Теорема Келі (теорія груп)

Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група ${\displaystyle (G,\cdot )}$ є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів ${\displaystyle G}$. Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теореми

Нехай ${\displaystyle (G,\cdot )}$  — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо ${\displaystyle Sym(G)}$ її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

${\displaystyle \exists _{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H}$. Де позначення ${\displaystyle G\approx H}$ означає ізоморфність групG і H.

Доведення

Визначимо функцію ${\displaystyle \varphi _{g}}$ так: ${\displaystyle \forall _{g\in G}:\varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto gx.}$ Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є ${\displaystyle \varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto g^{-1}x.}$) тож ${\displaystyle H=\left\{\varphi _{g}|g\in G\right\}\subset Sym(G)}$.

Визначимо тепер відображення:${\displaystyle T:G\rightarrow H:g\mapsto \varphi _{g}}$. Зважаючи, що різним ${\displaystyle g\in G}$ відповідають різні функції ${\displaystyle \varphi _{g}}$ маємо ${\displaystyle |H|=|G|}$ і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:

${\displaystyle \forall _{x\in G}\forall _{g,g'\in G}:T(gg')(x)=\varphi _{gg'}(x)=x\mapsto gg'x=(x\mapsto gx)\circ (x\mapsto g'x)}$${\displaystyle =\,\varphi _{g}\circ \varphi _{g'}(x)=\left(T(g)\circ T(g')\right)(x)}$

Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо ${\displaystyle G\approx H}$

Джерела

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)