Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.
Крива | |
|
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxsTDFCaGNtRmliMnhoTG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxUVlYSmhZbTlzWVM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:
де — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в евклідовому просторі або многовиді, а — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)
Розглянемо рівняння кривої в декартовій системі координат -вимірного евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:
Дотичний вектор
Похідну за параметром позначатимемо крапкою зверху:
Очевидно, що вектор (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.
Довжина кривої
Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками і
дорівнює:
Довжина відрізка кривої, коли параметр пробігає значення від
до
, дається інтегралом:
Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію , визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина
також параметризує точки нашої кривої;
називається натуральним параметром кривої.
Якщо вектор швидкості ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція
всюди монотонно зростає і має обернену функцію
.
Кривина кривої
Із рівності слідує, що похідна радіус-вектора за натуральним параметром кривої:
є дотичним вектором одиничної довжини.
Диференціюючи (3) за натуральним параметром маємо:
Отже вектор ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора
нормалі до кривої, та скаляра
який називається кривиною:
Геометричний зміст кривини
Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса дотичного кола:
Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром маємо дотичний вектор
, а в точці з параметром
— дотичний вектор
. Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити
, то довжина третьої сторони буде дорівнювати:
Оскільки для кола радіуса маємо
, то маємо для кривини кривої:
Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:
Коло радіуса , дотичне до вектора
, матиме центр в ортогональній до
гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді
, де
є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:
Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):
Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює , і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:
Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (), якщо:
Типи кривих
- Замкнена крива — крива у якої початок збігається з кінцем (див. також Теорема Жордана).
- Плоска крива — крива, всі точки якої лежать в одній площині.
- Проста крива — те саме, що крива Жордана
- Шлях — неперервне відображення відрізка
в топологічний простір.
- Трансцендентна крива
Типи точок на кривій
Скрут
Якщо евклідів простір має розмірність , то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор
та вектор нормалі
) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів
і
)
:
Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах і
):
Похідна бівектора за натуральним параметром дорівнює:
Звідси робимо висновок, що дві площини і
перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор
):
Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту за натуральним параметром називається скрутом:
Формули Френе-Серре
Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора і
ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:
Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні за натуральним параметром від векторів репера (,
i
) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що
. Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі
. Із постійності величини цього вектора знаходимо:
Тобто похідна ортогональна до самого вектора нормалі
, а тому розкладається по двом іншим векторам репера:
Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну :
Знайдемо коефіцієнти розкладу і
. З останньої формули видно, що
(з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора
, а отже і дотичної до кривої площини (
є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням:
. Коефіцієнт
можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на
:
У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:
Ці рівняння відкрили два французькі математики: [en] (1852) і [fr] (1851).
Коефіцієнт у формулах Френе — Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується крива в околі даної точки.
Див. також
- Лінія
- Алгебрична крива
- (Відстань Фреше)
Ця стаття не містить . (жовтень 2023) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет