Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів . Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.
Твердження теореми
Нехай — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді
- . Де позначення означає ізоморфність групG і H.
Доведення
Визначимо функцію так: Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є ) тож .
Визначимо тепер відображення:. Зважаючи, що різним відповідають різні функції маємо і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:
Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Keli rezultat teoriyi grup sho stverdzhuye sho bud yaka grupa G displaystyle G cdot ye izomorfna deyakij pidgrupi grupi perestanovok elementiv G displaystyle G Teorema nazvana na chest anglijskogo matematika Artura Keli Tverdzhennya teoremiNehaj G displaystyle G cdot deyaka grupa skinchenna chi neskinchenna i poznachimo S y m G displaystyle Sym G yiyi grupu perestanovok Todi tverdzhennya teoremi mozhna zapisati u viglyadi H S y m G G H displaystyle exists H subseteq Sym G G approx H De poznachennya G H displaystyle G approx H oznachaye izomorfnist grupG i H DovedennyaViznachimo funkciyu f g displaystyle varphi g tak g G f g G G x g x displaystyle forall g in G varphi g G rightarrow G x mapsto gx Ochevidno sho dane vidobrazhennya ye perestanovkoyu obernenim vidobrazhennyam ye f g G G x g 1 x displaystyle varphi g G rightarrow G x mapsto g 1 x tozh H f g g G S y m G displaystyle H left varphi g g in G right subset Sym G Viznachimo teper vidobrazhennya T G H g f g displaystyle T G rightarrow H g mapsto varphi g Zvazhayuchi sho riznim g G displaystyle g in G vidpovidayut rizni funkciyi f g displaystyle varphi g mayemo H G displaystyle H G i vidobrazhennya T ye biyektivnim Zalishayetsya lish dovesti sho T ye gomomorfizmom Ce viplivaye z nastupnih rivnostej x G g g G T g g x f g g x x g g x x g x x g x displaystyle forall x in G forall g g in G T gg x varphi gg x x mapsto gg x x mapsto gx circ x mapsto g x f g f g x T g T g x displaystyle varphi g circ varphi g x left T g circ T g right x Ostatochno z togo sho T ye biyektivnim vidobrazhennyam i gomomorfizmom oderzhuyemo G H displaystyle G approx H DzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl