Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . |
Теорія груп — розділ математики, який вивчає властивості груп. Група — це алгебраїчна структура з двомісною операцією, і для цієї операції виконуються такі властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента, існування оберненого елемента.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemsyTDFKMVltbHJKVEkzYzE5amRXSmxYM1l5TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxU2RXSnBheVV5TjNOZlkzVmlaVjkyTWk1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Поняття групи є узагальненням понять група симетрій, група перестановок.
Часто група може являти собою множину всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень (композицією) буде знову деяке перетворення, також можливі обернені перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень.
Наприклад, в кубика Рубика множина всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує обернена, нейтральний елемент — відсутність трансформацій.
Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості гомоморфізму, тобто такому зв'язку між різними групами, при якому групова операція зберігається. Гомоморфні групи різноманітної природи мають однакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням іншої. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфна групі спеціальних ортогональних матриць 3x3, груповою операцією якої є множення матриць (див. Матриці повороту). Завдяки гомоморфізму теорія груп знайшла широке застосування в різноманітних галузях математики й фізики, оскільки дозволяє виділити спільні риси в об'єктах дуже різноманітної природи.
Історія
Теорія груп сформувалася в XIX столітті. Вона має три історичні корені: теорія алгебраїчних рівнять, теорія чисел та геометрія.
Основною задачею алгебри до XIX століття було розв'язання алгебраїчних рівнянь. В епоху Відродження були знайдені формули для розв'язку рівнянь третього та четвертого степенів. Були прикладені значні зусилля для пошуку формул для рівнянь п'ятого та вищих степенів, але понад два століття пошуків не дали бажаного результату. У 1770 Жозеф-Луї Лагранж та Александр Вандермонд помітили, що розв'язність рівняння зводиться до вивчення перестановок з його коренів. З 1799 Паоло Руффіні в низці робіт, присвячених цій темі, описав групу перестановок з п'яти елементів. У 1824 Нільс Абель довів теорему, що для рівнянь п'ятого і вищих степенів не існує загальної формули, що виражатиме корені через коефіцієнти в радикалах (теорема Абеля—Руффіні). Загальний розв'язок проблеми розв'язності алгебраїчних рівнянь отримав Еварист Галуа в 1830. Саме Галуа запровадив у своїх роботах термін «група» і почав використовувати властивості груп.
У геометрії в XIX столітті викликали інтерес геометричні перетворення. Їх вивчав, зокрема, Август Мебіус. Детальну класифікацію геометричних перетворень провів у 1854 Артур Келі. Він користувався терміном «група», використовував таблиці множення (таблиці Келі) і довів що скінченну групу можна представити перестановками. У ерлангенській програмі Фелікса Клейна (1872) вивчення геометрії було пов'язано з вивченням відповідних груп перетворень. Наприклад, якщо задані фігури на площині, то групою рухів з'ясовується їхня рівність.
Третій історичний шлях до теорії груп лежав через теорію чисел. Значний внесок у становлення групового підходу до теорії чисел зробили Леонард Ейлер, який вивчав остачі від ділення степенів, Гаус, який цікавився пошуком коренів рівняння хn-1=0 для побудови правильних многокутників та Леопольд Кронекер, який працював над вивченням скінченних абелевих груп, застосовуючи мову теорії чисел.
На початку XX століття теорією груп займались Софус Лі, Давид Гільберт, Еммі Нетер, Еміль Артін, .
Визначення групи
Групою називається множина G, на якій визначена бінарна операція , що звичайно називається множенням і позначається
або
і має такі властивості:
- Асоціативність: для довільних елементів a, b, c групи G виконується
- Існування нейтрального елемента: існує елемент e такий, що для кожного елемента a групи G виконується
- Існування оберненого елемента: для кожного елемента a групи існує елемент
такий, що
.
Якщо операція має властивість комутативності, то вона називається абелевою.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk13TDBkeWIzVndYMjl3WlhKaGRHbHZibDlwYldGblpTNTBhV1l2Ykc5emMyeGxjM010Y0dGblpURXRNalUyY0hndFIzSnZkWEJmYjNCbGNtRjBhVzl1WDJsdFlXZGxMblJwWmk1d2JtYz0ucG5n.png)
Нехай та
- дві операції перетворення. Якщо виконати послідовно перетворення
, а потім
, в результаті кожний елемент
множини
спочатку перейде у елемент
, а потім елемент
перейде у елемент
або, що те саме, у елемент
В результаті отримане відображення множини
у себе,
Оскільки
- перетворення, то у елемент
при перетворенні
може перейти лише один елемент
, а оскільки
також є перетворенням, у елемент
за перетворення
переходить лише елемент
. Тому відображення
є перетворенням множини
, яке називається композицією перетворень
та
й позначається
Таким чином, за перетворення
кожний елемент
переходить у елемент
Це можна зобразити наступним чином: Композиція перетворень нагадує операцію добутку чисел: як і добуток чисел, композиція має властивість асоціативності.
Геометричні перетворення
Геометричне перетворення - бієкція множини
точок площини на себе (розглядають й геометричне перетворення усього простору). Оскільки
- множина нескінченна, геометричні перетворення не можна задавати таблицями. Часто їх задають формулами, які виражають координати
та
точки
через координати
та
точки
У загальному випадку ці формули записують наступним чином:
Наприклад, щоб знайти образ точки за перетворення площини
потрібно змінити у цих рівняннях
та
числами
та
відповідно:
Таким чином, точка
переходить у точку
Щоб віднайти зворотне перетворення, потрібно вирішити систему відносно
та
, тобто:
Таким чином,
переходить у точку
Функції та
не можна обирати довільно - вони повинні задовольняти умові бієктивності відображення
Це значить, що вони повинні бути визначені для усіх пар
та, з іншого боку, для будь-якої пари чисел
повинна бути визначена пара чисел
така, що
Наприклад, функції не задають перетворення площини, оскільки визначенні за умов, що
та
За геометричного перетворення кожна геометрична фігура
, яка називається прообразом, переходить у геометричну фігуру
яка називається її образом за перетворення
. Можно подогнать начертательную геометрию.
Геометричне перетворення називається переміщенням (ізометрією) площини, якщо воно не змінює відстаней між точками площини. Іншими словами,
є переміщенням площини, якщо для будь-яких двох точок площини
та
виконується рівність
де
образ точки
a
- образ точки
за цього переміщення, тобто
Нехай та
- два переміщення площини. Оскільки вони не змінюють відстаней між точками площини, то їхня композиція залишає ці відстані незмінними. Відповідно, композиція двох переміщень є переміщенням. Якщо переміщення
не змінює відстаней між точками площини, то й
також є переміщенням. Таким чином, переміщення площини утворюють групу.
Фігура називається конгруентною плоскій фігурі
, якщо існує переміщення
, яке відображає
на
, тобто таке, що
Відношення конгруентності рефлексивне, симетричне й транзитивне, а відтак воно є відношенням еквівалентності, яке розшаровує сукупність усіх геометричних фігур на класи еквівалентності. Осьова симетрія є прикладом переміщення площини. Композиція двох осьових симетрій відносно прямих
та
, що перетинаються, є поворотом площини. Якщо замінити прямі
та
іншими прямими
та
які перетинаються у тій самій точці
й утворюють той самий кут
(відлічуваний від
до
), то отримається поворот навколо тієї самої точки на той самий кут, тобто
де
- геометричне перетворення відносно осей, вказаних індексом. Будь-який поворот навколо точки
можна представити у вигляді композиції двох осьових симетрій. Для цього достатньо провести через цю точку прямі
та
із кутом між ними
де
- кут повороту, і зробити симетрії
та
Композиція осьової симетрії
й паралельного перенесення
у напрямку, пралельному осі
, називається переносною симетрією. Таким чином, будь-яке переміщення площини є або паралельним перенесенням, або поворотом, або осьовою симетрією, або переносною симетрією ().
Тотожне перетворення площини переводить кожну фігуру у себе. Для декотрих фігур існують й інші переміщення, які суміщають фігуру із собою. Наприклад, трапеція із рівними сторонами суміщається із собою за осьової симетрії відносно прямої, яка сполучає середини її основ, а паралелограм - за центральної симетрії відносно його центру. Для прямокутника є чотири таких переміщення: тотожне перетворення, дві осьові симетрії й центральна симетрія. Так само чотири переміщення суміщають із собою ромб. Тільки для прямокутника осями симетрії є прямі, які сполучають середини протилежних сторін, а для ромбу - його діагоналі. Квадрат комбінує у собі симетрії ромба й прямокутника, сукупність його самосуміщень складається із восьми елементів: повороти центру на кути 0, 90, 180 й 270 градусів й симетрії відносно чотирьох осей. У окружності незліченна кількість самосуміщень - вона переходить у себе за будь-якого повороту навколо центру й за будь-якої осьової симетрії відносно прямої, яка проходить через її центр. Для будь-якої фігури сукупність її самосуміщень утворює групу перетворень, яка називається . Це слідує з того, що якщо перетворення та
переводять фігуру
у себе, то їх композиція
переводить
у
. Точно так само якщо
переводить
у себе, то тією ж властивістю наділене й зворотне перетворення
Групи самосуміщень скінченних фігур складаються лише з обертань та осьових симетрій.
Фігури, які мають поворотні симетрії, можна отримати, згинаючи лист паперу й прорізаючи його ножицями. Наприклад, якщо узяти квадратний лист паперу, скласти його по діагоналі, потім скласти отриманий рівнобедрений трикутник по висоті, а новий трикутник ще раз скласти навпіл та зробити розріз, який прорізає усі шари паперу, то отримається витинанка у формі, який має назву розетка.
У кристалографії важливу роль відіграє вивчення груп самосуміщень кристалічних ґраток. Їх перелічив Євграф Федоров, і тому їх називають федорівськими групами.
Пов'язані визначення
Коли елементи групи неперервно залежать від якихось параметрів, то група називається неперервною, або групою Лі. Також кажуть, що група Лі — це група, множина елементів якої утворює гладкий многовид. Множина гладких перетворень многовиду
у себе називається групою, якщо:
- разом із будь-якими двома перетвореннями
композиція
належить
(запис
означає, що спочатку застосовується
а потім
)
- разом із будь-яким
зворотне перетворення
також належить
З цих умов слідує, що кожна група містить тотожне перетворення (ідемпотент)
Наприклад, обертання твердого тіла навколо початку координат утворюють компатну групу Лі із двусторонньою інваріантною метрикою.
Дифеоморфі́зм — взаємно однозначне і неперервно диференційовне відображення гладкого многовиду в гладкий многовид, обернене до якого теж є неперервно диференційовним. Дифеоморфізми декотрої області , які зберігають елемент об'єму, утворюють групу Лі (див. Гідродинаміка).
За допомогою груп Лі як груп симетрії знаходяться диференціальних рівнянь.
Застосування
Теорія груп має широку область застосування в математиці, фізиці, хімії та в прикладних галузях, наприклад, в комп'ютерній графіці, криптографії тощо.
Серед розділів математики, в яких застосовується теорія груп, геометрія і топологія, теорія чисел, теорія диференціальних рівнянь та інші.
У фізиці важливу роль відіграє поняття симетрії. Сукупність операцій симетрії складає групу. На основі вивчення цієї групи можна робити важливі висновки про властивості фізичних об'єктів. Наприклад, теорема Нетер встановлює той факт, що кожній симетрії відповідає певний закон збереження. Так, закон збереження енергії є результатом однорідності часу, закон збереження імпульсу випливає із однорідності простору, а закон збереження моменту імпульсу із ізотропності простору. Інші фізичні симетрії не настільки очевидні. У квантовій теорії поля існує поняття калібрувальних перетворень, які відповідають фундаментальним симетріям світу елементарних частинок. Сукупність фундаментальних частинок за сучасними уявленнями гомоморфна групам матриць із родини SU(n).
В кристалографії та хімії важливе значення мають операції симетрії, які описуються точковими й . Вивчення цих груп важливе для класифікації та визначення властивостей мінералів та молекул. Групи симетрії визначають, наприклад, структуру оптичних спектрів, спектрів раманівського розсіяння тощо.
Див. також
Навчальні матеріали
- (укр.) Вступ до теорї груп на YouTube, Сергій Максименко (Інститут математики НАН України).
Література
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- (укр.) Голод П. І. Симетрія та методи теорії груп у фізиці (дискретні симетрії). — К. : Києво-Могилянська академія, 2005. — 215 с.
- (укр.) Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
Іншими мовами
- (англ.) John F. Humphreys. A Course in Group Theory. — Oxford Science Publications, 1996. — 296 с. — .
- (англ.) [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
- (рос.) Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М. : ИЛ, 1961. — 444 с.
- (рос.) Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- (рос.) Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. — М. : Мир, 1966. — 588 с.
- (рос.) Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М. : ИЛ, 1963. — 522 с.
- (рос.) Холл М. Теория групп. — М. : ИЛ, 1962. — 468 с.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno Teoriya grup rozdil matematiki yakij vivchaye vlastivosti grup Grupa ce algebrayichna struktura z dvomisnoyu operaciyeyu i dlya ciyeyi operaciyi vikonuyutsya taki vlastivosti asociativnist isnuvannya nejtralnogo elementa isnuvannya obernenogo elementa Vsi povoroti kubika Rubika skladayut grupu Ponyattya grupi ye uzagalnennyam ponyat grupa simetrij grupa perestanovok Chasto grupa mozhe yavlyati soboyu mnozhinu vsih peretvoren simetrij deyakoyi strukturi oskilki rezultatom poslidovnogo zastosuvannya dvoh peretvoren kompoziciyeyu bude znovu deyake peretvorennya takozh mozhlivi oberneni peretvorennya nejtralnim elementom vvazhayetsya vidsutnist peretvoren Napriklad v kubika Rubika mnozhina vsih transformacij sho mozhlivi za rahunok povorotu granej ye grupoyu oskilki dvi poslidovni transformaciyi utvoryuyut novu transformaciyu dlya kozhnoyi transformaciyi isnuye obernena nejtralnij element vidsutnist transformacij Osoblivu korisnist abstraktne ponyattya grupi otrimuye zavdyaki vlastivosti gomomorfizmu tobto takomu zv yazku mizh riznimi grupami pri yakomu grupova operaciya zberigayetsya Gomomorfni grupi riznomanitnoyi prirodi mayut odnakovi vlastivosti i vivchennya odniyeyi grupi mozhna zaminiti vivchennyam inshoyi Napriklad grupa povorotiv trivimirnogo tila gomomorfna grupi specialnih ortogonalnih matric 3x3 grupovoyu operaciyeyu yakoyi ye mnozhennya matric div Matrici povorotu Zavdyaki gomomorfizmu teoriya grup znajshla shiroke zastosuvannya v riznomanitnih galuzyah matematiki j fiziki oskilki dozvolyaye vidiliti spilni risi v ob yektah duzhe riznomanitnoyi prirodi IstoriyaTeoriya grup sformuvalasya v XIX stolitti Vona maye tri istorichni koreni teoriya algebrayichnih rivnyat teoriya chisel ta geometriya Osnovnoyu zadacheyu algebri do XIX stolittya bulo rozv yazannya algebrayichnih rivnyan V epohu Vidrodzhennya buli znajdeni formuli dlya rozv yazku rivnyan tretogo ta chetvertogo stepeniv Buli prikladeni znachni zusillya dlya poshuku formul dlya rivnyan p yatogo ta vishih stepeniv ale ponad dva stolittya poshukiv ne dali bazhanogo rezultatu U 1770 Zhozef Luyi Lagranzh ta Aleksandr Vandermond pomitili sho rozv yaznist rivnyannya zvoditsya do vivchennya perestanovok z jogo koreniv Z 1799 Paolo Ruffini v nizci robit prisvyachenih cij temi opisav grupu perestanovok z p yati elementiv U 1824 Nils Abel doviv teoremu sho dlya rivnyan p yatogo i vishih stepeniv ne isnuye zagalnoyi formuli sho virazhatime koreni cherez koeficiyenti v radikalah teorema Abelya Ruffini Zagalnij rozv yazok problemi rozv yaznosti algebrayichnih rivnyan otrimav Evarist Galua v 1830 Same Galua zaprovadiv u svoyih robotah termin grupa i pochav vikoristovuvati vlastivosti grup U geometriyi v XIX stolitti viklikali interes geometrichni peretvorennya Yih vivchav zokrema Avgust Mebius Detalnu klasifikaciyu geometrichnih peretvoren proviv u 1854 Artur Keli Vin koristuvavsya terminom grupa vikoristovuvav tablici mnozhennya tablici Keli i doviv sho skinchennu grupu mozhna predstaviti perestanovkami U erlangenskij programi Feliksa Klejna 1872 