Теорема Ейлера (Ойлера) — одне з основних тверджень елементарної теорії чисел стверджує, що
якщо і взаємно_прості, то ,
де — функція Ейлера.
Частковим випадком теореми Ейлера при простому є мала теорема Ферма.
В свою чергу теорема Ейлера є частковим випадком теореми Лагранжа.
Доведення
Нехай — всі натуральні числа, менші і взаємно прості з ним.
Розглянем всеможливі добутки для всіх від до .
Оскільки взаємно просте з і взаємно прості з , то і також взаємно прості з , тобто для деякого .
Далі маємо, що всі остачі від ділення на відмінні. Справді, нехай це не так, тобто існують такі , що
- .
Тоді .
Оскільки взаємно просте з , то остання рівність рівносильна тому, що
- або .
Це неможливо, оскільки числа попарно відмінні по модулю .
Перемножимо всі рівності . Одержуємо:
або
- .
Так як число взаємно просте з , то остання рівність рівносильна тому, що
- або .
Застосування
За допомогою даної теореми можна легко обчислювати модуль великих степенів. Наприклад, ми хочемо обчислити 7222 (mod 10). Маємо, що 7 і 10 є взаємно простими і φ(10) = 4. Отже, згідно з теоремою Ейлера 74 ≡ 1 (mod 10) і як наслідок 7222 ≡ 74x55 + 2 ≡ (74)55x72 ≡ 155x72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).
Теорема Ейлера є також теоретичною основою криптографічної системи RSA.
Література
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
- Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
- Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Ejlera Ojlera odne z osnovnih tverdzhen elementarnoyi teoriyi chisel stverdzhuye sho yaksho a displaystyle a i m displaystyle m vzayemno prosti to a f m 1 mod m displaystyle a varphi m equiv 1 pmod m de f m displaystyle varphi m funkciya Ejlera Chastkovim vipadkom teoremi Ejlera pri prostomu m displaystyle m ye mala teorema Ferma V svoyu chergu teorema Ejlera ye chastkovim vipadkom teoremi Lagranzha DovedennyaNehaj x 1 x f m displaystyle x 1 x varphi m vsi naturalni chisla menshi m displaystyle m i vzayemno prosti z nim Rozglyanem vsemozhlivi dobutki a x i displaystyle ax i dlya vsih i displaystyle i vid 1 displaystyle 1 do f m displaystyle varphi m Oskilki a displaystyle a vzayemno proste z m displaystyle m i x i displaystyle x i vzayemno prosti z m displaystyle m to i a x i displaystyle ax i takozh vzayemno prosti z m displaystyle m tobto a x i x j mod m displaystyle ax i equiv x j pmod m dlya deyakogo j displaystyle j Dali mayemo sho vsi ostachi vid dilennya a x i displaystyle ax i na m displaystyle m vidminni Spravdi nehaj ce ne tak tobto isnuyut taki i 1 i 2 displaystyle i 1 neq i 2 sho a x i 1 a x i 2 mod m displaystyle ax i 1 equiv ax i 2 pmod m Todi a x i 1 x i 2 0 mod m displaystyle a x i 1 x i 2 equiv 0 pmod m Oskilki a displaystyle a vzayemno proste z m displaystyle m to ostannya rivnist rivnosilna tomu sho x i 1 x i 2 0 mod m displaystyle x i 1 x i 2 equiv 0 pmod m abo x i 1 x i 2 mod m displaystyle x i 1 equiv x i 2 pmod m Ce nemozhlivo oskilki chisla x 1 x f m displaystyle x 1 x varphi m poparno vidminni po modulyu m displaystyle m Peremnozhimo vsi rivnosti a x i x j mod m displaystyle ax i equiv x j pmod m Oderzhuyemo x 1 x f m a f m x 1 x f m mod m displaystyle x 1 x varphi m a varphi m x 1 x varphi m pmod m abo x 1 x f m a f m 1 0 mod m displaystyle x 1 x varphi m a varphi m 1 0 pmod m Tak yak chislo x 1 x f m mod m displaystyle x 1 x varphi m pmod m vzayemno proste z m displaystyle m to ostannya rivnist rivnosilna tomu sho a f m 1 0 mod m displaystyle a varphi m 1 0 pmod m abo a f m 1 mod m displaystyle a varphi m equiv 1 pmod m ZastosuvannyaZa dopomogoyu danoyi teoremi mozhna legko obchislyuvati modul velikih stepeniv Napriklad mi hochemo obchisliti 7222 mod 10 Mayemo sho 7 i 10 ye vzayemno prostimi i f 10 4 Otzhe zgidno z teoremoyu Ejlera 74 1 mod 10 i yak naslidok 7222 74x55 2 74 55x72 155x72 49 9 mod 10 Teorema Ejlera ye takozh teoretichnoyu osnovoyu kriptografichnoyi sistemi RSA LiteraturaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Chandrasekharan K Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel Moskva Mir 1974 187 s ros Buhshtab A A Teoriya chisel 2 e izdanie M 1966 Trost E Prostye chisla per s nem M 1959