Кососиметрична матриця

Косо-симетричною (чи антисиметричною) називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні зі знаком мінус щодо головної діагоналі, тобто:

${\displaystyle \forall i,j:\;\;a_{ij}=-a_{ji}.}$

Тобто:

${\displaystyle \ A^{T}=-A.}$

Поняття розглядають переважно для матриць над кільцем характеристика якого не є рівною 2. Якщо характеристика є рівною 2, то кососиметричні матриці у попередньому означенні є еквівалентними симетричним. Іноді у цьому випадку додатково вимагається умова щоб усі елементи на діагоналі були рівні 0.

Приклади

Прикладами кососиметричних матриць є

• ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}},\ }$ адже ${\displaystyle \ A^{T}={\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}}=-A.}$
• ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&7&23\\-7&0&-4\\-23&4&0\end{pmatrix}}\ }$ оскільки ${\displaystyle A^{T}={\begin{pmatrix}0&-7&-23\\7&0&4\\23&-4&0\end{pmatrix}}=-A}$.

Властивості

• Сума двох кососиметричних матриць і добуток кососиметричної матриці на скаляр є кососиметричними матрицями. Тобто кососиметричні матриці утворюють лінійний підпростір простору квадратних матриць заданого порядку. Розмірність цього підпростору є рівною ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$
• Будь-яка квадратна матриця може в єдиний спосіб бути записаною як сума кососиметричної і симетричної матриць. А саме, якщо ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ то можна записати:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right),}$

де перший доданок є кососиметричною матрицею, а другий — симетричною.

• Для визначника кососиметричної матриці виконується рівність:

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}$

Як наслідок визначник кососиметричної матриці (характеристика елементів якої не є рівною 2) завжди є рівним 0.

• Якщо до всіх елементів матриці додати однаковий елемент, то визначник одержаної матриці буде рівним визначнику самої матриці. Тобто, якщо A є кососиметричною матрицею і E — квадратною матрицею того ж порядку усі елементи якої рівні 1, то для будь-якого x виконується рівність ${\displaystyle \det(A+xE)=\det A.}$
• Ранг кососиметричної матриці завжди парний.
• Визначник кососиметричної матриці парного порядку, як многочлен від її елементів є рівний квадрату многочлена який називається пфаффіаном матриці:

${\displaystyle \det {(A)}=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$

Матриці з дійсними елементами

• Власні значення кососиметричної матриці із дійсними числами є уявними числами і для кожного такого власного значення його комплексне спряжене теж є власним значенням.
• Квадрат дійсної кососиметричної матриці є симетричною напіввід'ємно визначеною матрицею.
• Дійсна кососиметрична матриця є нормальною, а тому вона є діагоналізомною над полем комплексних чисел і більш того можна записати ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*},\ }$ де U є унітарною матрицею, а ${\displaystyle \Lambda }$ — діагональною.
• Над полем дійсних чисел можна натомість записати: ${\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$ де ${\displaystyle Q}$ є дійсною ортогональною матрицею, а ${\displaystyle \Sigma }$ має вигляд:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Дивись також

• Антисиметричний тензор
• Ермітова матриця
• Косоермітова матриця
• Пфаффіан
• Симетрична матриця
• Теорія матриць

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)