Диференціал (математика)

Диференціал в математиці — головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина приросту функції або відображення. В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x — змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов'язаний з dx формулою:

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x,}$

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.
2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

Історія і використання

Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні. Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін. використовував їх для обчислення похідної кубічного рівняння. Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо x — змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) ${\displaystyle {\dot {y}}(x)}$ чи ${\displaystyle y'(x)}$. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення ${\displaystyle {\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}}$ приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx маю таку саму розмірність як і змінна x.

Сума Рімана є певного виду наближенням інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття Бернгарда Рімана. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.

Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

${\displaystyle \int f(x)\,{\mathrm {d} }x,}$

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Формальні означення

Об'єм куба - функція від довжини його сторони, ${\displaystyle V=x^{3}.}$ За рахунок лінійного термічного розширення сторони куба збільшуються, а тому збільшується і його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення ${\displaystyle x}$ і збільшилася на ${\displaystyle h,}$ то вона прийме значення ${\displaystyle x+h}$ і об'єм куба стане рівним ${\displaystyle (x+h)^{3}.}$ Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати ${\displaystyle (x+h)^{3}-x^{3}.}$ Цю різницю називають прирощенням об'єму куба, а число ${\displaystyle h}$, яке показує, на скільки збільшилася довжина сторони куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається ${\displaystyle \Delta x,}$ де ${\displaystyle \Delta }$ - велика грецька літера "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця".

Якщо функція ${\displaystyle y=f(x)}$ зростає на відрізку ${\displaystyle [a;\,b],}$ то на цьому відрізку знаки ${\displaystyle \Delta y}$ та ${\displaystyle \Delta x}$ співпадають - при збільшенні ${\displaystyle x}$ збільшується й ${\displaystyle y,}$ а при зменшенні ${\displaystyle x}$ зменшується й ${\displaystyle y}$ (графік ліворуч на малюнку). Якщо ж функція ${\displaystyle y=f(x)}$ спадає на цьому відрізку, то у будь-якій його точці знаки ${\displaystyle \Delta x}$ та ${\displaystyle \Delta y}$ протилежні.

Якщо ${\displaystyle y=f(x)}$ - деяка функція й ${\displaystyle x}$ прирощується, ${\displaystyle \Delta x,}$ то змінюється й значення функції, в результаті чого вона отримує деяке прирощення ${\displaystyle \Delta y.}$ Щоб обчислити це прирощення, необхідно:

• знайти значення функції при початковому значенні аргумента, тобто ${\displaystyle y=f(x)}$;
• знайти нове значення аргумента, тобто ${\displaystyle x+\Delta x}$;
• знайти нове значення функції, тобто ${\displaystyle f(x+\Delta x)}$;
• з нового значення функції відняти початкове її значення,тобто ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).}$

Наприклад, прирощення функції ${\displaystyle y=x^{3}}$ має вигляд ${\displaystyle \Delta y=3x^{2}\Delta x+3x\Delta x^{2}+\Delta x^{3};}$ це прирощення можна записати наступним чином: ${\displaystyle \Delta y=3x^{2}\Delta x+(3x\Delta x+\Delta x^{2})\Delta x.}$ Воно складається з двох доданків ${\displaystyle 3x^{2}\Delta x}$ та ${\displaystyle [3x\Delta x+(\Delta x)^{2}]\Delta x.}$ Перший доданок пропорційний прирощенню аргументу ${\displaystyle \Delta x.}$ Другий доданок складніший, залежить від ${\displaystyle \Delta x.}$ Але за малих ${\displaystyle \Delta x}$ він набагато менший, ніж ${\displaystyle 3x^{2}\Delta x,}$ тому що є добутком ${\displaystyle \Delta x}$ на вираз ${\displaystyle 3x\Delta x+(\Delta x)^{2},}$ який прямує до нуля за ${\displaystyle \Delta x\to 0.}$

${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \Delta x}$	${\displaystyle \Delta y}$	${\displaystyle 3x^{2}\Delta x}$	${\displaystyle [3x\Delta x+(\Delta x)^{2}]\Delta x}$
0,1	0,331	0,3	0,031
0,01	0,030301	0,03	0,000301
0,001	0,003003001	0,003	0,000003001

Таким чином, доданок ${\displaystyle 3x^{2}\Delta x}$, який є пропорційним ${\displaystyle \Delta x}$, за малих значень ${\displaystyle \Delta x}$ є головною частиною прирощення функції. Такий доданок називається диференціалом й позначається ${\displaystyle dy=3x^{2}\Delta x.}$ Він залежить не лише від ${\displaystyle \Delta x}$, але й від ${\displaystyle x.}$ Наприклад, для функції ${\displaystyle y=x^{3}}$ при ${\displaystyle x=1}$ та ${\displaystyle \Delta x=0,1}$ він дорівнює ${\displaystyle dy=1,2.}$ У випадку ${\displaystyle \Delta x=0,01}$ та ${\displaystyle x=1}$ диференціал ${\displaystyle dy=0,03.}$

Диференціал функції ${\displaystyle S=x^{2}.}$

Прирощення функції ${\displaystyle y=x^{2}}$ має вигляд ${\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}.}$ Доданком, пропорційним ${\displaystyle \Delta x,}$ є ${\displaystyle 2x\Delta x.}$ Цей доданок і є диференціалом заданої функції: ${\displaystyle dy=2x\Delta x=2x\,dx.}$ Формула для диференціалу ${\displaystyle y=x^{2}}$ має простий геометричний сенс. Оскільки ${\displaystyle S=x^{2}}$ - площина квадрата, сторона якого має довжину ${\displaystyle x,}$ то ${\displaystyle \Delta S}$ - площина фігури, на яку її площа збільшується. Зрозуміло, що за малих ${\displaystyle \Delta x}$ головну частину цієї площини складає площина двох прямокутників, яка дорівнює ${\displaystyle 2x\Delta x,}$ тобто диференціалу функції ${\displaystyle S=x^{2}.}$ Вираз ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ - площина квадратика, яка нескінченно мала у порівнянні із ${\displaystyle \Delta x.}$

Випадок однієї змінної

Нехай в околі точки ${\displaystyle x_{0}}$ задана функція ${\displaystyle f(x):X\rightarrow Y}$.

нехай існує таке ${\displaystyle A}$, що ${\displaystyle f(x)-f(x_{0})=A(x-x_{0})+o(x-x_{0})}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$.

Позначимо ${\displaystyle x-x_{0}=dx}$.

Тоді функція ${\displaystyle df=Adx}$ називається диференціалом функції ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

Випадок багатьох змінних

Приклад 1. Нехай в околі точки ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{0}}}=\{x_{0}^{1},x_{0}^{2},...,x_{0}^{n}\}}$ задана функція багатьох змінних ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):X\rightarrow Y}$.

Нехай існує такий вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}=\{A^{1},A^{2},...,A^{n}\}}$, що ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}})-f({\overrightarrow {x_{0}}})={\overrightarrow {A}}({\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {x_{0}}})+o({\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {x_{0}}})}$ при ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}\rightarrow {\overrightarrow {x_{0}}}}$, де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначимо ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {x_{0}}}={\overrightarrow {dx}}=\{{dx}^{1},{dx}^{2},...,{dx}^{n}\}}$.

Тоді функція ${\displaystyle df={\overrightarrow {A}}{\overrightarrow {dx}}}$ називатиметься диференціалом функції ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}})}$ в точці ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{0}}}}$.

Приклад 2. Тепер нехай ${\displaystyle \Delta f=f(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},...,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ приріст функції ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$ Неперервність частинних похідних ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}+R_{1},}$

де ${\displaystyle R}$ нескінченно мале у порівнянні із ${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\Delta x_{2}^{2}+...+\Delta x_{n}^{2}}}.}$ Вираз ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}}$ є диференціалом функції багатьох змінних.

Відображення між евклідовими просторами

Диференціал відображення - головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rⁿ → R^m. Нехай x,Δx ∈ Rⁿ — два вектори в просторі Rⁿ. Зміна значення функції ƒ при зміні аргументу на Δx рівна:

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

Якщо існує m × n матриця A для якої

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rⁿ вектор AΔx ∈ R^m називається диференціалом dƒ(x) відображення ƒ в точці x.

Відображення між многовидами

Диференціал в точці ${\displaystyle x\in M}$ гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид ${\displaystyle F\colon M\to N}$ визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках ${\displaystyle x\in M}$ і ${\displaystyle F(x)\in N,}$ тобто ${\displaystyle dF\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N,}$ таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції ${\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} }$ виконується рівність:

${\displaystyle dF(X)g=X(g\circ F),\quad \forall X\in T_{x}M.}$

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Диференціал функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 266. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Примітки

1. Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 
2. ; (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 
3. (1991), Archimedes of Syracuse, A History of Mathematics (вид. 2nd), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 
4. George G. Joseph (2000), The Crest of the Peacock, pp. 298–300, Princeton University Press,
5. J. L. Berggren (1990), «Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat», Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304-9
6. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi в архіві MacTutor (англ.)