Твірна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них.
Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді <S> — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, <S> це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них.
Якщо G = <S>, говорять, що S породжує G, а елементи S називаються твірними або породжувальними елементами групи G. Якщо S — порожня, то за визначенням, вважається <S> = {e}.
Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть <x> = G. В такому випадку <x> — це циклічна підгрупа степенів x в G.
Вільна група
Найзагальніша група породжена множиною S — це група вільно породжена S. Кожна група породжена S, ізоморфна факторгрупі такої групи. Ця властивість використовується для задання групи.
Приклади
Симетрична група
При n ≥ 3 симетрична група Sn не є циклічною (не може бути породженою одним елементом).
Хоча може бути породжена двома елементами: перестановка та перестановка
.
Для прикладу, перечислимо всі 6 елементів S3:
- e = (1 2)(1 2)
- (1 2) = (1 2)
- (1 3) = (1 2)(1 2 3)
- (2 3) = (1 2 3)(1 2)
- (1 2 3) = (1 2 3)
- (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)
Знакозмінна група
При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена 3-циклами (перестановками ).
В знакозмінній групі парна кількість транспозицій, і кожна пара транспозицій може бути утворена одним чи двома 3-циклами:
.
чи в циклічній нотації
- (a b) * (a c) = (a b c)
- (a b) * (c d) = (a b c) * (c a d)
При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена m-циклами (де m — непарне число > 1).
Оскільки:
- m-цикл має (m - 1), тобто, парну кількість транспозицій, отже є елементом групи і
- довільний 3-цикл є добутком m-циклів:
.
Див. також
Джерела
- Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.(укр.)
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tvirna mnozhina grupi ce taka pidmnozhina S grupi G sho kozhen element grupi G mozhna podati yak dobutok skinchennoyi kilkosti elementiv iz S ta obernenih do nih Zagalnishe yaksho S pidmnozhina grupi G todi lt S gt pidgrupa porodzhena S ce najmensha pidgrupa G yaka mistit vsi elementi S Ekvivalentno lt S gt ce pidgrupa vsih elementiv G yaki mozhut buti predstavleni yak dobutki skinchennoyi kilkosti elementiv z S ta obernenih do nih Yaksho G lt S gt govoryat sho S porodzhuye G a elementi S nazivayutsya tvirnimi abo porodzhuvalnimi elementami grupi G Yaksho S porozhnya to za viznachennyam vvazhayetsya lt S gt e Koli S mistit tilki odin element x zazvichaj pishut lt x gt G V takomu vipadku lt x gt ce ciklichna pidgrupa stepeniv x v G Vilna grupaNajzagalnisha grupa porodzhena mnozhinoyu S ce grupa vilno porodzhena S Kozhna grupa porodzhena S izomorfna faktorgrupi takoyi grupi Cya vlastivist vikoristovuyetsya dlya zadannya grupi PrikladiSimetrichna grupa Pri n 3 simetrichna grupa Sn ne ye ciklichnoyu ne mozhe buti porodzhenoyu odnim elementom Hocha mozhe buti porodzhena dvoma elementami perestanovka 1 2 displaystyle 1 leftrightarrow 2 ta perestanovka 1 2 3 n displaystyle 1 to 2 to 3 to ldots to n Dlya prikladu perechislimo vsi 6 elementiv S3 e 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 1 2 Znakozminna grupa Pri n 3 znakozminna grupa mozhe buti porodzhena 3 ciklami perestanovkami i j k displaystyle i to j to k V znakozminnij grupi parna kilkist transpozicij i kozhna para transpozicij mozhe buti utvorena odnim chi dvoma 3 ciklami a b b a a c c a a b c b c a displaystyle begin pmatrix a amp b b amp a end pmatrix circ begin pmatrix a amp c c amp a end pmatrix begin pmatrix a amp b amp c b amp c amp a end pmatrix a b b a c d d c a b c d b c a d b c a d b a d c displaystyle begin pmatrix a amp b b amp a end pmatrix circ begin pmatrix c amp d d amp c end pmatrix begin pmatrix a amp b amp c amp d b amp c amp a amp d end pmatrix circ begin pmatrix b amp c amp a amp d b amp a amp d amp c end pmatrix chi v ciklichnij notaciyi a b a c a b c a b c d a b c c a d Pri n 3 znakozminna grupa mozhe buti porodzhena m ciklami de m neparne chislo gt 1 Oskilki m cikl maye m 1 tobto parnu kilkist transpozicij otzhe ye elementom grupi i dovilnij 3 cikl ye dobutkom m cikliv a 1 a 2 a 3 a 2 a 1 a 3 a 4 a m a m a m 1 a 4 a 3 a 2 a 1 displaystyle a 1 a 2 a 3 a 2 a 1 a 3 a 4 ldots a m circ a m a m 1 ldots a 4 a 3 a 2 a 1 Div takozhGraf Keli Zalishkovo skinchenna grupaDzherelaElementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s ukr Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl