Пфаффіаном кососиметричної матриці називається деякий многочлен від її елементів, квадрат якого дорівнює визначнику цієї матриці. Як і визначник, пфаффіан є ненульовим тільки для кососиметричних матриць порядку , і в цьому випадку його степінь дорівнює n.
Термін «пфаффіан» був введений Артуром Келі та названий на честь німецького математика Йоганна Фрідріха Пфаффа.
Приклади
Означення
Нехай є кососиметричною матрицею порядку . Пфаффіаном матриці A називається многочлен від її елементів заданий як:
де S2n позначає симетричну групу порядок якої є рівним (2n)!, а sgn(σ) є знаком перестановки σ.
Еквівалентно, якщо позначає множину всіх розбиттів множини на невпорядковані пари (всього існує таких розбиттів), то кожне може бути записано як
де і . Нехай
позначає відповідну перестановку, а — знак перестановки .
Для розбиття визначимо
Пфаффіан матриці A є рівним:
Пфаффіан кососиметричної матриці розміру для непарного n за означенням дорівнює нулю.
Рекурсивне означення
Пфаффіан матриці розміру вважається рівним 1; пфаффіан кососиметричної матриці A розміру при може бути означений рекурсивно:
де індекс може бути обраний довільно, — функція Гевісайда, а позначає матрицю A без i-тих і j-тих рядків і стовпців.
Альтернативне означення
Для кососиметричної матриці розглянемо бівектор:
де є стандартний базис в . Тоді пфаффіан визначається таким рівнянням:
де позначає зовнішній добуток n копій .
Властивості
Для кососиметричної матриці і для довільної матриці :
- Позначимо За означенням добутку матриць Тому
- Нехай тепер позначає довільне відображення із множини у себе (не обов'язково перестановку). Розписавши попередній вираз одержуємо, що
- Але для кожного конкретного відображення вираз є рівним де є матрицею розмірності для якої i-ий стовпець є -стовпцем матриці Тому якщо не є перестановкою, деякі стовпці є однаковими і відповідний визначник є рівним нулю. В іншому випадку Таким чином:
- Позначимо За означенням добутку матриць Тому
- Для блок-діагональної матриці
- Для довільної матриці :
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Godsil, Chris D. (1993). Algebraic Combinatorics. New York: Chapman and Hall. ISBN . MR 1220704.
Примітки
- . Архів оригіналу за 4 березня 2009. Процитовано 24 листопада 2020.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pfaffianom kososimetrichnoyi matrici nazivayetsya deyakij mnogochlen vid yiyi elementiv kvadrat yakogo dorivnyuye viznachniku ciyeyi matrici Yak i viznachnik pfaffian ye nenulovim tilki dlya kososimetrichnih matric poryadku 2n 2n displaystyle 2n times 2n i v comu vipadku jogo stepin dorivnyuye n Termin pfaffian buv vvedenij Arturom Keli ta nazvanij na chest nimeckogo matematika Joganna Fridriha Pfaffa PrikladiPf 0a a0 a displaystyle mbox Pf begin bmatrix 0 amp a a amp 0 end bmatrix a Pf 0abc a0de b d0f c e f0 af be dc displaystyle mbox Pf begin bmatrix 0 amp a amp b amp c a amp 0 amp d amp e b amp d amp 0 amp f c amp e amp f amp 0 end bmatrix af be dc Pf 0l100 00 l1000 00000l2 0000 l20 00 0000 0ln0000 ln0 l1l2 ln displaystyle mbox Pf begin bmatrix 0 amp lambda 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 amp 0 lambda 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp lambda 2 amp cdots amp 0 amp 0 0 amp 0 amp lambda 2 amp 0 amp cdots amp 0 amp 0 vdots amp vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots amp vdots 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 amp lambda n 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp cdots amp lambda n amp 0 end bmatrix lambda 1 lambda 2 cdots lambda n OznachennyaNehaj A aij displaystyle A a ij ye kososimetrichnoyu matriceyu poryadku 2n 2n displaystyle 2n times 2n Pfaffianom matrici A nazivayetsya mnogochlen vid yiyi elementiv zadanij yak pf A 12nn s S2nsgn s i 1nas 2i 1 s 2i displaystyle operatorname pf A frac 1 2 n n sum sigma in S 2n operatorname sgn sigma prod i 1 n a sigma 2i 1 sigma 2i de S2n poznachaye simetrichnu grupu poryadok yakoyi ye rivnim 2n a sgn s ye znakom perestanovki s Ekvivalentno yaksho P displaystyle Pi poznachaye mnozhinu vsih rozbittiv mnozhini 1 2 2n displaystyle 1 2 dots 2n na nevporyadkovani pari vsogo isnuye 2n 1 displaystyle 2n 1 takih rozbittiv to kozhne a P displaystyle alpha in Pi mozhe buti zapisano yak a i1 j1 i2 j2 in jn displaystyle alpha i 1 j 1 i 2 j 2 cdots i n j n de ik lt jk displaystyle i k lt j k i i1 lt i2 lt lt in displaystyle i 1 lt i 2 lt cdots lt i n Nehaj p 1234 2ni1j1i2j2 jn displaystyle pi begin bmatrix 1 amp 2 amp 3 amp 4 amp cdots amp 2n i 1 amp j 1 amp i 2 amp j 2 amp cdots amp j n end bmatrix poznachaye vidpovidnu perestanovku a sgn a displaystyle mbox sgn alpha znak perestanovki p displaystyle pi Dlya rozbittya a displaystyle alpha viznachimo Aa sgn a ai1 j1ai2 j2 ain jn displaystyle A alpha operatorname sgn alpha a i 1 j 1 a i 2 j 2 cdots a i n j n Pfaffian matrici A ye rivnim Pf A a PAa displaystyle operatorname Pf A sum alpha in Pi A alpha Pfaffian kososimetrichnoyi matrici rozmiru n n displaystyle n times n dlya neparnogo n za oznachennyam dorivnyuye nulyu Rekursivne oznachennya Pfaffian matrici rozmiru 0 0 displaystyle 0 times 0 vvazhayetsya rivnim 1 pfaffian kososimetrichnoyi matrici A rozmiru 2n 2n displaystyle 2n times 2n pri n gt 0 displaystyle n gt 0 mozhe buti oznachenij rekursivno Pf A j 1j i2n 1 i j 1 8 i j aijPf Ai ȷ displaystyle operatorname Pf A sum j 1 atop j neq i 2n 1 i j 1 theta i j a ij operatorname Pf A hat imath hat jmath de indeks i displaystyle i mozhe buti obranij dovilno 8 ij displaystyle theta ij funkciya Gevisajda a Ai ȷ displaystyle A hat imath hat jmath poznachaye matricyu A bez i tih i j tih ryadkiv i stovpciv Alternativne oznachennya Dlya 2n 2n displaystyle 2n times 2n kososimetrichnoyi matrici A aij displaystyle A a ij rozglyanemo bivektor w i lt jaijei ej displaystyle omega sum i lt j a ij e i wedge e j de e1 e2 e2n displaystyle e 1 e 2 dots e 2n ye standartnij bazis v R2n displaystyle mathbb R 2n Todi pfaffian viznachayetsya takim rivnyannyam 1n w n Pf A e1 e2 e2n displaystyle frac 1 n omega wedge n mbox Pf A e 1 wedge e 2 wedge dots wedge e 2n de w n displaystyle omega wedge n poznachaye zovnishnij dobutok n kopij w displaystyle omega VlastivostiDlya 2n 2n displaystyle 2n times 2n kososimetrichnoyi matrici A displaystyle A i dlya dovilnoyi 2n 2n displaystyle 2n times 2n matrici B displaystyle B Pf A 2 det A displaystyle mbox Pf A 2 det A Pf BABT det B Pf A displaystyle mbox Pf BAB T det B mbox Pf A Poznachimo A BABT displaystyle bar A BAB T Za oznachennyam dobutku matric a ij BABT ij k l 12nbikbjlakl displaystyle bar a ij BAB T ij sum k l 1 2n b ik b jl a kl Tomupf BABT 12nn s S2nsgn s i 1na s 2i 1 s 2i 12nn s S2nsgn s i 1n k l 12nbs 2i 1 kbs 2i lakl displaystyle operatorname pf BAB T frac 1 2 n n sum sigma in S 2n operatorname sgn sigma prod i 1 n bar a sigma 2i 1 sigma 2i frac 1 2 n n sum sigma in S 2n operatorname sgn sigma prod i 1 n left sum k l 1 2n b sigma 2i 1 k b sigma 2i l a kl right dd Nehaj teper f displaystyle varphi poznachaye dovilne vidobrazhennya iz mnozhini 1 2 2n displaystyle 1 2 ldots 2n u sebe ne obov yazkovo perestanovku Rozpisavshi poperednij viraz oderzhuyemo sho12nn s S2nsgn s i 1n k l 12nbs 2i 1 kbs 2i lakl 12nn f s S2nsgn s i 1nbs 2i 1 f 2i 1 bs 2i f 2i af 2i 1 f 2i displaystyle frac 1 2 n n sum sigma in S 2n operatorname sgn sigma prod i 1 n left sum k l 1 2n b sigma 2i 1 k b sigma 2i l a kl right frac 1 2 n n sum varphi sum sigma in S 2n operatorname sgn sigma prod i 1 n b sigma 2i 1 varphi 2i 1 b sigma 2i varphi 2i a varphi 2i 1 varphi 2i dd Ale dlya kozhnogo konkretnogo vidobrazhennya f displaystyle varphi viraz s S2nsgn s i 1nbs 2i 1 f 2i 1 bs 2i f 2i displaystyle sum sigma in S 2n operatorname sgn sigma prod i 1 n b sigma 2i 1 varphi 2i 1 b sigma 2i varphi 2i ye rivnim detBf displaystyle det B varphi de Bf displaystyle B varphi ye matriceyu rozmirnosti 2n 2n displaystyle 2n times 2n dlya yakoyi i ij stovpec ye f i displaystyle varphi i stovpcem matrici B displaystyle B Tomu yaksho f displaystyle varphi ne ye perestanovkoyu deyaki stovpci ye odnakovimi i vidpovidnij viznachnik ye rivnim nulyu V inshomu vipadku detBf sgn f detB displaystyle det B varphi operatorname sgn varphi det B Takim chinom Pf BABT det B 12nn f S2nsgn f i 1naf 2i 1 f 2i det B Pf A displaystyle mbox Pf BAB T det B cdot frac 1 2 n n sum varphi in S 2n operatorname sgn varphi prod i 1 n a varphi 2i 1 varphi 2i det B mbox Pf A dd dd Pf lA lnPf A displaystyle mbox Pf lambda A lambda n mbox Pf A Pf AT 1 nPf A displaystyle mbox Pf A T 1 n mbox Pf A Dlya blok diagonalnoyi matriciPf A100A2 Pf A1 Pf A2 displaystyle mbox Pf begin bmatrix A 1 amp 0 0 amp A 2 end bmatrix mbox Pf A 1 mbox Pf A 2 dd Dlya dovilnoyi n n displaystyle n times n matrici M displaystyle M Pf 0M MT0 1 n n 1 2detM displaystyle mbox Pf begin bmatrix 0 amp M M T amp 0 end bmatrix 1 n n 1 2 det M dd Div takozhViznachnik Kososimetrichna matricyaDzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Teoriya matric 2 Moskva Nauka 1982 272 s ros Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros Godsil Chris D 1993 Algebraic Combinatorics New York Chapman and Hall ISBN 0 412 04131 6 MR 1220704 Primitki Arhiv originalu za 4 bereznya 2009 Procitovano 24 listopada 2020