У векторному аналізі, матриця Якобівекторзначної функції кількох змінних є матрицею всіх її частинних похідних першого порядку. У випадку квадратної матриці, тобто, якщо кількість незалежних і залежних змінних функції співпадають, то її визначник називають визначником Якобі. Крім того, матрицю і її визначник (якщо він визначений) в літературі часто називають просто якобіаном.
Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення .
Ці поняття названі на честь математика Карла Густава Якоба Якобі (1804-1851).
Визначення
Нехай задано відображення ,
,
,
, що має в деякій точці
всі часткові похідні першого порядку. Ця функція ставить у відповідність точці
вектор
. Матриця
, складена з часткових похідних цих функцій в точці
, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.
де — транспонування (вектор-рядок) градієнта
-ї компоненти.
Матриця Якобі, елементи якої є функціями від , позначається різними способами; загальні позначення включають
,
,
і
. Деякі автори визначають якобіан як транспонування наведеної вище форми.
Матриця Якобі (представляє) диференціал функції у кожній точці, де функція
диференційована. Детальніше, якщо
є вектором зміщення, що представлений вектор-стовпцем, то матричний добуток
є іншим вектором зміщення, тобто найкращим лінійним наближенням зміни функції
в околі точки
, якщо функція
є диференційовною у точці
. Це означає, що функція, яка відображає
у
, є найкращим лінійним наближенням функції
для всіх точок
, які близькі до точки
. Ця лінійна функція відома як похідна (або диференціал) функції
у точці
.
Якщо , то матриця Якобі є квадратною, тому її визначник є добре визначеною функцією змінної
і відомий як визначник Якобі (якобіан) системи функцій
. Він містить важливу інформацію про локальну поведінку функції
. Зокрема, функція
має локально в околі точки
обернену функцію, яка є диференційованою тоді й лише тоді, коли визначник Якобі відмінний від нуля в точці
[en]). Визначник Якобі також з'являється при заміні змінних у кратних інтегралах (див. [en]).
Якщо , тобто
— скалярнозначна функція, то матриця Якобі є вектор-рядком
. Цей вектор-рядок усіх частинних похідних першого порядку від функції
є транспонуванням градієнта функції
, тобто
. У частинному випадку, якщо
, тобто
— скалярнозначна функція однієї змінної, то матриця Якобі має один елемент — похідна функції
.
Матриця Якобі
Якобіан векторзначної функції кількох змінних узагальнює поняття градієнта скалярнозначної функції кількох змінних, що, у свою чергу, є узагальненням похідної від скалярнозначної функції однієї змінної. Іншими словами, матриця Якобі скалярнозначної [en] є її (транспонованним) градієнтом та градієнт скалярнозначної функції однієї змінної є її похідною.
У кожній точці, де функція є диференційованою, її матрицю Якобі можна також розглядати для опису величини "розтягу", "повороту" або "зсуву", які функція локально набуває поблизу цієї точки. Наприклад, якщо використовується для гладкого перетворення зображення, то матриця Якобі
описує перетворення зображення в околі точки
.
Якщо функція диференційована в точці, то її диференціал задається в координатах за допомогою матриці Якобі. Однак функція не обов'язково повинна бути диференційованою, щоб її матриця Якобі була визначена, оскільки вимагається існування лише її частинних похідних першого порядку.
Якщо функція є диференційованною у точці
в
, то її диференціал представляється як
. У цьому випадку лінійне перетворення, представлене матрицею
, є найкращим лінійним наближенням функції
в околі точки
, у тому сенсі, що
де — оцінка, яка прямує до нуля набагато швидше ніж відстань між точками
і
, коли точка
наближається до точки
. Це наближення базується на апроксимації скалярної функції однієї змінної її многочленом Тейлора першого степеня, а саме
У цьому сенсі якобіан можна розглядати як свого роду "похідну першого порядку" векторзначної функції кількох змінних. Зокрема, це означає, що градієнт скалярнозначної функції кількох змінних також можна розглядати як її "похідну першого порядку".
Композиція диференційовних функцій і
задовольняє ланцюговому правилу, а саме
для точки .
Якобіан градієнта скалярної функції кількох змінних має спеціальну назву: матриця Гесе, яка в певному сенсі є "другою похідною" розглянутої функції.
Визначник Якобі
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemsyTDBwaFkyOWlhV0Z1WDJSbGRHVnliV2x1WVc1MFgyRnVaRjlrYVhOMGIzSjBhVzl1TG5OMlp5ODBNREJ3ZUMxS1lXTnZZbWxoYmw5a1pYUmxjbTFwYm1GdWRGOWhibVJmWkdsemRHOXlkR2x2Ymk1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Якщо , то
є функцією з
в
, а матриця Якобі є квадратною матрицею. Для цієї матриці можна знайти визначник, відомий як визначник Якобі. Визначник Якобі іноді називають просто "якобіаном".
Визначник Якобі у заданій точці дає важливу інформацію про поведінку функції в околі цієї точки. Наприклад, неперервно диференційована функція є оборотною в околі точки
, якщо її визначник Якобі в точці
відмінний від нуля. Це теорема про обернену функцію. Крім того, якщо визначник Якобі в точці
(додатній), то функція
зберігає орієнтацію в околі точки
; якщо він від'ємний, то функція
змінює орієнтацію. Абсолютне значення визначника Якобі в точці
дорівнює коефіцієнту, на який функція
збільшує або зменшує об'єм в околі точки
; ось чому визначник Якобі зустрічається в загальному [en].
Визначник Якобі використовується при [en] для обчислення кратного інтеграла функції по області в межах її області визначення. При врахуванні зміни координат величина визначника Якобі виникає як мультиплікативний множник у підінтегральному виразі. Це пов'язане з тим, що -вимірний елемент
у загальному випадку є паралелепіпедом у новій системі координат, а об'єм
-вимірного паралелепіпеда є визначником векторів його ребер.
Якобіан також можна використовувати для визначення стійкості рівноваги для [en] шляхом апроксимації поведінки в околі точки рівноваги. Його застосування включає визначення стабільності рівноваги без захворювання при моделюванні хвороб.
Обернення
Згідно з теоремою про обернену функцію, матрицею, оберненою до матриці Якобі оберненої функції, є матриця Якобі оберненої функції. Тобто, якщо якобіан функції є неперервним і невиродженим у точці
, то функція
є оборотною у деякому околі точки
і
І навпаки, якщо визначник Якобі не дорівнює нулю в точці, то функція локально оборотна в околі цієї точки, тобто існує окіл цієї точки, в якому функція є оборотною.
(Недоведена) [en] пов'язана з глобальною оборотністю у випадку поліноміальної функції, тобто функції, визначеної поліномами від
змінних. Вона стверджує, що якщо визначник Якобі є ненульовою константою (або, що еквівалентно, що він не має жодного комплексного нуля), то функція є оборотною, і обернена до неї функція є поліноміальною функцією.
Критичні точки
Якщо є диференційованою функцією, то критичною точкою функції
є точка в якій ранг матриці Якобі не є максимальним. Це означає, що ранг у критичній точці менший за ранг у деякій сусідній точці. Іншими словами, нехай
— максимальна розмірність відкритих куль, що містяться в образі функції
; тоді точка є критичною, якщо всі мінори рангу
функції
дорівнюють нулю.
У випадку, коли , точка є критичною, якщо визначник Якобі дорівнює нулю.
Властивості
- Якщо всі
неперервно діференцюються в околі
, то
- Нехай
— відображення, що диференціюються,
,
— їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):
- За теоремою Сарда, для гладкого (
-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).
- Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:
Приклади
Приклад 1
Розглянемо функцію з
задану так
Тоді маємо, що
і
і матриця Якобі це
а визначник Якобі це
Приклад 2: полярно-декартове перетворення
Перетворення з полярних координат в декартові координати
задається функцією
за допомогою заміни змінних
Матриця Якобі має вигляд
Визначник Якобі дорівнює . Це можна використовувати для перетворення інтегралів між двома системами координат:
Приклад 3: сферично-декартове перетворення
Перетворення з сферичних координат в декартові координати
задається функцією
за допомогою заміни змінних
Матриця Якобі для такого перетворення матиме вигляд
Визначник Якобі дорівнює . Оскільки
— це об'єм прямокутного диференціального елемента (оскільки об'єм прямокутної призми є добутком її сторін), то можна інтерпретувати
як об'єм сферичного [en]. На відміну від об'єму прямокутного диференціального елемента об'єм цього диференціального елемента не є сталою величиною і змінюється залежно від координат (
та
). Його можна використовувати для перетворення інтегралів між двома системами координат:
Приклад 4
Якобіан функції з компонентами
це
Цей приклад показує, що матриця Якобі не обов'язково квадратна.
Приклад 5
Визначник Якобі функції з компонентами
має вигляд
Звідси бачимо, що функція змінює орієнтацію біля тих точок, де
і
мають однаковий знак; функція локально оборотна скрізь, окрім околу точок
або
. Інтуїтивно, якщо почати з крихітного об'єкта навколо точки
і застосувати функцію
до цього об'єкта, то можна отримати результуючий об'єкт з об'ємом приблизно
разів більшим від оригінального, зі зворотною орієнтацією.
Інші приклади використання
Регресія та підгонка найменших квадратів
Якобіан використовується як лінеаризована матриця для статистичної регресії та підгонки кривої; див. нелінійні найменші квадрати.
Динамічні системи
Розглянемо динамічну систему виду , де
є (компонентною) похідною від
щодо параметра еволюції
(час) і функція
диференційована. Якщо
, то
— стаціонарна точка (також називається стаціонаром). За теоремою Гробмана — Гартмана поведінка системи в околі стаціонарної точки пов'язана з власними значеннями
, якобіан функції
у стаціонарній точці. Зокрема, якщо всі власні значення мають дійсні частини, які є від'ємними, то система стабільна в околі стаціонарної точки; якщо будь-яке власне значення має дійсну частину, яка є додатною, то точка нестабільна. Якщо найбільша дійсна частина власних значень дорівнює нулю, матриця Якобі не дозволяє оцінити стабільність.
Метод Ньютона
Квадратну систему зв'язаних нелінійних рівнянь можна розв'язувати ітераційно за методом Ньютона. У цьому методі використовується матриця Якобі системи рівнянь.
Див. також
Література
- Jacobian - Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries. Oxford Dictionaries - English. оригіналу за 1 грудня 2017. Процитовано 2 травня 2018.
- the definition of jacobian. Dictionary.com. оригіналу за 1 грудня 2017. Процитовано 2 травня 2018.
- Team, Forvo. . forvo.com. Архів оригіналу за 8 липня 2018. Процитовано 2 травня 2018.
- W., Weisstein, Eric. Jacobian. mathworld.wolfram.com. оригіналу за 3 листопада 2017. Процитовано 2 травня 2018.
- Диференційованість у точці
передбачає, але не випливає з існування всіх частинних похідних першого порядку в точці
, а отже, є сильнішою умовою.
- ((Smith? RJ)) (2015). . Chalkdust. 2: 10—17. Архів оригіналу за 4 травня 2022. Процитовано 31 травня 2022.
- Joel Hass, Christopher Heil, and Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e. Pearson, 2018, p. 959.
- Arrowsmith, D. K.; Place, C. M. (1992). . Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. с. 77—81. ISBN . Архів оригіналу за 31 травня 2022. Процитовано 31 травня 2022.
- Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. ISBN .
Додаткова література
- Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305--330. .
- Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412--420. .
Зовнішні лінки
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Jacobian, Математична енциклопедія, , ISBN
- Mathworld [ 3 листопада 2017 у Wayback Machine.] A more technical explanation of Jacobians
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U vektornomu analizi matricya Yakobivektorznachnoyi funkciyi kilkoh zminnih ye matriceyu vsih yiyi chastinnih pohidnih pershogo poryadku U vipadku kvadratnoyi matrici tobto yaksho kilkist nezalezhnih i zalezhnih zminnih funkciyi spivpadayut to yiyi viznachnik nazivayut viznachnikom Yakobi Krim togo matricyu i yiyi viznachnik yaksho vin viznachenij v literaturi chasto nazivayut prosto yakobianom Matricya Yakobi opisuye golovnu linijnu chastinu dovilnogo vidobrazhennya f Rn Rm displaystyle boldsymbol f colon mathbb R n to mathbb R m Ci ponyattya nazvani na chest matematika Karla Gustava Yakoba Yakobi 1804 1851 ViznachennyaNehaj zadano vidobrazhennya f Rn Rm displaystyle boldsymbol f colon mathbb R n to mathbb R m f f1 fm displaystyle boldsymbol f f 1 ldots f m fi fi x1 xn displaystyle f i f i x 1 ldots x n i 1 m displaystyle i 1 ldots m sho maye v deyakij tochci x displaystyle boldsymbol x vsi chastkovi pohidni pershogo poryadku Cya funkciya stavit u vidpovidnist tochci Rn displaystyle in mathbb R n vektor f x Rm displaystyle boldsymbol f boldsymbol x in mathbb R m Matricya J displaystyle J skladena z chastkovih pohidnih cih funkcij v tochci x displaystyle boldsymbol x nazivayetsya matriceyu Yakobi ciyeyi sistemi funkcij J x f x1 f xn Tf1 Tfm f1 x1 f1 xn fm x1 fm xn displaystyle J x begin pmatrix dfrac partial boldsymbol f partial x 1 amp cdots amp dfrac partial boldsymbol f partial x n end pmatrix begin pmatrix nabla rm T f 1 vdots nabla rm T f m end pmatrix begin pmatrix dfrac partial f 1 partial x 1 amp cdots amp dfrac partial f 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots dfrac partial f m partial x 1 amp cdots amp dfrac partial f m partial x n end pmatrix de Tfi displaystyle nabla rm T f i transponuvannya vektor ryadok gradiyenta i displaystyle i yi komponenti Matricya Yakobi elementi yakoyi ye funkciyami vid x displaystyle boldsymbol x poznachayetsya riznimi sposobami zagalni poznachennya vklyuchayut Df displaystyle D boldsymbol f Jf displaystyle J boldsymbol f f displaystyle nabla boldsymbol f i f1 fm x1 xn displaystyle frac partial f 1 dots f m partial x 1 dots x n Deyaki avtori viznachayut yakobian yak transponuvannya navedenoyi vishe formi Matricya Yakobi predstavlyaye diferencial funkciyi f displaystyle boldsymbol f u kozhnij tochci de funkciya f displaystyle boldsymbol f diferencijovana Detalnishe yaksho h displaystyle boldsymbol h ye vektorom zmishennya sho predstavlenij vektor stovpcem to matrichnij dobutok J x h displaystyle J boldsymbol x cdot boldsymbol h ye inshim vektorom zmishennya tobto najkrashim linijnim nablizhennyam zmini funkciyi f displaystyle boldsymbol f v okoli tochki x displaystyle boldsymbol x yaksho funkciya f x displaystyle boldsymbol f boldsymbol x ye diferencijovnoyu u tochci x displaystyle boldsymbol x Ce oznachaye sho funkciya yaka vidobrazhaye y displaystyle boldsymbol y u f x J x y x displaystyle boldsymbol f boldsymbol x J boldsymbol x cdot boldsymbol y boldsymbol x ye najkrashim linijnim nablizhennyam funkciyi f y displaystyle boldsymbol f boldsymbol y dlya vsih tochok y displaystyle boldsymbol y yaki blizki do tochki x displaystyle boldsymbol x Cya linijna funkciya vidoma yak pohidna abo diferencial funkciyi f displaystyle boldsymbol f u tochci x displaystyle boldsymbol x Yaksho m n displaystyle m n to matricya Yakobi ye kvadratnoyu tomu yiyi viznachnik ye dobre viznachenoyu funkciyeyu zminnoyi x displaystyle boldsymbol x i vidomij yak viznachnik Yakobi yakobian sistemi funkcij f1 fn displaystyle f 1 ldots f n Vin mistit vazhlivu informaciyu pro lokalnu povedinku funkciyi f displaystyle boldsymbol f Zokrema funkciya f displaystyle boldsymbol f maye lokalno v okoli tochki x displaystyle boldsymbol x obernenu funkciyu yaka ye diferencijovanoyu todi j lishe todi koli viznachnik Yakobi vidminnij vid nulya v tochci x displaystyle boldsymbol x en Viznachnik Yakobi takozh z yavlyayetsya pri zamini zminnih u kratnih integralah div en Yaksho m 1 displaystyle m 1 tobto f Rn R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R skalyarnoznachna funkciya to matricya Yakobi ye vektor ryadkom Tf displaystyle nabla rm T f Cej vektor ryadok usih chastinnih pohidnih pershogo poryadku vid funkciyi f displaystyle f ye transponuvannyam gradiyenta funkciyi f displaystyle f tobto Jf Tf displaystyle J f nabla rm T f U chastinnomu vipadku yaksho m n 1 displaystyle m n 1 tobto f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R skalyarnoznachna funkciya odniyeyi zminnoyi to matricya Yakobi maye odin element pohidna funkciyi f displaystyle f Matricya YakobiYakobian vektorznachnoyi funkciyi kilkoh zminnih uzagalnyuye ponyattya gradiyenta skalyarnoznachnoyi funkciyi kilkoh zminnih sho u svoyu chergu ye uzagalnennyam pohidnoyi vid skalyarnoznachnoyi funkciyi odniyeyi zminnoyi Inshimi slovami matricya Yakobi skalyarnoznachnoyi en ye yiyi transponovannim gradiyentom ta gradiyent skalyarnoznachnoyi funkciyi odniyeyi zminnoyi ye yiyi pohidnoyu U kozhnij tochci de funkciya ye diferencijovanoyu yiyi matricyu Yakobi mozhna takozh rozglyadati dlya opisu velichini roztyagu povorotu abo zsuvu yaki funkciya lokalno nabuvaye poblizu ciyeyi tochki Napriklad yaksho x y f x y displaystyle x y boldsymbol f x y vikoristovuyetsya dlya gladkogo peretvorennya zobrazhennya to matricya Yakobi Jf x y displaystyle J boldsymbol f x y opisuye peretvorennya zobrazhennya v okoli tochki x y displaystyle x y Yaksho funkciya diferencijovana v tochci to yiyi diferencial zadayetsya v koordinatah za dopomogoyu matrici Yakobi Odnak funkciya ne obov yazkovo povinna buti diferencijovanoyu shob yiyi matricya Yakobi bula viznachena oskilki vimagayetsya isnuvannya lishe yiyi chastinnih pohidnih pershogo poryadku Yaksho funkciya f displaystyle boldsymbol f ye diferencijovannoyu u tochci p displaystyle boldsymbol p v Rn displaystyle mathbb R n to yiyi diferencial predstavlyayetsya yak Jf p displaystyle J boldsymbol f boldsymbol p U comu vipadku linijne peretvorennya predstavlene matriceyu Jf p displaystyle J boldsymbol f boldsymbol p ye najkrashim linijnim nablizhennyam funkciyi f displaystyle boldsymbol f v okoli tochki p displaystyle boldsymbol p u tomu sensi sho f x f p Jf p x p o x p pri x p displaystyle begin aligned boldsymbol f boldsymbol x boldsymbol f boldsymbol p mathbf J boldsymbol f boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol p o boldsymbol x boldsymbol p quad text pri boldsymbol x to boldsymbol p end aligned de o x p displaystyle o boldsymbol x boldsymbol p ocinka yaka pryamuye do nulya nabagato shvidshe nizh vidstan mizh tochkami x displaystyle boldsymbol x i p displaystyle boldsymbol p koli tochka x displaystyle boldsymbol x nablizhayetsya do tochki p displaystyle boldsymbol p Ce nablizhennya bazuyetsya na aproksimaciyi skalyarnoyi funkciyi odniyeyi zminnoyi yiyi mnogochlenom Tejlora pershogo stepenya a same f x f p f p x p o x p pri x p displaystyle begin aligned boldsymbol f boldsymbol x boldsymbol f boldsymbol p boldsymbol f boldsymbol p boldsymbol x boldsymbol p o boldsymbol x boldsymbol p quad text pri boldsymbol x to boldsymbol p end aligned U comu sensi yakobian mozhna rozglyadati yak svogo rodu pohidnu pershogo poryadku vektorznachnoyi funkciyi kilkoh zminnih Zokrema ce oznachaye sho gradiyent skalyarnoznachnoyi funkciyi kilkoh zminnih takozh mozhna rozglyadati yak yiyi pohidnu pershogo poryadku Kompoziciya diferencijovnih funkcij f Rn Rm displaystyle boldsymbol f colon mathbb R n to mathbb R m i f Rm Rk displaystyle boldsymbol f colon mathbb R m to mathbb R k zadovolnyaye lancyugovomu pravilu a same Jg f x Jg f x Jf x displaystyle begin aligned J g circ f boldsymbol x J g boldsymbol f boldsymbol x J boldsymbol f boldsymbol x end aligned dlya tochki x Rn displaystyle boldsymbol x in mathbb R n Yakobian gradiyenta skalyarnoyi funkciyi kilkoh zminnih maye specialnu nazvu matricya Gese yaka v pevnomu sensi ye drugoyu pohidnoyu rozglyanutoyi funkciyi Viznachnik YakobiNelinijne vidobrazhennya f R2 R2 displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R 2 peretvoryuye nevelikij kvadrat chervonij livoruch do deformovanogo paralelograma chervonij pravoruch Yakobian u tochci daye najkrashe linijne nablizhennya deformovanogo paralelograma v okoli ciyeyi tochki napivprozorij bilij pravoruch a viznachnik Yakobi daye vidnoshennya ploshi aproksimacijnogo paralelograma do ploshi zadanogo kvadrata Yaksho m n displaystyle m n to f displaystyle boldsymbol f ye funkciyeyu z Rn displaystyle mathbb R n v Rn displaystyle mathbb R n a matricya Yakobi ye kvadratnoyu matriceyu Dlya ciyeyi matrici mozhna znajti viznachnik vidomij yak viznachnik Yakobi Viznachnik Yakobi inodi nazivayut prosto yakobianom Viznachnik Yakobi u zadanij tochci daye vazhlivu informaciyu pro povedinku funkciyi f displaystyle boldsymbol f v okoli ciyeyi tochki Napriklad neperervno diferencijovana funkciya ye oborotnoyu v okoli tochki p Rn displaystyle boldsymbol p in mathbb R n yaksho yiyi viznachnik Yakobi v tochci p displaystyle boldsymbol p vidminnij vid nulya Ce teorema pro obernenu funkciyu Krim togo yaksho viznachnik Yakobi v tochci p displaystyle boldsymbol p dodatnij to funkciya f displaystyle boldsymbol f zberigaye oriyentaciyu v okoli tochki p displaystyle boldsymbol p yaksho vin vid yemnij to funkciya f displaystyle boldsymbol f zminyuye oriyentaciyu Absolyutne znachennya viznachnika Yakobi v tochci p displaystyle boldsymbol p dorivnyuye koeficiyentu na yakij funkciya f displaystyle boldsymbol f zbilshuye abo zmenshuye ob yem v okoli tochki p displaystyle boldsymbol p os chomu viznachnik Yakobi zustrichayetsya v zagalnomu en Viznachnik Yakobi vikoristovuyetsya pri en dlya obchislennya kratnogo integrala funkciyi po oblasti v mezhah yiyi oblasti viznachennya Pri vrahuvanni zmini koordinat velichina viznachnika Yakobi vinikaye yak multiplikativnij mnozhnik u pidintegralnomu virazi Ce pov yazane z tim sho n displaystyle n vimirnij element dV displaystyle rm d V u zagalnomu vipadku ye paralelepipedom u novij sistemi koordinat a ob yem n displaystyle n vimirnogo paralelepipeda ye viznachnikom vektoriv jogo reber Yakobian takozh mozhna vikoristovuvati dlya viznachennya stijkosti rivnovagi dlya en shlyahom aproksimaciyi povedinki v okoli tochki rivnovagi Jogo zastosuvannya vklyuchaye viznachennya stabilnosti rivnovagi bez zahvoryuvannya pri modelyuvanni hvorob ObernennyaZgidno z teoremoyu pro obernenu funkciyu matriceyu obernenoyu do matrici Yakobi obernenoyi funkciyi ye matricya Yakobi obernenoyi funkciyi Tobto yaksho yakobian funkciyi f Rn Rn displaystyle boldsymbol f colon mathbb R n to mathbb R n ye neperervnim i nevirodzhenim u tochci p Rn displaystyle boldsymbol p in mathbb R n to funkciya f displaystyle boldsymbol f ye oborotnoyu u deyakomu okoli tochki p displaystyle boldsymbol p i Jf 1 Jf 1 displaystyle begin aligned J boldsymbol f 1 J boldsymbol f 1 end aligned I navpaki yaksho viznachnik Yakobi ne dorivnyuye nulyu v tochci to funkciya lokalno oborotna v okoli ciyeyi tochki tobto isnuye okil ciyeyi tochki v yakomu funkciya ye oborotnoyu Nedovedena en pov yazana z globalnoyu oborotnistyu u vipadku polinomialnoyi funkciyi tobto funkciyi viznachenoyi n displaystyle n polinomami vid n displaystyle n zminnih Vona stverdzhuye sho yaksho viznachnik Yakobi ye nenulovoyu konstantoyu abo sho ekvivalentno sho vin ne maye zhodnogo kompleksnogo nulya to funkciya ye oborotnoyu i obernena do neyi funkciya ye polinomialnoyu funkciyeyu Kritichni tochkiDokladnishe Kritichna tochna Yaksho f Rn Rm displaystyle boldsymbol f colon mathbb R n to mathbb R m ye diferencijovanoyu funkciyeyu to kritichnoyu tochkoyu funkciyi f displaystyle boldsymbol f ye tochka v yakij rang matrici Yakobi ne ye maksimalnim Ce oznachaye sho rang u kritichnij tochci menshij za rang u deyakij susidnij tochci Inshimi slovami nehaj k displaystyle k maksimalna rozmirnist vidkritih kul sho mistyatsya v obrazi funkciyi f displaystyle boldsymbol f todi tochka ye kritichnoyu yaksho vsi minori rangu k displaystyle k funkciyi f displaystyle boldsymbol f dorivnyuyut nulyu U vipadku koli m n k displaystyle m n k tochka ye kritichnoyu yaksho viznachnik Yakobi dorivnyuye nulyu VlastivostiYaksho vsi fi displaystyle boldsymbol f i neperervno diferencyuyutsya v okoli x0 displaystyle boldsymbol x 0 to f x f x0 J x0 x x0 o x x0 displaystyle boldsymbol f x boldsymbol f x 0 J x 0 boldsymbol x boldsymbol x 0 o boldsymbol x boldsymbol x 0 Nehaj f Rn Rm ps Rm Rk displaystyle varphi colon mathbb R n to mathbb R m psi colon mathbb R m to mathbb R k vidobrazhennya sho diferenciyuyutsya Jf displaystyle J varphi Jps displaystyle J psi yihni matrici Yakobi Todi matricya Yakobi kompoziciyi vidobrazhen dorivnyuye dobutku yihnih matric Yakobi vlastivist funktorialnosti Jps f JpsJf displaystyle J psi circ varphi J psi J varphi Za teoremoyu Sarda dlya gladkogo k displaystyle k raziv diferencijovnogo vidobrazhennya mnozhina tochok na yakij matricya Yakobi virodzhena vidobrazhayetsya u mnozhinu nulovoyi miri mira Lebega Vidobrazhennya nazivayut nevirodzhenim yaksho jogo matricya Yakobi maye maksimalnij mozhlivij rang rankJ min m n displaystyle mathrm rank J min m n PrikladiPriklad 1 Rozglyanemo funkciyu f R2 R2 displaystyle boldsymbol f colon mathbb R 2 to mathbb R 2 z x y f1 x y f2 x y displaystyle x y mapsto f 1 x y f 2 x y zadanu tak f xy f1 x y f2 x y x2y5x sin y displaystyle boldsymbol f left begin bmatrix x y end bmatrix right begin bmatrix f 1 x y f 2 x y end bmatrix begin bmatrix x 2 y 5x sin y end bmatrix Todi mayemo sho f1 x y x2y displaystyle f 1 x y x 2 y i f2 x y 5x sin y displaystyle f 2 x y 5x sin y i matricya Yakobi f displaystyle boldsymbol f ce Jf x y f1 x f1 y f2 x f2 y 2xyx25cos y displaystyle mathbf J boldsymbol f x y begin bmatrix dfrac partial f 1 partial x amp dfrac partial f 1 partial y 1em dfrac partial f 2 partial x amp dfrac partial f 2 partial y end bmatrix begin bmatrix 2xy amp x 2 5 amp cos y end bmatrix a viznachnik Yakobi ce det Jf x y 2xycos y 5x2 displaystyle det mathbf J boldsymbol f x y 2xy cos y 5x 2 Priklad 2 polyarno dekartove peretvorennya Peretvorennya z polyarnih koordinat r f displaystyle r varphi v dekartovi koordinati x y displaystyle x y zadayetsya funkciyeyu F R 0 2p R2 displaystyle F colon mathbb R times 0 2 pi to mathbb R 2 za dopomogoyu zamini zminnih x rcos f y rsin f displaystyle begin aligned x amp r cos varphi y amp r sin varphi end aligned Matricya Yakobi maye viglyad JF r f x r x f y r y f cos f rsin fsin frcos f displaystyle begin aligned J boldsymbol F r varphi begin bmatrix dfrac partial x partial r amp dfrac partial x partial varphi 1em dfrac partial y partial r amp dfrac partial y partial varphi end bmatrix begin bmatrix cos varphi amp r sin varphi sin varphi amp r cos varphi end bmatrix end aligned Viznachnik Yakobi dorivnyuye r displaystyle r Ce mozhna vikoristovuvati dlya peretvorennya integraliv mizh dvoma sistemami koordinat F A f x y dxdy Af rcos f rsin f rdrdf displaystyle iint boldsymbol F A f x y rm d x rm d y iint A f r cos varphi r sin varphi r rm d r rm d varphi Priklad 3 sferichno dekartove peretvorennya Peretvorennya z sferichnih koordinat r f 8 displaystyle rho varphi theta v dekartovi koordinati x y z displaystyle x y z zadayetsya funkciyeyu F R 0 p 0 2p R3 displaystyle F colon mathbb R times 0 pi times 0 2 pi to mathbb R 3 za dopomogoyu zamini zminnih x rsin fcos 8 y rsin fsin 8 z rcos f displaystyle begin aligned x amp rho sin varphi cos theta y amp rho sin varphi sin theta z amp rho cos varphi end aligned Matricya Yakobi dlya takogo peretvorennya matime viglyad JF r f 8 x r x f x 8 y r y f y 8 z r z f z 8 sin fcos 8rcos fcos 8 rsin fsin 8sin fsin 8rcos fsin 8rsin fcos 8cos f rsin f0 displaystyle begin aligned J boldsymbol F rho varphi theta amp begin bmatrix dfrac partial x partial rho amp dfrac partial x partial varphi amp dfrac partial x partial theta 1em dfrac partial y partial rho amp dfrac partial y partial varphi amp dfrac partial y partial theta 1em dfrac partial z partial rho amp dfrac partial z partial varphi amp dfrac partial z partial theta end bmatrix amp begin bmatrix sin varphi cos theta amp rho cos varphi cos theta amp rho sin varphi sin theta sin varphi sin theta amp rho cos varphi sin theta amp rho sin varphi cos theta cos varphi amp rho sin varphi amp 0 end bmatrix end aligned Viznachnik Yakobi dorivnyuye r2sin f displaystyle rho 2 sin varphi Oskilki dV dxdydz displaystyle rm d V rm d x rm d y rm d z ce ob yem pryamokutnogo diferencialnogo elementa oskilki ob yem pryamokutnoyi prizmi ye dobutkom yiyi storin to mozhna interpretuvati dV r2sin fdrdfd8 displaystyle begin aligned rm d V rho 2 sin varphi rm d rho rm d varphi rm d theta end aligned yak ob yem sferichnogo en Na vidminu vid ob yemu pryamokutnogo diferencialnogo elementa ob yem cogo diferencialnogo elementa ne ye staloyu velichinoyu i zminyuyetsya zalezhno vid koordinat r displaystyle rho ta f displaystyle varphi Jogo mozhna vikoristovuvati dlya peretvorennya integraliv mizh dvoma sistemami koordinat F U f x y z dxdydz Uf rsin fcos 8 rsin fsin 8 rcos f r2sin fdrdfd8 displaystyle begin aligned iiint mathbf F U f x y z rm d x rm d y rm d z iiint U f rho sin varphi cos theta rho sin varphi sin theta rho cos varphi rho 2 sin varphi rm d rho rm d varphi rm d theta end aligned Priklad 4 Yakobian funkciyi F R3 R4 displaystyle boldsymbol F colon mathbb R 3 to mathbb R 4 z komponentami y1 x1 y2 5x3 y3 4x22 2x3 y4 x3sin x1 displaystyle begin aligned y 1 amp x 1 y 2 amp 5x 3 y 3 amp 4x 2 2 2x 3 y 4 amp x 3 sin x 1 end aligned ce JF x1 x2 x3 y1 x1 y1 x2 y1 x3 y2 x1 y2 x2 y2 x3 y3 x1 y3 x2 y3 x3 y4 x1 y4 x2 y4 x3 10000508x2 2x3cos x10sin x1 displaystyle mathbf J mathbf F x 1 x 2 x 3 begin bmatrix dfrac partial y 1 partial x 1 amp dfrac partial y 1 partial x 2 amp dfrac partial y 1 partial x 3 1em dfrac partial y 2 partial x 1 amp dfrac partial y 2 partial x 2 amp dfrac partial y 2 partial x 3 1em dfrac partial y 3 partial x 1 amp dfrac partial y 3 partial x 2 amp dfrac partial y 3 partial x 3 1em dfrac partial y 4 partial x 1 amp dfrac partial y 4 partial x 2 amp dfrac partial y 4 partial x 3 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 5 0 amp 8x 2 amp 2 x 3 cos x 1 amp 0 amp sin x 1 end bmatrix Cej priklad pokazuye sho matricya Yakobi ne obov yazkovo kvadratna Priklad 5 Viznachnik Yakobi funkciyi F R3 R3 displaystyle boldsymbol F colon mathbb R 3 to mathbb R 3 z komponentami y1 5x2 y2 4x12 2sin x2x3 y3 x2x3 displaystyle begin aligned amp y 1 5x 2 amp y 2 4x 1 2 2 sin x 2 x 3 amp y 3 x 2 x 3 end aligned maye viglyad 0508x1 2x3cos x2x3 2x2cos x2x3 0x3x2 8x1 50x3x2 