Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkV6TDFCdmJIbHViMjFwWVd4a1pXY3pMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRYjJ4NWJtOXRhV0ZzWkdWbk15NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.
У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.
Функції однієї змінної
Нехай функція визначена в деякому околі точки
і нехай
. Функція
називається диференційовною в точці
(англ. differentiable), якщо приріст
можна представити у вигляді:
.
де:
— стала. При фіксованій
A не залежить від
; але коли відбувається зміна
, A змінюється також,
при
.
Лінійна функція (від
) називається диференціалом функції в точці
і позначається
, або, коротше
.
Таким чином:
при
,
.
Властивості
Для того, аби функція була диференційовна в деякій точці
, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:
.
Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.
Функції багатьох змінних
Відображення називається диференційовним в точці
якщо існує лінійне відображення
, що залежить від точки
, таке що
або
.
Лінійне відображення називається диференціалом відображення
в точці
.
Якщо відображення задано за допомогою функцій
то матриця диференціала — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним
Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними
На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.
- Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
- Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція
- для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.
- Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
- Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці
Див. також
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, т. 1. с. 124—127.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkciya odniyeyi chi kilkoh dijsnih zminnih nazivayetsya diferencijovnoyu v tochci yaksho v deyakomu okoli ciyeyi tochki vona v pevnomu sensi dosit dobre nablizhayetsya deyakoyu linijnoyu funkciyeyu vidobrazhennyam Dane linijne vidobrazhennya nazivayetsya diferencialom funkciyi v cij tochci Priklad diferencijovnoyi funkciyi Yaksho funkciya ye diferencijovnoyu v kozhnij tochci deyakoyi mnozhini to vona nazivayetsya diferencijovnoyu na cij mnozhini U vipadku funkcij odniyeyi zminnoyi umova diferencijovnosti ekvivalentna umovi isnuvannya pohidnoyi Funkciyi odniyeyi zminnoyiNehaj funkciya y f x displaystyle y f x viznachena v deyakomu okoli tochki x0 displaystyle x 0 i nehaj Dx x x0 displaystyle Delta x x x 0 Funkciya f displaystyle f nazivayetsya diferencijovnoyu v tochci x0 displaystyle x 0 angl differentiable yaksho pririst Dy f x0 Dx f x0 displaystyle Delta y f x 0 Delta x f x 0 mozhna predstaviti u viglyadi Dy ADx a Dx displaystyle Delta y A Delta x alpha Delta x de A displaystyle A stala Pri fiksovanij x0 displaystyle x 0 A ne zalezhit vid Dx displaystyle Delta x ale koli vidbuvayetsya zmina x0 displaystyle x 0 A zminyuyetsya takozh a Dx o Dx displaystyle alpha Delta x o Delta x pri x 0 displaystyle x to 0 Linijna funkciya ADx displaystyle A Delta x vid Dx displaystyle Delta x nazivayetsya diferencialom funkciyi v tochci x0 displaystyle x 0 i poznachayetsya df x0 displaystyle df x 0 abo korotshe dy displaystyle dy Takim chinom Dy dy o Dx displaystyle Delta y dy o Delta x pri Dx 0 displaystyle Delta x to 0 dy ADx displaystyle dy A Delta x Vlastivosti Dlya togo abi funkciya f displaystyle f bula diferencijovna v deyakij tochci x0 displaystyle x 0 neobhidno i dostatno shob vona mala pohidnu v cij tochci pri chomu v comu vipadku dy f x0 dx displaystyle dy f x 0 dx Yaksho funkciya diferencijovna v deyakij tochci to vona takozh ye neperervnoyu v cij tochci Funkciyi bagatoh zminnihVidobrazhennya f M Rn Rm displaystyle f colon M subset mathbb R n to mathbb R m nazivayetsya diferencijovnim v tochci x0 displaystyle x 0 yaksho isnuye linijne vidobrazhennya A Rn Rm displaystyle A colon mathbb R n to mathbb R m sho zalezhit vid tochki x0 displaystyle x 0 take sho f x f x0 A x x0 o x x0 x x0 displaystyle f x f x 0 A x x 0 o x x 0 quad x to x 0 abo limx x0 f x f x0 A x x0 x x0 0 displaystyle lim limits x to x 0 frac f x f x 0 A x x 0 x x 0 0 Linijne vidobrazhennya A Rn Rm displaystyle A colon mathbb R n to mathbb R m nazivayetsya diferencialom vidobrazhennya f x displaystyle f x v tochci x0 displaystyle x 0 Yaksho vidobrazhennya f M Rn Rm displaystyle f colon M subset mathbb R n to mathbb R m zadano za dopomogoyu funkcij fi M Rn R i 1 m displaystyle f i colon M subset mathbb R n to mathbb R quad i 1 ldots m to matricya diferenciala A displaystyle A ce matricya Yakobi elementi yakoyi rivni chastkovim pohidnim Jij fi xj displaystyle mathbf J ij frac partial f i partial x j Zv yazok mizh diferencijovnistyu i chastkovimi pohidnimi Na vidminu vid funkcij odniyeyi zminnoyi de diferencijovnist ekvivalentna isnuvannyu pohidnoyi u vipadku bagatoh zminnih zalezhnist z chastkovimi pohidnimi trohi skladnisha Spravedlivimi ye nastupni tverdzhennya Yaksho funkciya diferencijovna v tochci to vsi yiyi chastkovi pohidni i bilsh zagalno pohidni za napryamkom isnuyut v cij tochci Zvorotnye tverdzhennya nevirne Prikladom mozhe buti funkciyaf x y y3 x2 y2 if x y 0 0 0if x y 0 0 displaystyle f x y begin cases y 3 x 2 y 2 amp text if x y neq 0 0 0 amp text if x y 0 0 end cases dlya yakoyi v tochci 0 0 isnuyut pohidni za vsima napryamkami zokrema i chastkovi pohidni ale v cij tochci funkciya ne ye diferencijovnoyu Yaksho vsi chastkovi pohidni v tochci isnuyut i dodatkovo ye v nij neperervnimi to funkciya ye diferencijovnoyu Umova neperervnosti chastkovih pohidnih ne ye neobhidnoyu dlya diferencijovnosti Napriklad u funkciyi nizhche obidvi chastkovi pohidni ne ye neperervni v tochci 0 0 ale vona ye diferencijovnoyu v cij tochcif x y x2 y2 sin 1x2 y2 if x y 0 0 0if x y 0 0 displaystyle f x y begin cases x 2 y 2 sin left frac 1 sqrt x 2 y 2 right amp text if x y neq 0 0 0 amp text if x y 0 0 end cases Div takozhPortal Matematika Pohidna Chastkova pohidna Pohidna za napryamkom Tochka zlamuDzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Kudryavcev L D Matematicheskij analiz t 1 s 124 127 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi