Варіаці́йне чи́слення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів.
Примітка: функціонали можна також інтегрувати по простору функцій. Цю операцію вперше застосував американський фізик Річард Фейнман, ввівши поняття інтеграла функціонала по траєкторіях. Цей інтеграл виявляється збіжним за умови, що підінтегральний функціонал досить швидко прямує до нуля, коли осциляції аргументної функції наростають.
Практичні задачі, для яких потрібне диференціювання функціоналів
Найважливішим для практики є функціонал вигляду:
для випадку функції скалярного аргументу (), і
для випадку вектор-функції кількох координат ().
До цих двох функціоналів приводять по-перше, задачі на мінімум/максимум в фізиці, диференціальній геометрії, теорії оптимального управління. А по-друге, можливість виводу рівнянь фізики із рівності нулю варіації функціонала дії.
Зокрема, саме варіаційне числення почалося із задачі про брахістрохрону (криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння найшвидше досягне фіксованої фінішної точки). Якщо вибрати систему координат, направивши вісь вертикально вниз, то швидкість матерільної точки буде
, а час спуску по кривій дається інтегралом:
В задачі треба знайти таку функцію , зафіксовану на кінцях:
,
, щоб даний інтеграл був мінімальним. Очевидно, що інтеграл (3) з точністю до заміни позначень збігається з функціоналом (1). У диференціальній геометрії пошук геодезичної лінії (найкоротшої лінії, що з'єднує дві точки многовиду) приводить до функціонала (1), де
А пошук мінімальних многовидів, натягнутих на «рамку», приводить до функціонала виду (2).
Термінологія і позначення
Функціонал є функцією, областю визначення якої (аргументом) є множина функцій, а множиною значень — дійсні (чи комплексні числа). Очевидно, що якби не вводити спеціального терміну «функціонал», то була б термінологічна плутанина при міркуваннях про аргумент і значення функціоналу. Це ж зауваження стосується і диференціювання, адже аргумент функціонала також можна диференціювати. Тому при розгляді функціоналів малий приріст аргумента (і, відповідно, функціонала) називають варіацією, і позначають малою грецькою буквою :
Варіація є аналогом поняття диференціала звичайних функцій. Можна собі уявляти варіацію , як функцію що має дуже малий розмах («амплітуду»), і перетворюється на нуль на межі області інтегрування(тобто для функціонала (1)
). В усьому іншому ця функція має довільну форму, що можна записати так:
, де
— нескінченно мале додатне число.
Перша похідна функціонала (рівняння Ейлера-Лагранжа)
Обчислення варіацій для функціоналів (1) і (2) аналогічне. Почнемо з простішого функціонала (1). Маємо:
В останньому доданку (в підінтегральній функції) ми можемо переставити взяття варіації і взяття похідної по
для аргументної функції (
):
Тепер ми можемо проінтегрувати останній доданок в (4) частинами:
Оскільки на кінцях інтервала інтегрування варіація функції перетворюється в нуль ( при
і при
), то для варіації функціонала (4) маємо остаточно:
Тепер ми можемо дати відповідь на питання: за яких умов варіація функціонала (5) дорівнює нулю. Оскільки варіація є довільною функцією, ми можемо вибрати довільну точку
всередині області інтегрування, а функцію
взяти такою, що вона додатня в малому околі точки
, а в усіх точках за межами цього околу — перетворюється в нуль. Якщо вираз в дужках під інтегралом (5) буде відмінним від нуля в точці
, і мало змінюватись у вибраному малому околі (фактично вважатися константою в порівнянні зі швидкістю зміни варіації
, яку ми можемо винести за знак інтеграла), то інтеграл (5) також буде відмінним від нуля. Отже, щоб при будь-якій варіації
ми мали нульову варіацію функціонала (5), треба щоб виконувалося рівняння Ейлера-Лагранжа:
Формула (6) легко поширюється на випадок (який в практичних задачах майже не зустрічається), коли функція Лагранжа залежить також від старших похідних аргументної функції
;
:
Формула (6) буде аналогічною і у випадку коли функціонал залежить від вектор-функції скалярного аргумента :
Тепер можна розглянути також і диференціювання функціонала (2). Обчислення виявляються аналогічними, але при інтегруванні частинами треба скористатися формулою Остроградського-Гауса, яка переводить інтеграл від дивегренції по об'єму в інтеграл по гіперповерхні, що обмежує цей об'єм (тут по однакових індексах проводиться додавання згідно з правилом Ейнштейна):
Маємо (позначивши для короткості елемент об'єму ):
Другий доданок інтегруємо частинами, попередньо виділивши дивергенцію (першим доданком):
Інтеграл від першого доданка перетворюється в інтеграл по поверхні, згідно з формулою Остроградського-Гауса. Він дорівнюватиме нулю, оскільки варіація на межі інтегрування перетворюється в нуль. Таким чином, маємо формулу першої варіації:
І відповідне рівняння Ейлера-Лагранжа:
Друга похідна функціонала
Функціонал в околі фіксованої аргументної функції можна розкласти в ряд Тейлора по степенях малості варіації :
Очевидно, що в локальному мінімумі функціонала перша варіація варіація дорівнює нулеві, а друга повинна бути додатньо-визначеною квадратичною формою від варіації аргумента (і від'ємно визначеною в точці локального максимума). Розглянемо випадок функціонала від вектор-функції скалярного аргумента
, введемо позначення швидкостей
. Тоді функція Лагранжа
розкладається в ряд Тейлора (похідні
по аргументах позначатимемо індексами внизу):
Отже друга варіація функціонала дорівнює:
Варіаційний підхід до розв'язку операторних рівнянь
Нехай маємо операторне рівняння .
Де оператор А діє з гільбертового простору H в H і є лінійним, неперервним і самоспряженим.
Розглянемо функціонал: .
Знайдемо його градієнт .
Означення 1. Лінійний, неперервний функціонал J(u) називається градієнтом функціоналу J(u) в точці x, якщо . Де через
позначено дію функціоналу J'(x) на елементі
.
Отже: .
З нерівності Кощі-Буняковського і обмеженості (неперервності) оператора A маємо:
.
Отже, J'(u)=Au — b - градієнт нашого функціоналу.
Тепер відзначимо важливу річ: якщо наш функціонал J(u) в деякій точці x приймає екстремальне значення (мінімум, максимум), то градієнт в цій точці рівний нулю (це необхідна умова екстремуму). А це означає, що x буде задовольняти J'(x) = 0 = Ax — b . А отже буде розв'язком рівняння Au — b = 0. Таким чином, вдалося операторне рівняння звести до пошуку екстремальних точок функціоналу J(u). Це і є варіаційний підхід.
Якщо тепер припустити, що оператор A додатньо визначений, тобто існує додатня стала така, що
, то функціонал J(u) буде сильно опуклим на H і на всьому просторі буде досягати своєї нижньої межі рівно в одній точці.
Тобто, для того щоб розв'язати операторне рівняння нам достатньо знайти точку в якій J(u) набуває нижньої межі. При припущеннях що були зроблені така точка існує і єдина.
Див. також
Вікіцитати містять висловлювання на тему: Варіаційне числення |
Література
- Варіаційне числення : навч. посіб. для студ. фіз. спец. ун-тів / В. М. Адамян, М. Я. Сушко ; Одеський національний ун-т ім. І.І.Мечникова. - О. : Астропринт, 2005. - 128 с.: рис. -
- Варіаційне числення та методи оптимізації : підручник / О. М. Піддубний, Ю. І. Харкевич ; Східноєвроп. нац. ун-т ім. Лесі Українки. - Луцьк : Гадяк Ж. В., 2015. - 331 с. -
- Вступ до математичної фізики. Варіаційне числення та крайові задачі : навч. посіб. для студентів фіз. та інж.-фіз. спец. ВНЗ / В. М. Адамян, М. Я. Сушко ; Одес. нац. ун-т ім. І. І. Мечникова. - Одеса : Астропринт, 2014. - 376 с. : рис. -
- Диференціальні рівняння, варіаційне числення та їх застосування : навч. посіб. / [Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко, В.В. Пічкур, І.І. Харченко]. – К. : Київський ун-т, 2015. – 271 с.
- Класичні та сучасні методи варіаційного числення : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Г. І. Кошовий, В. М. Павленко, Б. Л. Голінський ; Ін-т інновац. технологій і змісту освіти, Нац. аерокосм. ун-т ім. М. Є. Жуковського "Харк. авіац. ін-т". - Х. : ХАІ, 2011. - 303 с. : рис. -
- Математичне програмування та елементи варіаційного числення : навч.-метод. посіб. / Ф. Г. Ващук, О. Г. Лавер, Н. Я. Шумило ; Ужгород. держ. ін-т інформатики, економіки і права. - Ужгород, 2001. - 169, [1] с. : рис., табл. -
- Моклячук М. П. Варіаційне числення. Екстремальні задачі. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2010. — 399 с.
- Основи варіаційного числення : навч. посіб. для студ. вищих навч. закл., які навч. за напрямом підгот. "Механіка" / Е. Л. Гарт ; Дніпропетровський національний ун-т ім. Олеся Гончара. - Д., 2009. - 176 с.: рис. -
- Перестюк М. О., Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейкін Ю. В. Варіаційне числення та методи оптимізації. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2010. — 144 с.
- Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. — М. : ГИТТЛ, 1955. — 248 с.
- Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М. : ГИФМЛ, 1961. — 228 с.
- Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. — М. : ИЛ, 1953. — 310 с.
- Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М. : ГИТТЛ, 1951. — Т. 1. — 476 с.
- Морс М. Вариационное исчисление в целом. — Ижевск : РХД, 2010. — 512 с.
- Clegg J. C. Calculus of Variations. — Interscience Publishers Inc, 1968.
- Forsyth A. R. Calculus of Variations. — Dover, 1960.
- Fox C. An Introduction to the Calculus of Variations. — Dover, 1987.
- Jost J., Li-Jost X. Calculus of Variations. — Cambridge University Press, 1998.
- Lebedev L. P., Cloud M. J. The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics. — World Scientific, 2003.
- Sagan H. Introduction to the Calculus of Variations. — Dover, 1992.
- Weinstock R. Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering. — Dover, 1974.
Посилання
- Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg, (undated).
- example problems.
- , from , by Ralph W. Pike,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Variaci jne chi slennya ce rozdil funkcionalnogo analizu yakij zajmayetsya diferenciyuvannyam funkcionaliv Primitka funkcionali mozhna takozh integruvati po prostoru funkcij Cyu operaciyu vpershe zastosuvav amerikanskij fizik Richard Fejnman vvivshi ponyattya integrala funkcionala po trayektoriyah Cej integral viyavlyayetsya zbizhnim za umovi sho pidintegralnij funkcional dosit shvidko pryamuye do nulya koli oscilyaciyi argumentnoyi funkciyi narostayut Praktichni zadachi dlya yakih potribne diferenciyuvannya funkcionalivNajvazhlivishim dlya praktiki ye funkcional viglyadu 1 S S x abL x x dt displaystyle 1 qquad S S x int a b L x dot x dt dlya vipadku funkciyi skalyarnogo argumentu x x t displaystyle x x t i 2 S L xi xi uj du1du2 dun displaystyle 2 qquad S int L x i partial x i over partial u j du 1 du 2 du n dlya vipadku vektor funkciyi kilkoh koordinat xi xi u1 u2 un displaystyle x i x i u 1 u 2 u n Do cih dvoh funkcionaliv privodyat po pershe zadachi na minimum maksimum v fizici diferencialnij geometriyi teoriyi optimalnogo upravlinnya A po druge mozhlivist vivodu rivnyan fiziki iz rivnosti nulyu variaciyi funkcionala diyi Zokrema same variacijne chislennya pochalosya iz zadachi pro brahistrohronu krivu liniyu ruhayuchis po yakij bez tertya materialna tochka pid diyeyu sili tyazhinnya najshvidshe dosyagne fiksovanoyi finishnoyi tochki Yaksho vibrati sistemu koordinat napravivshi vis Oy displaystyle Oy vertikalno vniz to shvidkist materilnoyi tochki bude v 2gy displaystyle v sqrt 2gy a chas spusku po krivij dayetsya integralom 3 T ds2gy 0x01 y 22gydx displaystyle 3 qquad T int ds over sqrt 2gy int 0 x 0 sqrt 1 y 2 over 2gy dx V zadachi treba znajti taku funkciyu y y x displaystyle y y x zafiksovanu na kincyah y 0 0 displaystyle y 0 0 y x0 y0 displaystyle y x 0 y 0 shob danij integral buv minimalnim Ochevidno sho integral 3 z tochnistyu do zamini poznachen zbigayetsya z funkcionalom 1 U diferencialnij geometriyi poshuk geodezichnoyi liniyi najkorotshoyi liniyi sho z yednuye dvi tochki mnogovidu privodit do funkcionala 1 de L x x gij x x ix j displaystyle L x dot x sqrt g ij x dot x i dot x j A poshuk minimalnih mnogovidiv natyagnutih na ramku privodit do funkcionala vidu 2 Terminologiya i poznachennyaFunkcional ye funkciyeyu oblastyu viznachennya yakoyi argumentom ye mnozhina funkcij a mnozhinoyu znachen dijsni chi kompleksni chisla Ochevidno sho yakbi ne vvoditi specialnogo terminu funkcional to bula b terminologichna plutanina pri mirkuvannyah pro argument i znachennya funkcionalu Ce zh zauvazhennya stosuyetsya i diferenciyuvannya adzhe argument funkcionala takozh mozhna diferenciyuvati Tomu pri rozglyadi funkcionaliv malij pririst argumenta i vidpovidno funkcionala nazivayut variaciyeyu i poznachayut maloyu greckoyu bukvoyu d displaystyle delta dS S x dx S x displaystyle delta S S x delta x S x Variaciya ye analogom ponyattya diferenciala zvichajnih funkcij Mozhna sobi uyavlyati variaciyu dx displaystyle delta x yak funkciyu sho maye duzhe malij rozmah amplitudu i peretvoryuyetsya na nul na mezhi oblasti integruvannya tobto dlya funkcionala 1 dx a dx b 0 displaystyle delta x a delta x b 0 V usomu inshomu cya funkciya maye dovilnu formu sho mozhna zapisati tak dx t ef t displaystyle delta x t varepsilon f t de e displaystyle varepsilon neskinchenno male dodatne chislo Persha pohidna funkcionala rivnyannya Ejlera Lagranzha Obchislennya variacij dlya funkcionaliv 1 i 2 analogichne Pochnemo z prostishogo funkcionala 1 Mayemo 4 dS abdLdt ab L xdx L x dx dt displaystyle 4 qquad delta S int a b delta Ldt int a b left partial L over partial x delta x partial L over partial dot x delta dot x right dt V ostannomu dodanku v pidintegralnij funkciyi mi mozhemo perestaviti vzyattya variaciyi d displaystyle delta i vzyattya pohidnoyi po ddt displaystyle d over dt dlya argumentnoyi funkciyi x x dx displaystyle tilde x x delta x dx x x ddt x x ddtdx displaystyle delta dot x dot tilde x dot x d over dt tilde x x d over dt delta x Teper mi mozhemo prointegruvati ostannij dodanok v 4 chastinami ab L x ddxdtdt L x dx ab ab ddt L x dxdt displaystyle int a b partial L over partial dot x d delta x over dt dt left partial L over partial dot x delta x right a b int a b left d over dt partial L over partial dot x right delta xdt Oskilki na kincyah intervala integruvannya variaciya funkciyi peretvoryuyetsya v nul dx 0 displaystyle delta x 0 pri t a displaystyle t a i pri t b displaystyle t b to dlya variaciyi funkcionala 4 mayemo ostatochno 5 dS ab L x ddt L x dxdt displaystyle 5 qquad delta S int a b left partial L over partial x d over dt partial L over partial dot x right delta xdt Teper mi mozhemo dati vidpovid na pitannya za yakih umov variaciya funkcionala 5 dorivnyuye nulyu Oskilki variaciya dx displaystyle delta x ye dovilnoyu funkciyeyu mi mozhemo vibrati dovilnu tochku t0 a b displaystyle t 0 in a b vseredini oblasti integruvannya a funkciyu dx dx t displaystyle delta x delta x t vzyati takoyu sho vona dodatnya v malomu okoli tochki t0 displaystyle t 0 a v usih tochkah za mezhami cogo okolu peretvoryuyetsya v nul Yaksho viraz v duzhkah pid integralom 5 bude vidminnim vid nulya v tochci t0 displaystyle t 0 i malo zminyuvatis u vibranomu malomu okoli faktichno vvazhatisya konstantoyu v porivnyanni zi shvidkistyu zmini variaciyi dx t displaystyle delta x t yaku mi mozhemo vinesti za znak integrala to integral 5 takozh bude vidminnim vid nulya Otzhe shob pri bud yakij variaciyi dx t displaystyle delta x t mi mali nulovu variaciyu funkcionala 5 treba shob vikonuvalosya rivnyannya Ejlera Lagranzha 6 L x ddt L x 0 displaystyle 6 qquad partial L over partial x d over dt partial L over partial dot x 0 Formula 6 legko poshiryuyetsya na vipadok yakij v praktichnih zadachah majzhe ne zustrichayetsya koli funkciya Lagranzha L displaystyle L zalezhit takozh vid starshih pohidnih argumentnoyi funkciyi x t displaystyle x t L L x x x displaystyle L L x dot x ddot x L x ddt L x d2dt2 L x 0 displaystyle partial L over partial x d over dt partial L over partial dot x d 2 over dt 2 partial L over partial ddot x 0 Formula 6 bude analogichnoyu i u vipadku koli funkcional zalezhit vid vektor funkciyi skalyarnogo argumenta x t xi t displaystyle mathbf x t x i t 7 ddt L x i L xi displaystyle 7 qquad d over dt partial L over partial dot x i partial L over partial x i Teper mozhna rozglyanuti takozh i diferenciyuvannya funkcionala 2 Obchislennya viyavlyayutsya analogichnimi ale pri integruvanni chastinami treba skoristatisya formuloyu Ostrogradskogo Gausa yaka perevodit integral vid divegrenciyi po ob yemu v integral po giperpoverhni sho obmezhuye cej ob yem tut po odnakovih indeksah provoditsya dodavannya zgidno z pravilom Ejnshtejna V ai uidt Sainids displaystyle int V partial a i over partial u i d tau int S a i n i d sigma Mayemo poznachivshi dlya korotkosti element ob yemu dt du1du2 dun displaystyle d tau du 1 du 2 du n dS L xidxi L xi uj d xi uj dt displaystyle delta S int partial L over partial x i delta x i partial L over partial partial x i over partial u j delta partial x i over partial u j d tau Drugij dodanok integruyemo chastinami poperedno vidilivshi divergenciyu pershim dodankom L xi uj d xi uj uj L xi uj dxi uj L xi uj dxi displaystyle partial L over partial partial x i over partial u j delta partial x i over partial u j partial over u j partial L over partial partial x i over partial u j delta x i partial over partial u j partial L over partial partial x i over partial u j delta x i Integral vid pershogo dodanka peretvoryuyetsya v integral po poverhni zgidno z formuloyu Ostrogradskogo Gausa Vin dorivnyuvatime nulyu oskilki variaciya dxi u displaystyle delta x i u na mezhi integruvannya peretvoryuyetsya v nul Takim chinom mayemo formulu pershoyi variaciyi 8 dS L xi uj L xi uj dxidt displaystyle 8 qquad delta S int partial L over partial x i partial over partial u j partial L over partial partial x i over partial u j delta x i d tau I vidpovidne rivnyannya Ejlera Lagranzha 9 L xi uj L xi uj 0 displaystyle 9 qquad partial L over partial x i partial over partial u j partial L over partial partial x i over partial u j 0 Druga pohidna funkcionalaFunkcional v okoli fiksovanoyi argumentnoyi funkciyi mozhna rozklasti v ryad Tejlora po stepenyah malosti variaciyi dx displaystyle delta x 10 S S x dx S 11 dS 12 d2S displaystyle 10 qquad tilde S S x delta x S 1 over 1 delta S 1 over 2 delta 2 S Ochevidno sho v lokalnomu minimumi funkcionala persha variaciya variaciya dorivnyuye nulevi a druga povinna buti dodatno viznachenoyu kvadratichnoyu formoyu vid variaciyi argumenta dx displaystyle delta x i vid yemno viznachenoyu v tochci lokalnogo maksimuma Rozglyanemo vipadok funkcionala vid vektor funkciyi skalyarnogo argumenta xi xi t displaystyle x i x i t vvedemo poznachennya shvidkostej vi x i displaystyle v i dot x i Todi funkciya Lagranzha L displaystyle L rozkladayetsya v ryad Tejlora pohidni L displaystyle L po argumentah poznachatimemo indeksami vnizu L L 11 Lxidxi Lvidvi 12 Lxixjdxidxj 2Lxivjdxidvj Lvivjdvidvj displaystyle tilde L L 1 over 1 L x i delta x i L v i delta v i 1 over 2 L x i x j delta x i delta x j 2L x i v j delta x i delta v j L v i v j delta v i delta v j Otzhe druga variaciya funkcionala dorivnyuye 11 d2S ab Lxixjdxidxj 2Lxivjdxidvj Lvivjdvidvj dt displaystyle 11 qquad delta 2 S int a b L x i x j delta x i delta x j 2L x i v j delta x i delta v j L v i v j delta v i delta v j dt Variacijnij pidhid do rozv yazku operatornih rivnyanNehaj mayemo operatorne rivnyannya Au b displaystyle Au b De operator A diye z gilbertovogo prostoru H v H i ye linijnim neperervnim i samospryazhenim Rozglyanemo funkcional J u 12 Au u b u displaystyle J u frac 1 2 Au u b u Znajdemo jogo gradiyent J u displaystyle J u Oznachennya 1 Linijnij neperervnij funkcional J u nazivayetsya gradiyentom funkcionalu J u v tochci x yaksho DJ u J x Dx J x lt J x Dx gt o Dx displaystyle Delta J u J x Delta x J x lt J x Delta x gt o parallel Delta x parallel De cherez lt J x Dx gt displaystyle lt J x Delta x gt poznacheno diyu funkcionalu J x na elementi Dx displaystyle Delta x Otzhe DJ A A u2 b Du 12 ADu Du displaystyle Delta J frac A A u 2 b Delta u frac 1 2 A Delta u Delta u Z nerivnosti Koshi Bunyakovskogo i obmezhenosti neperervnosti operatora A mayemo 12 ADu Du 12 ADu Du A 2 Du 2 C Du 2 o Du displaystyle frac 1 2 A Delta u Delta u leq frac 1 2 parallel A Delta u parallel cdot parallel Delta u parallel leq frac parallel A parallel 2 parallel Delta u parallel 2 C parallel Delta u parallel 2 o parallel Delta u parallel Otzhe J u Au b gradiyent nashogo funkcionalu Teper vidznachimo vazhlivu rich yaksho nash funkcional J u v deyakij tochci x prijmaye ekstremalne znachennya minimum maksimum to gradiyent v cij tochci rivnij nulyu ce neobhidna umova ekstremumu A ce oznachaye sho x bude zadovolnyati J x 0 Ax b A otzhe bude rozv yazkom rivnyannya Au b 0 Takim chinom vdalosya operatorne rivnyannya zvesti do poshuku ekstremalnih tochok funkcionalu J u Ce i ye variacijnij pidhid Yaksho teper pripustiti sho operator A dodatno viznachenij tobto isnuye dodatnya stala m displaystyle mu taka sho Au u m u 2 displaystyle Au u geq mu parallel u parallel 2 to funkcional J u bude silno opuklim na H i na vsomu prostori bude dosyagati svoyeyi nizhnoyi mezhi rivno v odnij tochci Tobto dlya togo shob rozv yazati operatorne rivnyannya nam dostatno znajti tochku v yakij J u nabuvaye nizhnoyi mezhi Pri pripushennyah sho buli zrobleni taka tochka isnuye i yedina Div takozhVikicitati mistyat vislovlyuvannya na temu Variacijne chislennyaPortal Matematika Princip najmenshoyi diyi Mehanika Lagranzha Variacijnij metodLiteraturaVariacijne chislennya navch posib dlya stud fiz spec un tiv V M Adamyan M Ya Sushko Odeskij nacionalnij un t im I I Mechnikova O Astroprint 2005 128 s ris ISBN 966 318 340 3 Variacijne chislennya ta metodi optimizaciyi pidruchnik O M Piddubnij Yu I Harkevich Shidnoyevrop nac un t im Lesi Ukrayinki Luck Gadyak Zh V 2015 331 s ISBN 978 617 7129 36 2 Vstup do matematichnoyi fiziki Variacijne chislennya ta krajovi zadachi navch posib dlya studentiv fiz ta inzh fiz spec VNZ V M Adamyan M Ya Sushko Odes nac un t im I I Mechnikova Odesa Astroprint 2014 376 s ris ISBN 978 966 190 912 9 Diferencialni rivnyannya variacijne chislennya ta yih zastosuvannya navch posib F G Garashenko V T Matviyenko V V Pichkur I I Harchenko K Kiyivskij un t 2015 271 s Klasichni ta suchasni metodi variacijnogo chislennya navch posib dlya stud vish navch zakl G I Koshovij V M Pavlenko B L Golinskij In t innovac tehnologij i zmistu osviti Nac aerokosm un t im M Ye Zhukovskogo Hark aviac in t H HAI 2011 303 s ris ISBN 978 966 662 246 7 Matematichne programuvannya ta elementi variacijnogo chislennya navch metod posib F G Vashuk O G Laver N Ya Shumilo Uzhgorod derzh in t informatiki ekonomiki i prava Uzhgorod 2001 169 1 s ris tabl ISBN 966 7186 55 5 Moklyachuk M P Variacijne chislennya Ekstremalni zadachi K VPC Kiyivskij universitet 2010 399 s Osnovi variacijnogo chislennya navch posib dlya stud vishih navch zakl yaki navch za napryamom pidgot Mehanika E L Gart Dnipropetrovskij nacionalnij un t im Olesya Gonchara D 2009 176 s ris ISBN 978 966 551 287 5 Perestyuk M O Stanzhickij O M Kapustyan O V Lovejkin Yu V Variacijne chislennya ta metodi optimizaciyi K VPC Kiyivskij universitet 2010 144 s Ahiezer N I Lekcii po variacionnomu ischisleniyu M GITTL 1955 248 s Gelfand I M Fomin S V Variacionnoe ischislenie M GIFML 1961 228 s Kurant R Princip Dirihle konformnye otobrazheniya i minimalnye poverhnosti M IL 1953 310 s Kurant R Gilbert D Metody matematicheskoj fiziki M GITTL 1951 T 1 476 s Mors M Variacionnoe ischislenie v celom Izhevsk RHD 2010 512 s Clegg J C Calculus of Variations Interscience Publishers Inc 1968 Forsyth A R Calculus of Variations Dover 1960 Fox C An Introduction to the Calculus of Variations Dover 1987 Jost J Li Jost X Calculus of Variations Cambridge University Press 1998 Lebedev L P Cloud M J The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics World Scientific 2003 Sagan H Introduction to the Calculus of Variations Dover 1992 Weinstock R Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering Dover 1974 PosilannyaJohan Bystrom Lars Erik Persson and Fredrik Stromberg undated example problems from by Ralph W Pike