Тригранник або репер [en] — це природний [en] у тривимірному просторі, що виникає на C3-гладкій кривій.
Нехай — C3-гладка крива в Евклідовому просторі . Крива задана радіус-вектором , де s — (натуральний параметр). З точкою ненульової кривини можна зв'язати три вектори які утворюють ортонормований базис. Де
- — одиничний дотичний вектор,
- — одиничний вектор головної нормалі,
- — одиничний вектор бінормалі до кривої в даній точці.
Вектори зв'язані співвідношеннями:
Величини
називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду де усюди додатна називаються натуральними рівняннями кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.
Формули Френе також відомі як теореми Френе, можна сформулювати, більш стисло, використовуючи матричні позначення:
Ця матриця буде кососиметричною.
Визначення
Нехай r(t) — це крива в евклідовому просторі, що представлена радіус-вектором як функція, залежна від часу. Формули Френе-Серрі виконуються для невироджених кривих. Це криві, у яких вектор швидкості r'(t) та вектор прискорення r"(t) не будуть паралельними.
Нехай s(t) задається довжиною дуги, яка змінюється вздовж частини кривої. У випадку, коли крива задана ненатуральною параметризацією, можна перейти до неї за допомогою наступної формули:
Більш того, з того, що r′ ≠ 0 слідує, що s(t) — строго монотонно зростаюча функція. Тому візьмемо t як функцію, залежну від s, і запишемо у вигляді: r(s) = r(t(s)). Тоді, крива буде параметризована за допомогою довжини дуги.
Примітки
Посилання
- (рос.)
Література
- Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. — К.: Київський університет, 2004. — 68 с. [ 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Trigrannik abo reper en ce prirodnij en u trivimirnomu prostori sho vinikaye na C3 gladkij krivij Trigrannik Frene vzdovzh gvintovoyi liniyi Vektori t displaystyle tau sinij n displaystyle nu chervonij b displaystyle beta chornij Nehaj g t displaystyle gamma t C3 gladka kriva v Evklidovomu prostori E 3 displaystyle mathbb E 3 Kriva zadana radius vektorom r r s displaystyle r r s de s naturalnij parametr Z tochkoyu nenulovoyi krivini p g t p r s displaystyle p in gamma t p r s mozhna zv yazati tri vektori t s n s b s displaystyle tau s nu s beta s yaki utvoryuyut ortonormovanij bazis De t r s displaystyle tau dot r s odinichnij dotichnij vektor n r s r s displaystyle nu frac ddot r s ddot r s odinichnij vektor golovnoyi normali b t n displaystyle beta tau nu odinichnij vektor binormali do krivoyi v danij tochci Vektori t n b displaystyle tau nu beta zv yazani spivvidnoshennyami d t d s k n d n d s k t ϰ b d b d s ϰ n displaystyle begin matrix frac d tau ds amp amp amp k nu amp amp amp amp amp frac d nu ds amp amp k tau amp amp varkappa beta amp amp amp amp frac d beta ds amp amp amp varkappa nu amp end matrix Velichini k g s ϰ b n displaystyle k ddot gamma s quad varkappa langle dot beta nu rangle nazivayut vidpovidno krivinoyu ta skrutom krivoyi v danij tochci Rivnyannya vidu k f s C 1 k g s C 0 displaystyle k f s in C 1 kappa g s in C 0 de f s displaystyle f s usyudi dodatna nazivayutsya naturalnimi rivnyannyami krivoyi ta viznachayut yiyi z tochnistyu do ruhu u prostori Ce tverdzhennya nazivayut osnovnoyu teoremoyu teoriyi krivih Formuli Frene takozh vidomi yak teoremi Frene mozhna sformulyuvati bilsh stislo vikoristovuyuchi matrichni poznachennya t n b 0 k 0 k 0 ϰ 0 ϰ 0 t n b displaystyle begin bmatrix tau nu beta end bmatrix begin bmatrix 0 amp k amp 0 k amp 0 amp varkappa 0 amp varkappa amp 0 end bmatrix begin bmatrix tau nu beta end bmatrix Cya matricya bude kososimetrichnoyu ViznachennyaT ta N vektori u dvoh tochkah na ploskij krivij perenosimo vektor T poznacheno punktirom riznicyu vektoriv poznachimo yak dT Vidstan mizh tochkami poznachimo ds Granicya d T d s displaystyle tfrac d mathbf T ds bude v napryamku N i krivina opisuye shvidkist obertannya repera Nehaj r t ce kriva v evklidovomu prostori sho predstavlena radius vektorom yak funkciya zalezhna vid chasu Formuli Frene Serri vikonuyutsya dlya nevirodzhenih krivih Ce krivi u yakih vektor shvidkosti r t ta vektor priskorennya r t ne budut paralelnimi Nehaj s t zadayetsya dovzhinoyu dugi yaka zminyuyetsya vzdovzh chastini krivoyi U vipadku koli kriva zadana nenaturalnoyu parametrizaciyeyu mozhna perejti do neyi za dopomogoyu nastupnoyi formuli s t 0 t r s d s displaystyle s t int 0 t mathbf r sigma d sigma Bilsh togo z togo sho r 0 sliduye sho s t strogo monotonno zrostayucha funkciya Tomu vizmemo t yak funkciyu zalezhnu vid s i zapishemo u viglyadi r s r t s Todi kriva bude parametrizovana za dopomogoyu dovzhini dugi PrimitkiPosilannya ros LiteraturaBorisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 S 41 46 ISBN 5 7768 0388 8 Arhivovano z dzherela 23 sichnya 2022 Prishlyak O Diferencialna geometriya Kurs lekcij K Kiyivskij universitet 2004 68 s 14 kvitnya 2010 u Wayback Machine Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi