Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні , де ).
Формально, для мультиплікативних груп:
для адитивних:
Приклади
- Група
цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
- Група
цілих чисел за модулем
з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
- Група коренів з
-го степеня з
(в множині комплексних чисел) з операцією множення.
Властивості
- Всі циклічні групи є абелевими.
- Це випливає з асоціативності групи.
- Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі
, а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі
.
- Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить
в
.
- Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що
та
- У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи:
та
; для скінченної групи порядку
їх кількість рівна функції Ейлера
тобто кількості чисел менших від
і взаємно простих з
.
- Для скінченної циклічної групи елемент
є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з
. Тоді існують
для яких виконується
тобто
. Відповідно
і так для всіх елементів.
- Навпаки якщо
то
ділиться на
тобто рівне
для деякого цілого
. Тоді
? що можливо лише для взаємно простих чисел.
- Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна.
- Є наслідком теореми Лагранжа.
- Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.
Теорема про підгрупи циклічної групи
Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:
- Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.
Доведення
Нехай — циклічна група і
— її підгрупа. Вважатимемо, що
і
не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).
Нехай — твірний елемент групи
, а
— найменше додатне ціле число, таке що
. Твердження:
- Відповідно,
.
- Нехай
.
.
- Згідно з алгоритмом ділення
.
.
- Зважаючи на вибір
і те, що
, одержуємо
.
.
- Відповідно,
.
Див. також
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ciklichna grupa ce grupa yaka mozhe buti porodzhena odnim iz svoyih elementiv Tobto vsi elementi grupi ye stepenyami danogo elementa abo vikoristovuyuchi terminologiyu aditivnih grup vsi elementi grupi rivni n g displaystyle ng de g G n Z displaystyle g in G n in mathbb Z Formalno dlya multiplikativnih grup G a a n n Z displaystyle G langle a rangle left a n n in mathbb Z right dlya aditivnih G a n a n Z displaystyle G langle a rangle left na n in mathbb Z right PrikladiGrupa Z displaystyle mathbb Z cilih chisel z operaciyeyu dodavannya Dana grupa ye prikladom neskinchennoyi ciklichnoyi grupi Grupa Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z cilih chisel za modulem n displaystyle n z operaciyeyu dodavannya Dana grupa ye prikladom skinchennoyi ciklichnoyi grupi Grupa koreniv z n displaystyle n go stepenya z 1 displaystyle 1 v mnozhini kompleksnih chisel z operaciyeyu mnozhennya VlastivostiVsi ciklichni grupi ye abelevimi Ce viplivaye z asociativnosti grupi Kozhna skinchenna ciklichna grupa izomorfna grupi Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z a kozhna neskinchenna ciklichna grupa izomorfna grupi Z displaystyle mathbb Z Spravdi dlya neskinchennoyi grupi mozhna vzyati yak izomorfizm vidobrazhennya sho perevodit a k displaystyle a k v k displaystyle k Dlya skinchennoyi grupi poryadku n vikoristovuyemo analogichne vidobrazhennya i vrahovuyemo sho a n 1 displaystyle a n 1 ta n 0 mod n displaystyle n equiv 0 pmod n U neskinchennoyi ciklichnoyi grupi ye dva tvirni elementi 1 displaystyle 1 ta 1 displaystyle 1 dlya skinchennoyi grupi poryadku n displaystyle n yih kilkist rivna funkciyi Ejlera f n displaystyle varphi n tobto kilkosti chisel menshih vid n displaystyle n i vzayemno prostih z n displaystyle n Dlya skinchennoyi ciklichnoyi grupi element k displaystyle k ye tvirnim todi j lishe todi koli vin vzayemno prostij z n displaystyle n Todi isnuyut a b Z displaystyle a b in mathbb Z dlya yakih vikonuyetsya a k b n 1 displaystyle ak bn 1 tobto a k 1 mod n displaystyle ak equiv 1 pmod n Vidpovidno 2 a k 2 mod n displaystyle 2ak equiv 2 pmod n i tak dlya vsih elementiv Navpaki yaksho a k 1 mod n displaystyle ak equiv 1 pmod n to a k 1 displaystyle ak 1 dilitsya na n displaystyle n tobto rivne n b displaystyle nb dlya deyakogo cilogo b displaystyle b Todi a k b n 1 displaystyle ak bn 1 sho mozhlivo lishe dlya vzayemno prostih chisel Yaksho poryadok grupi proste chislo to taka grupa ciklichna Ye naslidkom teoremi Lagranzha Yaksho grupa ne maye vlasnih pidgrup to vona ciklichna i yiyi poryadok proste chislo Teorema pro pidgrupi ciklichnoyi grupiKlyuchovim rezultatom dlya ciklichnih grup ye nastupna teorema Kozhna pidgrupa ciklichnoyi grupi ye ciklichnoyu Dovedennya Nehaj G displaystyle G ciklichna grupa i H displaystyle H yiyi pidgrupa Vvazhatimemo sho G displaystyle G i H displaystyle H ne ye trivialnimi tobto mayut bilshe odnogo elementa Nehaj g displaystyle g tvirnij element grupi G displaystyle G a n displaystyle n najmenshe dodatne cile chislo take sho g n H displaystyle g n in H Tverdzhennya H g n displaystyle H langle g n rangle g n H displaystyle langle g n rangle subseteq H a g n z Z a g n z displaystyle forall a in langle g n rangle exists z in mathbb Z mid a g n z g n H g n z H a H displaystyle g n in H Rightarrow g n z in H Rightarrow a in H Vidpovidno g n H displaystyle langle g n rangle subseteq H H g n displaystyle H subseteq langle g n rangle Nehaj h H displaystyle h in H h H h G x Z h g x displaystyle h in H Rightarrow h in G Rightarrow exists x in mathbb Z mid h g x Zgidno z algoritmom dilennya q r Z 0 r lt n x q n r displaystyle exists q r in mathbb Z mid 0 leq r lt n land x qn r h g x g q n r g q n g r g n q g r g r h g n q displaystyle h g x g qn r g qn g r g n q g r Rightarrow g r h g n q h g n H g r H displaystyle h g n in H Rightarrow g r in H Zvazhayuchi na vibir n displaystyle n i te sho 0 r lt n displaystyle 0 leq r lt n oderzhuyemo r 0 displaystyle r 0 r 0 h g n q g 0 g n q g n displaystyle r 0 Rightarrow h g n q g 0 g n q in langle g n rangle Vidpovidno H g n displaystyle H subseteq langle g n rangle Div takozhTeoriya grup Modulna arifmetika Ciklichnij grafDzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl