Теорема Коші в теорії груп говорить:
Якщо порядок скінченної групи G ділиться на просте число p, то G має елементи порядку p. |
Є окремим випадком теорем Силова.
Історія
Теорема була спочатку доведена Коші для груп підстановок.
Доведення
Спочатку доведемо для випадку коли G це абелева група, і тоді вже загальний випадок; обидва доведення за індукцією по n = |G| і як базовий випадок мають n = p, який доводиться тривіально, оскільки будь-який ненейтральний елемент має порядок p. Нехай спочатку G — абелева. Візьмемо будь-який ненейтральний елемент a і нехай H буде згенерованою ним циклічною групою. Якщо p ділить |H|, тоді a|H|/p це елемент порядку p. Якщо p не ділить |H|, тоді воно ділить порядок [G:H] фактор-групи G/H, яка через це містить елемент порядку p згідно з індуктивною гіпотезою. Цей елемент є класом xH для деякого x з G, і якщо m це порядок x з G, тоді xm = e з G дає (xH)m = eH в G/H, тому p ділить m; як і раніше xm/p є елементом порядку p в G, що завершує доведення для абелевого випадку.
У загальному випадку, нехай Z буде центром G, тобто абелевою підгрупою. Якщо p ділить |Z|, тоді Z містить елемент порядку p згідно з абелевим випадком, і цей елемент спрацьовую для G також. Отже, ми можемо припустити, що p не ділить порядок Z; оскільки він ділить |G|, рівняння класу показує, що існує щонайменше один клас спряженості нецентрального елемента a розмір якого не ділиться на p. Але цей розмір є [G : CG(a)], тому p ділить порядок CG(a) для a з G, який є правильною (власною) підмножиною оскільки a нецентральний. Ця підгрупа містить елемент порядку p згідно з індукційною гіпотезою, значить доведення завершено.
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Koshi v teoriyi grup govorit Yaksho poryadok skinchennoyi grupi G dilitsya na proste chislo p to G maye elementi poryadku p Ye okremim vipadkom teorem Silova IstoriyaTeorema bula spochatku dovedena Koshi dlya grup pidstanovok DovedennyaSpochatku dovedemo dlya vipadku koli G ce abeleva grupa i todi vzhe zagalnij vipadok obidva dovedennya za indukciyeyu po n G i yak bazovij vipadok mayut n p yakij dovoditsya trivialno oskilki bud yakij nenejtralnij element maye poryadok p Nehaj spochatku G abeleva Vizmemo bud yakij nenejtralnij element a i nehaj H bude zgenerovanoyu nim ciklichnoyu grupoyu Yaksho p dilit H todi a H p ce element poryadku p Yaksho p ne dilit H todi vono dilit poryadok G H faktor grupi G H yaka cherez ce mistit element poryadku p zgidno z induktivnoyu gipotezoyu Cej element ye klasom xH dlya deyakogo x z G i yaksho m ce poryadok x z G todi xm e z G daye xH m eH v G H tomu p dilit m yak i ranishe xm p ye elementom poryadku p v G sho zavershuye dovedennya dlya abelevogo vipadku U zagalnomu vipadku nehaj Z bude centrom G tobto abelevoyu pidgrupoyu Yaksho p dilit Z todi Z mistit element poryadku p zgidno z abelevim vipadkom i cej element spracovuyu dlya G takozh Otzhe mi mozhemo pripustiti sho p ne dilit poryadok Z oskilki vin dilit G rivnyannya klasu pokazuye sho isnuye shonajmenshe odin klas spryazhenosti necentralnogo elementa a rozmir yakogo ne dilitsya na p Ale cej rozmir ye G CG a tomu p dilit poryadok CG a dlya a z G yakij ye pravilnoyu vlasnoyu pidmnozhinoyu oskilki a necentralnij Cya pidgrupa mistit element poryadku p zgidno z indukcijnoyu gipotezoyu znachit dovedennya zaversheno DzherelaKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros