Екстре́мум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkkyTDBWNGRISmxiV0ZmWlhoaGJYQnNaVjlsY3k1emRtY3ZiR0Z1WjNWckxUSXlNSEI0TFVWNGRISmxiV0ZmWlhoaGJYQnNaVjlsY3k1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Розрізняють:
- лока́льний — екстремум у певному довільно малому околі даної точки;
- глоба́льний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.
Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання:
теорії автоматичного керування, , біології, фізиці тощо.
Визначення
Нехай дано функцію і
— внутрішня точка області визначення
Тоді
називається точкою локального максимуму функції
якщо існує проколотий окіл
такий, що
називається точкою локального мінімуму функції
якщо існує проколотий окіл
такий, що
називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо
називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо
Якщо нерівності вище строгі, то називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.
Значення функції називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.
Зауваження
Функція визначена на множині
може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад,
Необхідні умови існування локальних екстремумів
З леми Ферма випливає таке:
- Нехай точка
є точкою екстремуму функції
, визначеної в деякому околі точки
.
- Тоді або похідна
не існує, або
.
Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції .
Достатні умови існування локальних екстремумів
- Нехай функція
неперервна в
і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні
. Тоді за умови
є точкою строгого локального максимуму. А якщо
то є точкою строгого локального мінімуму.
Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці .
- Нехай функція
неперервна і двічі диференційовна в точці
. Тоді за умови
і
є точкою локального максимуму. А якщо
і
то є точкою локального мінімуму.
- Нехай функція
диференційовна
разів у точці
і
, а
.
Якщо парне і
, то
— точка локального максимуму. Якщо
— парне і
, то
— точка локального мінімуму. Якщо
— непарне, то екстремуму немає.
Теорема Ферма
Нехай — точка екстремуму функції
. Якщо
— внутрішня точка для
і
— диференційовна в точці
, то
.
Теорема Ролля
Якщо неперервна на
, диференційовна на
і
, то
Див. також
Примітки
- Пшеничный, 1969, с. 7.
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М. : Высшая школа, 1973. — Т. 1.
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — .
Посилання
- Абсолютний екстремум (у математиці) [ 25 лютого 2022 у Wayback Machine.] // ВУЕ
- Означення максимуму та мінімуму функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 300. — 594 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ekstre mum najbilshe abo najmenshe znachennya funkciyi na zadanij mnozhini Rozriznyayut loka lnij ekstremum u pevnomu dovilno malomu okoli danoyi tochki globa lnij ekstremum v usij rozglyaduvanij oblasti znachen funkcij Zadachi znahodzhennya ekstremumu vinikayut u vsih galuzyah lyudskogo znannya teoriyi avtomatichnogo keruvannya ekonomici biologiyi fizici tosho ViznachennyaNehaj dano funkciyu f M R R displaystyle f M subset mathbb R to mathbb R i x0 M0 displaystyle x 0 in M 0 vnutrishnya tochka oblasti viznachennya f displaystyle f Todi x0 displaystyle x 0 nazivayetsya tochkoyu lokalnogo maksimumu funkciyi f displaystyle f yaksho isnuye prokolotij okil U x0 displaystyle dot U x 0 takij sho x U x0 f x f x0 displaystyle forall x in dot U x 0 quad f x leqslant f x 0 x0 displaystyle x 0 nazivayetsya tochkoyu lokalnogo minimumu funkciyi f displaystyle f yaksho isnuye prokolotij okil U x0 displaystyle dot U x 0 takij sho x U x0 f x f x0 displaystyle forall x in dot U x 0 quad f x geqslant f x 0 x0 displaystyle x 0 nazivayetsya tochkoyu globalnogo absolyutnogo maksimumu yaksho x Mf x f x0 displaystyle forall x in M quad f x leqslant f x 0 x0 displaystyle x 0 nazivayetsya tochkoyu globalnogo absolyutnogo minimumu yaksho x Mf x f x0 displaystyle forall x in M quad f x geqslant f x 0 Yaksho nerivnosti vishe strogi to x0 displaystyle x 0 nazivayetsya tochkoyu strogogo lokalnogo abo globalnogo maksimumu abo minimumu vidpovidno Znachennya funkciyi f x0 displaystyle f x 0 nazivayut vidpovidno strogim lokalnim abo globalnim maksimumom abo minimumom Tochki yaki ye tochkami lokalnogo maksimumu abo minimumu nazivayut tochkami lokalnogo ekstremumu ZauvazhennyaFunkciya f displaystyle f viznachena na mnozhini M displaystyle M mozhe ne mati na nomu zhodnogo lokalnogo abo globalnogo ekstremumu Napriklad f x x x 1 1 displaystyle f x x x in 1 1 Neobhidni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumivZ lemi Ferma viplivaye take Nehaj tochka x0 displaystyle x 0 ye tochkoyu ekstremumu funkciyi f displaystyle f viznachenoyi v deyakomu okoli tochki x0 displaystyle x 0 Todi abo pohidna f x0 displaystyle f x 0 ne isnuye abo f x0 0 displaystyle f x 0 0 Ci umovi ne ye dostatnimi tak funkciya mozhe mati nul pohidnoyi v tochci ale cya tochka mozhe ne buti tochkoyu ekstremumu a buti skazhimo tochkoyu pereginu yak tochka 0 0 u funkciyi f x x3 displaystyle f x x 3 Dostatni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumivNehaj funkciya f C x0 displaystyle f in C x 0 neperervna v x0 M0 displaystyle x 0 in M 0 i isnuyut skinchenni abo neskinchenni odnostoronni pohidni f x0 f x0 displaystyle f x 0 f x 0 Todi za umovif x0 lt 0 f x0 gt 0 displaystyle f x 0 lt 0 f x 0 gt 0 x0 displaystyle x 0 ye tochkoyu strogogo lokalnogo maksimumu A yaksho f x0 gt 0 f x0 lt 0 displaystyle f x 0 gt 0 f x 0 lt 0 to x0 displaystyle x 0 ye tochkoyu strogogo lokalnogo minimumu Zauvazhimo sho pri comu funkciya ne obov yazkovo diferencijovna v tochci x0 displaystyle x 0 Nehaj funkciya f displaystyle f neperervna i dvichi diferencijovna v tochci x0 displaystyle x 0 Todi za umovif x0 0 displaystyle f x 0 0 i f x0 lt 0 displaystyle f x 0 lt 0 x0 displaystyle x 0 ye tochkoyu lokalnogo maksimumu A yaksho f x0 0 displaystyle f x 0 0 i f x0 gt 0 displaystyle f x 0 gt 0 to x0 displaystyle x 0 ye tochkoyu lokalnogo minimumu Nehaj funkciya f displaystyle f diferencijovna n displaystyle n raziv u tochci x0 displaystyle x 0 i f x0 f x0 f n 1 x0 0 displaystyle f x 0 f x 0 dots f n 1 x 0 0 a f n x0 0 displaystyle f n x 0 neq 0 Yaksho n displaystyle n parne i f n x0 lt 0 displaystyle f n x 0 lt 0 to x0 displaystyle x 0 tochka lokalnogo maksimumu Yaksho n displaystyle n parne i f n x0 gt 0 displaystyle f n x 0 gt 0 to x0 displaystyle x 0 tochka lokalnogo minimumu Yaksho n displaystyle n neparne to ekstremumu nemaye Teorema FermaDokladnishe Teorema Ferma Nehaj x0 displaystyle x 0 tochka ekstremumu funkciyi f D R displaystyle f colon D to R Yaksho x0 displaystyle x 0 vnutrishnya tochka dlya D displaystyle D i f x displaystyle f x diferencijovna v tochci x0 f x0 displaystyle x 0 exists f x 0 to f x0 0 displaystyle f x 0 0 Teorema RollyaDokladnishe Teorema Rollya Yaksho f a b R displaystyle f colon a b to R neperervna na a b displaystyle a b diferencijovna na a b displaystyle a b i f a f b displaystyle f a f b to 3 a b f 3 0 displaystyle exists xi in a b f xi 0 Div takozhKritichna tochka Zadacha optimizaciyi Pohidna Umovnij ekstremumPrimitkiPshenichnyj 1969 s 7 Kudryavcev L D Matematicheskij analiz 2 e izd M Vysshaya shkola 1973 T 1 DzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Mala girnicha enciklopediya u 3 t za red V S Bileckogo D Donbas 2004 T 1 A K 640 s ISBN 966 7804 14 3 PosilannyaAbsolyutnij ekstremum u matematici 25 lyutogo 2022 u Wayback Machine VUE Oznachennya maksimumu ta minimumu funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 300 594 s