Точка зламу

Точка зламу або кутова точка — особлива точка кривої, яка має властивість, що гілки кривої, на які ця точка ділить початкову криву, мають у цій точці різні (односторонні) дотичні. Функція не є гладкою в даній точці.

Кажуть, що функція має точку зламу, якщо графік функції має точку зламу. Функція має точку зламу, якщо вона має різні праву і ліву похідні, тобто, виконується нерівність ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f^{'}(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{+}}f^{'}(x)}$ і хоча б одна з них скінченна (права або ліва границя не прямує до ${\displaystyle \pm \infty }$).

Точкою зламу функції ${\displaystyle y=f(x)}$ є критична точка першого роду в якій похідна функції має розрив (за винятком випадку нескінченних односторонніх похідних одного знака), тобто права і ліва похідні не збігаються. Точка зламу нерідко є точкою локального екстремуму, в тому випадку якщо похідні зліва і справа мають різні знаки.

Приклад: функція ${\displaystyle y=|x|}$

функція ${\displaystyle y=|x|}$ є неперервною в точці (0,0). Похідна дорівнює ${\displaystyle y'=sgn(x)}$, яка має розрив у точці (0,0). ${\displaystyle f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1}$ — права і ліва похідні не збігаються. Таким чином точка (0,0) є точкою зламу функції.

Функція ${\displaystyle y=|x|}$

Примітки

1. А. Б. Иванов И. М. Виноградов. Излома точка // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия. — М., 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
2. А. В. Иванов И. М. Виноградов. Особая точка // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия. — М., 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
3. Иванов В. И., Васин С. И. Методические указания к изучению темы «Исследование функции». — М. : Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина, 2010. — 35 с.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Див. також

• Касп
• Диференційовна функція