vivchennya geometriyi bulo pov yazano z vivchennyam vidpovidnih grup peretvoren Napriklad yaksho zadani figuri na ploshini to grupoyu ruhiv z yasovuyetsya yihnya rivnist Tretij istorichnij shlyah do teoriyi grup lezhav cherez teoriyu chisel Znachnij vnesok u stanovlennya grupovogo pidhodu do teoriyi chisel zrobili Leonard Ejler yakij vivchav ostachi vid dilennya stepeniv Gaus yakij cikavivsya poshukom koreniv rivnyannya hn 1 0 dlya pobudovi pravilnih mnogokutnikiv ta Leopold Kroneker yakij pracyuvav nad vivchennyam skinchennih abelevih grup zastosovuyuchi movu teoriyi chisel Na pochatku XX stolittya teoriyeyu grup zajmalis Sofus Li David Gilbert Emmi Neter Emil Artin Viznachennya grupiGrupoyu nazivayetsya mnozhina G na yakij viznachena binarna operaciya G G G displaystyle G times G to G sho zvichajno nazivayetsya mnozhennyam i poznachayetsya a b a b displaystyle a b to a cdot b abo a b ab displaystyle a b to ab i maye taki vlastivosti Asociativnist dlya dovilnih elementiv a b c grupi G vikonuyetsya a bc ab c displaystyle a bc ab c Isnuvannya nejtralnogo elementa isnuye element e takij sho dlya kozhnogo elementa a grupi G vikonuyetsya ea ae a displaystyle ea ae a Isnuvannya obernenogo elementa dlya kozhnogo elementa a grupi isnuye element a 1 displaystyle a 1 takij sho a 1a aa 1 e displaystyle a 1 a aa 1 e Yaksho operaciya maye vlastivist komutativnosti to vona nazivayetsya abelevoyu Ilyustraciya kompoziciyi Nehaj f displaystyle varphi ta ps displaystyle psi dvi operaciyi peretvorennya Yaksho vikonati poslidovno peretvorennya ps displaystyle psi a potim f displaystyle varphi v rezultati kozhnij element a displaystyle a mnozhini X displaystyle X spochatku perejde u element b ps a displaystyle b psi a a potim element b displaystyle b perejde u element c f b displaystyle c varphi b abo sho te same u element c f ps a displaystyle c varphi psi a V rezultati otrimane vidobrazhennya mnozhini X displaystyle X u sebe a f ps a displaystyle a to varphi psi a Oskilki f displaystyle varphi peretvorennya to u element c displaystyle c pri peretvorenni f displaystyle varphi mozhe perejti lishe odin element b displaystyle b a oskilki ps displaystyle psi takozh ye peretvorennyam u element b displaystyle b za peretvorennya ps displaystyle psi perehodit lishe element a displaystyle a Tomu vidobrazhennya a f ps a displaystyle a to varphi psi a ye peretvorennyam mnozhini X displaystyle X yake nazivayetsya kompoziciyeyu peretvoren f displaystyle varphi ta ps displaystyle psi j poznachayetsya f ps displaystyle varphi circ psi Takim chinom za peretvorennya f ps displaystyle varphi circ psi kozhnij element a displaystyle a perehodit u element f ps a displaystyle varphi psi a f ps a f ps a displaystyle varphi circ psi a varphi psi a Ce mozhna zobraziti nastupnim chinom a psb fc displaystyle a overset psi to b overset varphi to c Kompoziciya peretvoren nagaduye operaciyu dobutku chisel yak i dobutok chisel kompoziciya maye vlastivist asociativnosti Geometrichni peretvorennyaGeometrichne peretvorennya biyekciya f displaystyle f mnozhini P displaystyle Pi tochok ploshini na sebe rozglyadayut j geometrichne peretvorennya usogo prostoru Oskilki P displaystyle Pi mnozhina neskinchenna geometrichni peretvorennya ne mozhna zadavati tablicyami Chasto yih zadayut formulami yaki virazhayut koordinati x displaystyle x ta y displaystyle y tochki f M displaystyle f M cherez koordinati x displaystyle x ta y displaystyle y tochki M displaystyle M U zagalnomu vipadku ci formuli zapisuyut nastupnim chinom x f x y y ps x y displaystyle begin cases x varphi x y y psi x y end cases Napriklad shob znajti obraz tochki A 2 4 displaystyle A 2 4 za peretvorennya ploshini x x y 3 y 2x 3y 4 displaystyle begin cases x x y 3 y 2x 3y 4 end cases potribno zminiti u cih rivnyannyah x displaystyle x ta y displaystyle y chislami 2 displaystyle 2 ta 4 displaystyle 4 vidpovidno x 2 4 3 1 y 2 2 3 4 4 12 displaystyle begin matrix x 2 4 3 1 y 2 2 3 cdot 4 4 12 end matrix Takim chinom tochka A 2 4 displaystyle A 2 4 perehodit u tochku B 1 12 displaystyle B 1 12 Shob vidnajti zvorotne peretvorennya potribno virishiti sistemu vidnosno x displaystyle x ta y displaystyle y tobto x 3x y 13 y 2x y 10 x 3 5 4 13 6 y 2 5 4 10 4 displaystyle begin cases x 3x y 13 y 2x y 10 end cases quad Rightarrow quad begin cases x 3 5 4 13 6 y 2 5 4 10 4 end cases Takim chinom M 6 4 displaystyle M 6 4 perehodit u tochku N 5 4 displaystyle N 5 4 Funkciyi f displaystyle varphi ta ps displaystyle psi ne mozhna obirati dovilno voni povinni zadovolnyati umovi biyektivnosti vidobrazhennya x y f x y ps x y displaystyle x y to varphi x y psi x y Ce znachit sho voni povinni buti viznacheni dlya usih par x y displaystyle x y ta z inshogo boku dlya bud yakoyi pari chisel a b displaystyle a b povinna buti viznachena para chisel a b displaystyle a b taka sho f a b a ps a b b displaystyle varphi a b a quad quad psi a b b Napriklad funkciyi x x y y x y displaystyle begin cases x sqrt x y y sqrt x y end cases ne zadayut peretvorennya ploshini oskilki viznachenni za umov sho x y 0 displaystyle x y geq 0 ta x y 0 displaystyle x y geq 0 Za geometrichnogo peretvorennya f displaystyle varphi kozhna geometrichna figura F displaystyle Phi yaka nazivayetsya proobrazom perehodit u geometrichnu figuru F displaystyle Phi yaka nazivayetsya yiyi obrazom za peretvorennya f displaystyle varphi Mozhno podognat nachertatelnuyu geometriyu Geometrichne peretvorennya f displaystyle varphi nazivayetsya peremishennyam izometriyeyu ploshini yaksho vono ne zminyuye vidstanej mizh tochkami ploshini Inshimi slovami f displaystyle varphi ye peremishennyam ploshini yaksho dlya bud yakih dvoh tochok ploshini A displaystyle A ta B displaystyle B vikonuyetsya rivnist A B AB displaystyle A B AB de A displaystyle A obraz tochki A displaystyle A a B displaystyle B obraz tochki B displaystyle B za cogo peremishennya tobto A f A B f B displaystyle A varphi A B varphi B Nehaj f displaystyle varphi ta ps displaystyle psi dva peremishennya ploshini Oskilki voni ne zminyuyut vidstanej mizh tochkami ploshini to yihnya kompoziciya zalishaye ci vidstani nezminnimi Vidpovidno kompoziciya dvoh peremishen ye peremishennyam Yaksho peremishennya f displaystyle varphi ne zminyuye vidstanej mizh tochkami ploshini to j f 1 displaystyle varphi 1 takozh ye peremishennyam Takim chinom peremishennya ploshini utvoryuyut grupu Figura F displaystyle Phi nazivayetsya kongruentnoyu ploskij figuri F displaystyle Phi yaksho isnuye peremishennya f displaystyle varphi yake vidobrazhaye F displaystyle Phi na F displaystyle Phi tobto take sho f F F displaystyle varphi Phi Phi Vidnoshennya kongruentnosti refleksivne simetrichne j tranzitivne a vidtak vono ye vidnoshennyam ekvivalentnosti yake rozsharovuye sukupnist usih geometrichnih figur na klasi ekvivalentnosti Osova simetriya ye prikladom peremishennya ploshini Kompoziciya dvoh osovih simetrij vidnosno pryamih l displaystyle l ta m displaystyle m sho peretinayutsya ye povorotom ploshini Yaksho zaminiti pryami l displaystyle l ta m displaystyle m inshimi pryamimi p displaystyle p ta q displaystyle q yaki peretinayutsya u tij samij tochci O displaystyle O j utvoryuyut toj samij kut a displaystyle alpha vidlichuvanij vid p displaystyle p do q displaystyle q to otrimayetsya povorot navkolo tiyeyi samoyi tochki na toj samij kut tobto SmSl SqSp displaystyle S m S l S q S p de S displaystyle S geometrichne peretvorennya vidnosno osej vkazanih indeksom Bud yakij povorot navkolo tochki O displaystyle O mozhna predstaviti u viglyadi kompoziciyi dvoh osovih simetrij Dlya cogo dostatno provesti cherez cyu tochku pryami l displaystyle l ta m displaystyle m iz kutom mizh nimi a 2 displaystyle alpha 2 de a displaystyle alpha kut povorotu i zrobiti simetriyi Sl displaystyle S l ta Sm displaystyle S m Kompoziciya osovoyi simetriyi Sl displaystyle S l j paralelnogo perenesennya a 0 displaystyle vec a neq vec 0 u napryamku pralelnomu osi l displaystyle l nazivayetsya perenosnoyu simetriyeyu Takim chinom bud yake peremishennya ploshini ye abo paralelnim perenesennyam abo povorotom abo osovoyu simetriyeyu abo perenosnoyu simetriyeyu Totozhne peretvorennya ploshini perevodit kozhnu figuru u sebe Dlya dekotrih figur isnuyut j inshi peremishennya yaki sumishayut figuru iz soboyu Napriklad trapeciya iz rivnimi storonami sumishayetsya iz soboyu za osovoyi simetriyi vidnosno pryamoyi yaka spoluchaye seredini yiyi osnov a paralelogram za centralnoyi simetriyi vidnosno jogo centru Dlya pryamokutnika ye chotiri takih peremishennya totozhne peretvorennya dvi osovi simetriyi j centralna simetriya Tak samo chotiri peremishennya sumishayut iz soboyu romb Tilki dlya pryamokutnika osyami simetriyi ye pryami yaki spoluchayut seredini protilezhnih storin a dlya rombu jogo diagonali Kvadrat kombinuye u sobi simetriyi romba j pryamokutnika sukupnist jogo samosumishen skladayetsya iz vosmi elementiv povoroti centru na kuti 0 90 180 j 270 gradusiv j simetriyi vidnosno chotiroh osej U okruzhnosti nezlichenna kilkist samosumishen vona perehodit u sebe za bud yakogo povorotu navkolo centru j za bud yakoyi osovoyi simetriyi vidnosno pryamoyi yaka prohodit cherez yiyi centr Dlya bud yakoyi figuri sukupnist yiyi samosumishen utvoryuye grupu peretvoren yaka nazivayetsya Ce sliduye z togo sho yaksho peretvorennya f displaystyle varphi ta ps displaystyle psi perevodyat figuru F displaystyle Phi u sebe to yih kompoziciya f ps displaystyle varphi circ psi perevodit F displaystyle Phi u F displaystyle Phi Tochno tak samo yaksho f displaystyle varphi perevodit F displaystyle Phi u sebe to tiyeyu zh vlastivistyu nadilene j zvorotne peretvorennya f 1 displaystyle varphi 1 Grupi samosumishen skinchennih figur skladayutsya lishe z obertan ta osovih simetrij Figuri yaki mayut povorotni simetriyi mozhna otrimati zginayuchi list paperu j prorizayuchi jogo nozhicyami Napriklad yaksho uzyati kvadratnij list paperu sklasti jogo po diagonali potim sklasti otrimanij rivnobedrenij trikutnik po visoti a novij trikutnik she raz sklasti navpil ta zrobiti rozriz yakij prorizaye usi shari paperu to otrimayetsya vitinanka u formi yakij maye nazvu rozetka U kristalografiyi vazhlivu rol vidigraye vivchennya grup samosumishen kristalichnih gratok Yih perelichiv Yevgraf Fedorov i tomu yih nazivayut fedorivskimi grupami Pov yazani viznachennyaKoli elementi grupi neperervno zalezhat vid yakihos parametriv to grupa nazivayetsya neperervnoyu abo grupoyu Li Takozh kazhut sho grupa Li ce grupa mnozhina elementiv yakoyi utvoryuye gladkij mnogovid Mnozhina G displaystyle G gladkih peretvoren mnogovidu M displaystyle M u sebe nazivayetsya grupoyu yaksho razom iz bud yakimi dvoma peretvorennyami g h G displaystyle g h in G kompoziciya g h displaystyle g circ h nalezhit G displaystyle G zapis g h displaystyle g circ h oznachaye sho spochatku zastosovuyetsya h displaystyle h a potim g displaystyle g razom iz bud yakim g G displaystyle g in G zvorotne peretvorennya g 1 displaystyle g 1 takozh nalezhit G displaystyle G Z cih umov sliduye sho kozhna grupa mistit totozhne peretvorennya idempotent e displaystyle e Napriklad obertannya tverdogo tila navkolo pochatku koordinat utvoryuyut kompatnu grupu Li SO 3 displaystyle SO 3 iz dvustoronnoyu invariantnoyu metrikoyu Difeomorfi zm vzayemno odnoznachne i neperervno diferencijovne vidobrazhennya gladkogo mnogovidu v gladkij mnogovid obernene do yakogo tezh ye neperervno diferencijovnim Difeomorfizmi dekotroyi oblasti M displaystyle M yaki zberigayut element ob yemu utvoryuyut grupu Li div Gidrodinamika Za dopomogoyu grup Li yak grup simetriyi znahodyatsya diferencialnih rivnyan ZastosuvannyaTeoriya grup maye shiroku oblast zastosuvannya v matematici fizici himiyi ta v prikladnih galuzyah napriklad v komp yuternij grafici kriptografiyi tosho Sered rozdiliv matematiki v yakih zastosovuyetsya teoriya grup geometriya i topologiya teoriya chisel teoriya diferencialnih rivnyan ta inshi U fizici vazhlivu rol vidigraye ponyattya simetriyi Sukupnist operacij simetriyi skladaye grupu Na osnovi vivchennya ciyeyi grupi mozhna robiti vazhlivi visnovki pro vlastivosti fizichnih ob yektiv Napriklad teorema Neter vstanovlyuye toj fakt sho kozhnij simetriyi vidpovidaye pevnij zakon zberezhennya Tak zakon zberezhennya energiyi ye rezultatom odnoridnosti chasu zakon zberezhennya impulsu viplivaye iz odnoridnosti prostoru a zakon zberezhennya momentu impulsu iz izotropnosti prostoru Inshi fizichni simetriyi ne nastilki ochevidni U kvantovij teoriyi polya isnuye ponyattya kalibruvalnih peretvoren yaki vidpovidayut fundamentalnim simetriyam svitu elementarnih chastinok Sukupnist fundamentalnih chastinok za suchasnimi uyavlennyami gomomorfna grupam matric iz rodini SU n V kristalografiyi ta himiyi vazhlive znachennya mayut operaciyi simetriyi yaki opisuyutsya tochkovimi j Vivchennya cih grup vazhlive dlya klasifikaciyi ta viznachennya vlastivostej mineraliv ta molekul Grupi simetriyi viznachayut napriklad strukturu optichnih spektriv spektriv ramanivskogo rozsiyannya tosho Div takozhPortal Matematika Grupa matematika Grupa perestanovok Teorema Keli teoriya grup Teorema Lagranzha teoriya grup Predstavlennya grupi Teoriya predstavlen Geometrichna teoriya grupNavchalni materiali ukr Vstup do teoryi grup na YouTube Sergij Maksimenko Institut matematiki NAN Ukrayini LiteraturaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s ukr Golod P I Simetriya ta metodi teoriyi grup u fizici diskretni simetriyi K Kiyevo Mogilyanska akademiya 2005 215 s ukr Golod P I Klimik A U Matematichni osnovi teoriyi simetriyi K Naukova dumka 1992 368 s ukr Inshimi movami angl John F Humphreys A Course in Group Theory Oxford Science Publications 1996 296 s ISBN 978 0198534532 angl en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl ros Vigner E Teoriya grupp i ee prilozheniya k kvantovomehanicheskoj teorii atomnyh spektrov M IL 1961 444 s ros Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros ros Hamermesh M Teoriya grupp i ee primenenie k fizicheskim problemam M Mir 1966 588 s ros Hejne V Teoriya grupp v kvantovoj mehanike M IL 1963 522 s ros Holl M Teoriya grupp M IL 1962 468 s Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi