Тригранник або репер [en] — це природний [en] у тривимірному просторі, що виникає на C3-гладкій кривій.
Нехай — C3-гладка крива в Евклідовому просторі . Крива задана радіус-вектором , де s — натуральний параметр. З точкою ненульової кривини можна зв'язати три вектори які утворюють ортонормований базис. Де
- — одиничний дотичний вектор,
- — одиничний вектор головної нормалі,
- — одиничний вектор (бінормалі) до кривої в даній точці.
Вектори зв'язані співвідношеннями:
Величини
називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду де усюди додатна називаються (натуральними рівняннями) кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.
Формули Френе також відомі як теореми Френе, можна сформулювати, більш стисло, використовуючи матричні позначення:
Ця матриця буде (кососиметричною).
Визначення
Нехай r(t) — це крива в евклідовому просторі, що представлена радіус-вектором як функція, залежна від часу. Формули Френе-Серрі виконуються для невироджених кривих. Це криві, у яких вектор швидкості r'(t) та вектор прискорення r"(t) не будуть паралельними.
Нехай s(t) задається довжиною дуги, яка змінюється вздовж частини кривої. У випадку, коли крива задана ненатуральною параметризацією, можна перейти до неї за допомогою наступної формули:
Більш того, з того, що r′ ≠ 0 слідує, що s(t) — строго монотонно зростаюча функція. Тому візьмемо t як функцію, залежну від s, і запишемо у вигляді: r(s) = r(t(s)). Тоді, крива буде параметризована за допомогою довжини дуги.
Примітки
Посилання
- (рос.)
Література
- Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. — К.: Київський університет, 2004. — 68 с. [ 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет