Критична точка (математика)

Критичною точкою диференційовної функції ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$, де ${\displaystyle D\,}$ — область в ${\displaystyle \ R^{n}}$, називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють 0. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої ${\displaystyle \,C^{1}}$-гладкої функції ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції ${\displaystyle f=const}$ будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді ${\displaystyle f:N^{n}\to M^{m}}$. У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення ${\displaystyle f}$ у ній менший максимального можливого (що дорівнює ${\displaystyle \min\{n,m\}}$).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначення

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення) ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ називається така точка ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, в котрій диференціал ${\displaystyle f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$ є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках ${\displaystyle x_{0}}$ і ${\displaystyle f(x_{0})}$, тобто розмірність образу ${\displaystyle f_{*}}$ менша ${\displaystyle \min\{n,m\}}$. В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції ${\displaystyle f}$, складеної із всіх часткових похідних ${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(x_{0}),}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,m,}$ менший свого максимально можливого значення ${\displaystyle \min\{n,m\}}$.

Простори ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди ${\displaystyle N^{n}}$ і ${\displaystyle M^{m}}$ таких же розмірностей.

Випадок ${\displaystyle m=1}$

У разі ${\displaystyle m=1}$ дане визначення означає, що градієнт ${\displaystyle \nabla f=(f'_{x_{1}},\ldots ,f'_{x_{n}})}$ у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку ${\displaystyle n=m=1}$ це означає, що похідна ${\displaystyle f'}$ у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан ${\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}$ відмінний від нуля. Якщо ${\displaystyle f}$ має клас гладкості не нижче ${\displaystyle C^{3}}$, то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція ${\displaystyle f(x)}$ має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При ${\displaystyle m=1}$ має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція ${\displaystyle f}$, визначена у всьому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця ${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )},}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,}$ у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

Див. також

• Індекс критичної точки

Джерела

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, (рос.) — будь-яке видання.
• Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — .(рос.)
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, (рос.) — будь-яке видання.