40x1x2 displaystyle begin aligned begin vmatrix 0 amp 5 amp 0 8x 1 amp 2x 3 cos x 2 x 3 amp 2x 2 cos x 2 x 3 0 amp x 3 amp x 2 end vmatrix 8x 1 begin vmatrix 5 amp 0 x 3 amp x 2 end vmatrix 40x 1 x 2 end aligned Zvidsi bachimo sho funkciya F displaystyle boldsymbol F zminyuye oriyentaciyu bilya tih tochok de x1 displaystyle x 1 i x2 displaystyle x 2 mayut odnakovij znak funkciya lokalno oborotna skriz okrim okolu tochok x1 0 displaystyle x 1 0 abo x2 0 displaystyle x 2 0 Intuyitivno yaksho pochati z krihitnogo ob yekta navkolo tochki 1 2 3 displaystyle 1 2 3 i zastosuvati funkciyu F displaystyle boldsymbol F do cogo ob yekta to mozhna otrimati rezultuyuchij ob yekt z ob yemom priblizno 40 1 2 80 displaystyle 40 times 1 times 2 80 raziv bilshim vid originalnogo zi zvorotnoyu oriyentaciyeyu Inshi prikladi vikoristannyaRegresiya ta pidgonka najmenshih kvadrativ Yakobian vikoristovuyetsya yak linearizovana matricya dlya statistichnoyi regresiyi ta pidgonki krivoyi div nelinijni najmenshi kvadrati Dinamichni sistemi Rozglyanemo dinamichnu sistemu vidu x F x displaystyle dot boldsymbol x boldsymbol F boldsymbol x de x displaystyle dot boldsymbol x ye komponentnoyu pohidnoyu vid x displaystyle boldsymbol x shodo parametra evolyuciyi t displaystyle t chas i funkciya F Rn Rn displaystyle boldsymbol F colon mathbb R n to mathbb R n diferencijovana Yaksho F x0 0 displaystyle boldsymbol F boldsymbol x 0 0 to x0 displaystyle boldsymbol x 0 stacionarna tochka takozh nazivayetsya stacionarom Za teoremoyu Grobmana Gartmana povedinka sistemi v okoli stacionarnoyi tochki pov yazana z vlasnimi znachennyami JF x0 displaystyle J boldsymbol F boldsymbol x 0 yakobian funkciyi F displaystyle boldsymbol F u stacionarnij tochci Zokrema yaksho vsi vlasni znachennya mayut dijsni chastini yaki ye vid yemnimi to sistema stabilna v okoli stacionarnoyi tochki yaksho bud yake vlasne znachennya maye dijsnu chastinu yaka ye dodatnoyu to tochka nestabilna Yaksho najbilsha dijsna chastina vlasnih znachen dorivnyuye nulyu matricya Yakobi ne dozvolyaye ociniti stabilnist Metod Nyutona Kvadratnu sistemu zv yazanih nelinijnih rivnyan mozhna rozv yazuvati iteracijno za metodom Nyutona U comu metodi vikoristovuyetsya matricya Yakobi sistemi rivnyan Div takozhDiferencial Yakobian Centralnij mnogovid Matricya GeseLiteraturaJacobian Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries Oxford Dictionaries English originalu za 1 grudnya 2017 Procitovano 2 travnya 2018 the definition of jacobian Dictionary com originalu za 1 grudnya 2017 Procitovano 2 travnya 2018 Team Forvo forvo com Arhiv originalu za 8 lipnya 2018 Procitovano 2 travnya 2018 W Weisstein Eric Jacobian mathworld wolfram com originalu za 3 listopada 2017 Procitovano 2 travnya 2018 Diferencijovanist u tochci x displaystyle boldsymbol x peredbachaye ale ne viplivaye z isnuvannya vsih chastinnih pohidnih pershogo poryadku v tochci x displaystyle boldsymbol x a otzhe ye silnishoyu umovoyu Smith RJ 2015 Chalkdust 2 10 17 Arhiv originalu za 4 travnya 2022 Procitovano 31 travnya 2022 Joel Hass Christopher Heil and Maurice Weir Thomas Calculus Early Transcendentals 14e Pearson 2018 p 959 Arrowsmith D K Place C M 1992 Dynamical Systems Differential Equations Maps and Chaotic Behaviour London Chapman amp Hall s 77 81 ISBN 0 412 39080 9 Arhiv originalu za 31 travnya 2022 Procitovano 31 travnya 2022 Hirsch Morris Smale Stephen 1974 Differential Equations Dynamical Systems and Linear Algebra ISBN 0 12 349550 4 Dodatkova literaturaGandolfo Giancarlo 1996 Comparative Statics and the Correspondence Principle Economic Dynamics Third ed Berlin Springer pp 305 330 ISBN 3 540 60988 1 Protter Murray H Morrey Charles B Jr 1985 Transformations and Jacobians Intermediate Calculus Second ed New York Springer pp 412 420 ISBN 0 387 96058 9 Zovnishni linkiHazewinkel Michiel red 2001 Jacobian Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Mathworld 3 listopada 2017 u Wayback Machine A more technical explanation of JacobiansDzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros