Функціонал

Не плутати з позначенням функції.

Функція довжини кривої визначається на векторному просторі спрямних кривих (підпростір простору ${\displaystyle C{\big (}[0,1],{\mathbb {R} }^{3}{\big )}}$) і набуває дійсних значень. Це приклад нелінійного функціоналу.

Інтеграл Рімана є лінійним функціоналом на векторному просторі інтегровних за Ріманом функцій на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, де ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {R} }.}$

У математиці термін функціонал (як іменник) має щонайменше три значення.

• У сучасній лінійній алгебрі функціонал — це лінійне відображення з векторного простору ${\displaystyle V}$ у поле його скалярів, тобто — це елемент спряженого простору ${\displaystyle V^{*}}$.

• У математичному аналізі (більш загально та історично) функціонал — це відображення з простору ${\displaystyle X}$ у простір дійсних чисел, або іноді і в простір комплексних чисел, з метою встановлення обчислювальних структур простору ${\displaystyle X}$. Залежно від автора, такі відображення можуть вважатися лінійними чи нелінійними, або визначатись на всьому просторі ${\displaystyle X}$.

• У інформатиці функціонал — це синонім функції вищого порядку, тобто функції, аргументами яких є функції, або повертають іншу функцію як результат.

Ця стаття стосується переважно другого значення, яке виникло на початку 18 століття як частина варіаційного числення. Перше значення, яке є більш сучасним та абстрактним, детально обговорюється в окремій статті під назвою «Лінійна форма». Третє значення детально описано у статті про функції вищого порядку.

Як правило простір ${\displaystyle X}$ — це простір функцій. У цьому випадку функціонал — це «функція від функції», і деякі автори фактично використовують термін «функціонал» для позначання «функція від функції». Однак вимога, що ${\displaystyle X}$ — це простір функцій, не є математично суттєвою, тому це старе означення вже не є поширеним.

Термін походить з варіаційного числення, де необхідно знаходити функцію, яка мінімізує заданий функціонал. Особливо важливим застосуванням у фізиці є знаходження стану системи, що мінімізує ^[en].

Властивості

Дуальність

Відображення

${\displaystyle x_{0}\rightarrow f(x_{0})}$

є функцією, де ${\displaystyle x_{0}}$ є аргументом функції ${\displaystyle f}$. У той же час відображення функції у значення функції в точці

${\displaystyle f\rightarrow f(x_{0})}$

є функціоналом, тут ${\displaystyle x_{0}}$ — параметр.

За умови, що ${\displaystyle f}$ — лінійна функція з векторного простору на скалярне поле, вищевказані лінійні відображення є дуальними один одному, і в функціональному аналізі ці відображення називаються лінійними функціоналами.

Визначений інтеграл

Інтеграли, такі як

${\displaystyle f\rightarrow I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\dots )\mu ({\rm {d}}x),}$

формують особливий клас функціоналів. Вони відображають функцію ${\displaystyle f}$ у простір дійсних чисел при умові, що функція ${\displaystyle H}$ є дійснозначною.

Приклади включають:

• площа під графіком додатньо визначеної функції ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\rightarrow \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,{\rm {d}}x;}$

• ${\displaystyle L^{p}}$ норма функції на множині ${\displaystyle E}$

${\displaystyle f\rightarrow \left(\int _{E}|f|^{p}\,{\rm {d}}x\right)^{\frac {1}{p}};}$

• довжина дуги кривої у двовимірному евклідовому просторі

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'|^{2}}}\,{\rm {d}}x.}$

Предгільбертів простір

Нехай ${\displaystyle X}$ — предгільбертів простір, ${\displaystyle {\vec {x}}\in X}$ — фіксований вектор, тоді відображення ${\displaystyle {\vec {y}}\rightarrow {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ є лінійним функціоналом на просторі ${\displaystyle X}$. Набір векторів ${\displaystyle {\vec {y}}}$ такий, що ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}$, є векторним підпростором простору ${\displaystyle X}$, який називається нуль-простором або ядром функціоналу, або ортогональним доповненням ${\displaystyle {\vec {x}}}$, що позначається як ${\displaystyle {\vec {x}}^{\perp }}$.

Наприклад, скалярний добуток з фіксованою функцією ${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ визначає (лінійний) функціонал на гільбертовому просторі ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ квадратично інтегровних функцій на відрізку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$:

${\displaystyle f\rightarrow \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }fg\,{\rm {d}}x.}$

Локальність

Якщо значення функціоналу можна обчислити для невеликих сегментів заданої кривої, а потім підсумувати, щоб знайти загальне значення, то у цьому випадку функціонал називається локальним. В іншому випадку функціонал називається нелокальним. Наприклад, функціонал

${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\,{\rm {d}}x}$

є локальним, а функціонал

${\displaystyle F(x)={\frac {\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\,{\rm {d}}x}{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}\left(1+(y(x))^{2}\right)\,{\rm {d}}x}}}$

є нелокальним. Зазвичай, це трапляється тоді, коли інтеграли зустрічаються окремо в чисельнику та знаменнику рівняння. Наприклад, при розрахунках центру мас.

Розв’язування рівнянь

Див.\ статтю про функціональні рівняння.

Традиційним є використання функціоналів у функціональних рівняннях, тобто рівняннях між функціоналами: рівняння ${\displaystyle F=G}$ між функціоналами можна сприймати як «розв'язати рівняння», при цьому розв'язком є функція. У таких рівняннях може бути кілька наборів невідомих. Наприклад, кажуть, що функція ${\displaystyle f}$ аддитивна, якщо вона задовольняє функціональне рівняння

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).}$

Похідна та інтеграл

Див.\ статтю про варіаційне числення.

Функціональні похідні використовуються в механіці Лагранжа. Це похідні функціоналів, тобто вони несуть інформацію про те, як змінюється функціонал при незначних змінах функції.

Річард Філіпс Фейнман використовував ^[en] як провідну ідею в інтегралі вздовж траєкторій при формуванні квантової механіки. Таке застосування має на увазі інтеграл взятий над деяким ^[en].

Для квантової системи, яка описується гамільтоніаном ${\displaystyle {\hat {H}}}$, для довільної хвильової функції ${\displaystyle \psi }$ можна побудувати функціонал

${\displaystyle \Phi (\psi )=\int \psi ^{*}{\hat {H}}\psi d\tau }$,

який є відображенням простору хвильових функцій на простір дійсних чисел. Відомо, що мінімальне значення цього функціоналу досягається для хвильової функції, що описує основний стан квантової системи.

Див. також

• Лінійна форма;
• Оптимізація (математика);
• Тензор.

Література

• Математическая Энциклопедия. — М. : Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1975.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Functional, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Rowland, Todd Functional(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.