Порядок групи

Порядок групи — потужність носія групи, тобто, для скінченних груп — кількість елементів групи. Позначається ${\displaystyle |G|}$ або ${\displaystyle \mathbf {Ord(G)} }$.

Для скінченних груп зв'язок між порядком групи та її підгрупи встановлює теорема Лагранжа: порядок групи ${\displaystyle G}$ дорівнює порядку будь-якої її підгрупи ${\displaystyle H\subseteq G}$, помноженому на її індекс — кількість її лівих чи правих класів суміжності:

${\displaystyle |G|=|H|\cdot [G:H]}$.

Важливим результатом про порядки груп є рівняння класу, що пов'язує порядок скінченної групи ${\displaystyle G}$ з порядком її центра ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$ і розмірами її нетривіальних класів спряженості:

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}}$,

де ${\displaystyle d_{i}}$ — розміри нетривіальних класів спряженості. Наприклад, центр симетричної групи ${\displaystyle S_{3}}$ — просто тривіальна група з одного нейтрального елемента ${\displaystyle e}$, і рівняння перетворюється на ${\displaystyle |S_{3}|=1+2+3}$.

Порядок елементів скінченних груп ділить її груповий порядок. З теоретико-групової теореми Коші випливає, що порядок групи ${\displaystyle G}$ є степенем цілого простого числа ${\displaystyle p}$ тоді й лише тоді, коли порядок будь-якого з її елементів є деяким степенем ${\displaystyle p}$.

Примітки

1. Keith Conrad. Consequences of Cauchy's Theorem.

Література

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN .