodno blizkim do granici 2 prosto zrobivshi x dosit blizkim do 1 Tobto limx 1x2 1x 1 2 displaystyle lim x to 1 frac x 2 1 x 1 2 Ce takozh mozhna obchisliti algebrayichno yak x2 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 textstyle frac x 2 1 x 1 frac x 1 x 1 x 1 x 1 dlya vsih dijsnih chisel x 1 Oskilki x 1 viznachene pri to mozhna pidstaviti 1 zamist x sho privede do rivnosti limx 1x2 1x 1 1 1 2 displaystyle lim x to 1 frac x 2 1 x 1 1 1 2 Na dodatok do granic zi skinchennimi znachennyami funkciyi takozh mozhut mati granici v neskinchennosti Napriklad rozglyanemo funkciyu f x 2x 1x displaystyle f x frac 2x 1 x dlya yakoyi f 100 1 9900 f 1000 1 9990 f 10000 1 9999 Koli x staye nadzvichajno velikim znachennya f x nablizhayetsya do 2 a znachennya f x mozhna nabliziti do 2 zrobivshi x dostatno velikim Otzhe u comu vipadku granicya f x pri x sho pryamuye do plyus neskinchennosti dorivnyuye 2 abo v matematichnomu zapisi limx 2x 1x 2 displaystyle lim x to infty frac 2x 1 x 2 Obchislyuvanist graniciGranicyu inodi mozhe buti vazhko obchisliti Isnuyut granichni virazi en yakih nerozv yaznij U teoriyi obchislyuvanosti en pokazuye sho nerozv yazni zadachi mozhna koduvati vikoristovuyuchi granici Div takozhPortal Matematika Granicya funkciyi v tochci Odnostoronnya granicya bud yaka z dvoh granic funkciyi dijsnoyi zminnoyi x koli x pryamuye do tochki zliva abo sprava Spisok granic spisok granic poshirenih funkcij Stiskna teorema znahodit granicyu funkciyi shlyahom porivnyannya yiyi z dvoma inshimi funkciyami Verhnya i nizhnya granici Shvidkist zbizhnosti Asimptotichnij analiz metod opisu granichnoyi povedinki Notaciya Landau vikoristovuyetsya dlya opisu granichnoyi povedinki funkciyi koli argument pryamuye do pevnogo znachennya abo neskinchennosti Fundamentalna poslidovnist Povnij metrichnij prostir Rivnomirna zbizhnist Zbizhnist majzhe vsyudi Zbizhnist za miroyu Zbizhnist vipadkovih velichin Granicya v teoriyi kategorij Induktivna granicya Proyektivna granicya Mezha znachennya DzherelaBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Dorogovcev A Ya Matematichnij analiz Chastina 1 K Libid 1993 320 s ISBN 5 325 00380 1 ukr PrimitkiRecursively enumerable sets and degrees Soare Robert I