Група симетрії також група симетрій деякого об єкта багатогранника або множини точок метричного простору група всіх рухі

Група симетрії (також група симетрій) деякого об'єкта (багатогранника або множини точок метричного простору) ― група всіх рухів, для яких даний об'єкт є інваріантом, з композицією в якості групової операції. Як правило, розглядаються множини точок n-вимірного евклідового простору і рухи цього простору, але поняття групи симетрії зберігає свій сенс і в більш загальних випадках.

Приклади

Група симетрії відрізка в одновимірному просторі містить два елементи: тотожне перетворення і відбиття відносно середини відрізка. Але в двовимірному евклідовому просторі існує вже 4 рухи, що переводять заданий відрізок у себе. У тривимірному просторі відрізок володіє нескінченною множиною симетрій (елементами групи симетрії будуть, зокрема, повороти на довільний кут навколо прямої, що містить цей відрізок).
Група симетрії рівностороннього трикутника на площині складається з тотожного перетворення, поворотів на кути 120° і 240° навколо центру трикутника і відбиттів щодо його висот. В цьому випадку група симетрії складається з 6 перетворень, які здійснюють всі можливі перестановки вершин трикутника. Отже, ця група ізоморфна симетричній групі S₃. Однак група симетрії квадрата має порядок 8, а симетрична група S₄ ізоморфна групі симетрії правильного тетраедра.
Група симетрії різнобічного трикутника тривіальна, тобто складається з одного елемента ― тотожного перетворення.
Якщо вважати, що людське тіло дзеркально симетричне, то його група симетрії складається з двох елементів: тотожного перетворення і відбиття відносно площини, яка поділяє тіло на симетричні одна одній праву і ліву частини.
Довільне періодичне замощення площини (або орнамент) має групу симетрії, елементи якої усіма можливими способами суміщують певний фіксований елемент замощення з кожним конгруентним йому елементом. Це частковий (двовимірний) випадок кристалографічних груп, про які сказано далі.
Групи симетрії решіток. В різних галузях математики використовуються різні поняття решітки. Зокрема:
- У фізиці твердого тіла і теорії кристалографічних груп кристалічна решітка — це множина точок афінного простору, що має трансляційну симетрію. Симетрії цієї множини повинні зберігати відстань між точками, тобто бути рухами. Група цих рухів — це кристалографічна група (або сюр'єктивно гомоморфно відображається в кристалографічну групу).
- В теорії груп ґратка — це група, ізоморфная $\mathbb {Z} ^{n}$ з білінійною формою на ній (у тривимірному евклідовому просторі відповідає Ґратці Браве з теорії кристалографічних груп з виділеним початком координат). Симетрії такої ґратки повинні бути (автоморфізмами групи). Група таких автоморфізмів, на відміну від кристалографічної групи, скінченна, якщо білінійна форма ґратки відповідає евклідовому простору.

Класифікація

Ниже вважається, що для кожної точки $x\in \mathbb {E} ^{n}$ множина образів $\{g(x)|g\in G\}$ , де $G$ — група симетрії, топологічно замкнута.

Одновимірний простір

Кожен рух одновимірного простору є або перенесенням всіх точок прямої на деяку фіксовану відстань, або відбиттям відносно деякої точки. Множина точок одновимірного простору має одну з таких груп симетрії:

тривіальна група; C₁;
група, що складається з тотожного перетворення і відбиття відносно точки (ізоморфна циклічній групі C₂);
нескінченні групи, що складаються із степенів деякого перенесення (ізоморфна нескінченній циклічній групі);
нескінченні групи, для яких твірними є деяке перенесення і відбиття відносно деякої точки;
група всіх перенесень (ізоморфна адитивній групі дійсних чисел);
група всіх перенесень і відбиттів відносно кожної точки прямої.

Двовимірний простір

У двовимірному випадку групи симетрії поділяються на такі класи:

циклічні групи C₁, C₂, C₃, …, що складаються з поворотів навколо нерухомої точки на кути, кратні 360°/n;
діедральні групи D₁, D₂, D₃, …;
спеціальна ортогональна група SO(2);
ортогональна група O(2);
7 груп бордюру;
17 груп орнаменту (або плоских кристалографічних груп);
нескінченні групи, які виходять з одновимірних груп симетрії додаванням перенесень вздовж напрямку, перпендикулярного до початкової прямої;
попередній пункт, до якого додається симетрія відносно початкової прямої.

Тривимірний простір

Перелік скінченних груп симетрії складається з 7 нескінченних серій і 7 випадків, що розглядаються окремо. У цей перелік входять 32 точкові кристалографічні групи і групи симетрії правильних багатогранників.

Неперервні групи симетрії включають:

групу симетрії прямого кругового конуса
групу симетрії кругового циліндра
групу симетрії сфери

Див. також

Примітки

У математиці замощення простору називається мозаїкою або паркетом
Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — .
J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — .

Література

Українською

(укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

Г. Вейль. Симметрия. — М. : Наука, 1968.
Miller, Willard Jr. . — New York: Academic Press, 1972.

[1] У математиці замощення простору називається мозаїкою або паркетом

[2] Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — .

[3] J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — .