Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Таблиця Келі — таблиця, яка описує структуру скінченних алгебраїчних систем шляхом розміщення результатів операції в таблиці, яка нагадує таблицю множення. Названа в честь англійського математика Артура Келі. Таблиця має важливе значення в дискретній математиці, зокрема, в теорії груп. Таблиця дозволяє визначити деякі властивості групи, наприклад, чи є група абелевою, знайти центр групи і обернені (симетричні) елементи для елементів групи.
В вищій алгебрі таблиці Келі можуть також використовуватися для визначення бінарних операцій в полях, кільцях і інших алгебраїчних структурах.
Простий приклад таблиці Келі для групи {1, −1} з звичайним множенням:
| × | 1 | −1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |
Історія
Таблиці Келі вперше з'явилися в статті Келі "On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1" в 1854 році. В цій статті це були просто таблиці, які використовувалися з ілюстративною метою. Називати таблицями Келі їх почали пізніше, в честь їх творця.
Структура
Оскільки чимало таблиць Келі описують групи, які не є абелевими, добуток ab не обов'язково рівний добутку ba для всіх a і b в групі. Щоб уникнути плутанини, приймається, що множник, який відповідає рядкам, йде першим, а множник, який відповідає стовпцям — другим. Наприклад, перетин рядка a і стовпця b — це ab, а не ba, що показано в наступному прикладі:
| * | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | a2 | ab | ac |
| b | ba | b2 | bc |
| c | ca | cb | c2 |
Келі в своїй роботі в першому рядку і першому стовпці розміщував нейтральний елемент, що дозволяло йому не виділяти окремого рядка і стовпця з переліком елементів, як це видно в прикладі вище. Наприклад, ця ж таблиця виглядала так:
| a | b | c |
| b | c | a |
| c | a | b |
В цьому прикладі циклічної групи Z3 елемент a є нейтральним елементом, тому він знаходиться в верхньому лівому куті таблиці. Легко побачити, наприклад, що b2 = c і що cb = a. Незважаючи на це, більшість сучасних текстів, включаючи і цю статтю, включає заголовний рядок і стовпець для більшої зрозумілості.
Властивості і використання
Комутативність
Таблиця Келі показує нам, чи є група абелевою. Оскільки групова операція в абелевій групі комутативна, група є абелевою в тому і тільки в тому випадку, коли її таблиця Келі є симетричною (відносно діагоналі). Циклічна група порядку 3 і вище, а також {1, −1} по звичайному множенню, обидві є прикладами абелевих груп, і симетрія їх таблиць Келі це доводить. А ось найменша неабелева [en] не має симетрії в таблиці Келі.
Асоціативність
Оскільки асоціативність в групах наявна за визначенням, часто на неї розраховують і в таблицях Келі. Однак таблиці Келі можна використовувати для опису операцій в квазігрупах, в яких асоціативність не потрібна (більш того, таблиці Келі можна використовувати для опису операції в будь-якій скінченній магмі). На жаль, в загальному випадку неможливо простим оглядом таблиці визначити, асоціативна операція чи ні, на відміну від комутативності. Це обумовлено тим, що асоціативність залежить від трьох елементів в рівності, 
, а таблиця Келі показує добуток двох елементів. Тим не менш, тест асоціативності Лайта може дослідити асоціативність з меншими зусиллями, ніж повний перебір.
Перестановки
Оскільки скорочення для груп виконується (більш того, виконується навіть для квазігруп), ніякий рядок або стовпець таблиці Келі не може містити один елемент двічі. Таким чином, кожний рядок і стовпець таблиці є перестановкою елементів групи.
Щоб побачити, чому рядки і стовпці не можуть містити однакових елементів, припустимо, що a, x та y — елементи групи, причому x та y відрізняються. Тепер в рядку, який відповідає елементу a, і стовпці, який відповідає елементу x, буде знаходитися добуток ax. Аналогічно в стовпці, який відповідає y, буде знаходитись ay. Нехай два добутки рівні, тобто є рядок a, який містить два однакові елементи. За правилом скорочення ми з ax = ay можемо зробити висновок, що x = y, що суперечить вибору x і y. Для стовпців ці міркуванням також істинні. Оскільки група скінченна, за принципом Діріхле кожен елемент групи міститиметься в кожному рядку і в кожному стовпці тільки по одному разу.
Тобто таблиця Келі для групи є прикладом латинського квадрату.
Побудова таблиць Келі
Використовуючи структуру груп, часто можна "заповнити" таблиці Келі, які мають незаповнені поля, навіть не знаючи нічого про операції групи. Наприклад, оскільки кожен рядок і кожен стовпець повинен вміщати всі елементи групи, один відсутній елемент в рядку (або стовпці) можна заповнити, не знаючи абсолютно нічого про групу. Це показує, що ця властивість і деякі інші властивості груп дозволяють побудувати таблицю Келі, навіть якщо ми мало що знаємо про групу.
"Скелет нейтральних елементів" кінцевої групи
Оскільки в будь-якій групі, навіть в неабелевій, будь-який елемент взаємозамінний з оберненим до нього, розміщення нейтральних елементів в таблиці Келі є симетричним відносно діагоналі. Ті, що лежать на діагоналі, збігаються з оберненими до них.
Оскільки порядок рядків і стовпців в таблиці Келі довільні, зручно розміщувати їх наступним чином: починаємо з нейтрального елемента групи, який завжди збігається з оберненим до нього, потім перераховуємо всі елементи, які збігаються з оберненими до них, а потім виписуємо пари елементів (елемент і обернений до нього).
Тепер для кінцевої групи деякого порядку нескладно визначити "скелет нейтральних елементів", названий так у зв'язку з тим, що нейтральні елементи або лежать на головній діагоналі, або поблизу неї.
Відносно легко довести, що групи з різними скелетами не можуть бути ізоморфними, однак протилежне твердження - хибне (наприклад, циклічна група C8 і група кватерніонів Q не ізоморфні, хоча й мають однакові скелети).
Нехай ми маємо шість елементів групи e, a, b, c, d і f. Нехай e — нейтральний елемент. Оскільки нейтральний елемент збігається з оберненим до нього, а обернений елемент є унікальним, то повинен бути принаймні ще один елемент, який збігається з оберненим до нього. Таким чином, отримуємо наступні можливі скелети:
- все елементи збігаються з оберненими до них,
- все елементи, за винятком d і f, збігаються з оберненими до них, а ці два обернені один одному,
- a збігається з оберненим до нього, b і c обернені, d і f обернені.
В нашому випадку не існує групи першого типу порядку 6. Більш того, те, що скелет можливий, зовсім не означає, що існує група, у якої скелет збігається з ним.
Заслуговує уваги той факт (і його легко довести), що будь-яка група, в якій будь-який елемент збігається з оберненим до нього - абелева.
Заповнення таблиці за скелетом нейтральних елементів
Якщо заданий скелет нейтральних елементів, можна приступити до заповнення таблиці Келі. Наприклад, виберемо другий скелет групи порядку 6 із описаних вище:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | |||||
| a | e | |||||
| b | e | |||||
| c | e | |||||
| d | e | |||||
| f | e |
Очевидно, що рядок e і стовпець e можуть бути заповнені одразу. Як тільки це зроблено, може виявитися необхідним (і це необхідно в нашому випадку) зробити припущення, яке може привести до суперечності, а це означатиме, що припущення є помилковим. Ми припустимо, що ab = c. Тоді:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | |||
| b | b | e | ||||
| c | c | e | ||||
| d | d | e | ||||
| f | f | e |
Множачи ab = c зліва на a, отримаємо b = ac. Множення справа на c дає bc = a. Множення ab = c справа на b дає a = cb. Множення bc = a зліва на b дає c = ba, а множення справа на a дає ca = b. Після заповнення цих добутків в таблиці ми побачимо, що ad і af залишаються незаповненими в рядку a. Оскільки кожний елемент повинен з'являтися в рядку не більше одного разу, отримаємо, що ad повинен бути або d, або f. Однак цей елемент не може дорівнювати d, оскільки в протилежному випадку a був би рівним e, а нам відомо, що ці два елементи різняться. Таким чином, ad = f і af = d.
Тепер, оскільки елемент обернений до d - f, множення ad = f справа на f дає a = f2. Множення зліва на d дає da = f. Помноживши справа на a, ми отримаємо d = fa.
Після внесення всіх цих добутків таблиця Келі виглядатиме так:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | b | f | d |
| b | b | c | e | a | ||
| c | c | b | a | e | ||
| d | d | f | e | |||
| f | f | d | e | a |
Оскільки кожний елемент групи повинен з'являтися в кожному рядку тільки один раз, легко помітити, що дві порожні комірки таблиці в рядку b повинні бути зайняті або d, або f. Однак в відповідних стовпцях вже присутні d і f . Таким чином, що би ми не поставили в ці поля, отримаємо повторення в стовпцях, що показує, що наше початкове припущення ab = c було хибним. Однак ми тепер знаємо, що ab ≠ c.
Залишилось два варіанти — або ab = d, або ab = f. Оскільки d і f обернені один одному і вибір букв довільний, варто очікувати, що результат буде однаковим з точністю до ізоморфізму. Без втрати загальності можна вважати, що ab = d. Якщо ми тепер отримаємо суперечність, нам прийдеться визнати, що для цього скелету немає відповідної групи.
Отримуємо нову таблицю Келі:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | |||
| b | b | e | ||||
| c | c | e | ||||
| d | d | e | ||||
| f | f | e |
Перемножуючи ab = d зліва на a, ми отримуємо b = ad. Множення справа на f дає bf = a, а множення зліва на b дає f = ba. Після множення справа на a, ми отримаємо fa = b, а помноживши зліва на d, отримаємо a = db. Після внесення результатів в таблицю Келі, отримаємо (нові елементи виділено червоним):
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | b | ||
| b | b | f | e | a | ||
| c | c | e | ||||
| d | d | a | e | |||
| f | f | b | e |
В рядку a відсутні c і f, але оскільки af не може дорівнювати f (тоді a буде дорівнювати e), ми можемо зробити висновок, що af = c. Множення зліва на a дає f = ac, і це ми можемо помножити справа на c, що дає fc = a. Множення останнього на d зліва дає c = da, що ми можемо помножити справа на a і отримати ca = d. Аналогічно, після множення af = c справа на d, отримаємо a = cd. Оновимо таблицю (останні зміни виділено синім):
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | a | ||
| c | c | d | e | a | ||
| d | d | c | a | e | ||
| f | f | b | a | e |
Оскільки в рядку b відсутні c і d, а bc не може дорівнювати c, ми вираховуємо, що bc = d, внаслідок цього добуток bd повинен дорівнювати c. Множення справа на f дає нам b = cf, що можна перетворити в cb = f множенням на c зліва. Аналогічно, можна вирахувати, що c = fb і dc = b. Вносимо зміни до таблиці (внесені елементи виділено зеленим кольором):
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b | e | |
| f | f | b | c | a | e |
В рядку d відсутній тільки f, тому d2 = f. Аналогічно отримуємо, що f2 = d. Ми заповнили всю таблицю і не отримали суперечності. Таким чином, ми знайшли групу порядку 6, відповідну скелету. перегляд таблиці показує, що вона не абелева. Фактично це найменша неабелева група, діедральна група D3:
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b | f | e |
| f | f | b | c | a | e | d |
Генерація матриці перестановок
В стандартній формі таблиці Келі порядок рядків і стовпців збігаються. Іншим методом впорядкування є розміщення стовпців таким чином, щоб n-ий стовпець відповідав оберненим елементам n-ого рядка. В нашому прикладі для D3 нам необхідно тільки переставити два останніх стовпця, оскільки тільки f і d не є оберненими до себе, зате є оберненими один до одного.
| e | a | b | c | f=d−1 | d=f−1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | f | d |
| a | a | e | d | f | c | b |
| b | b | f | e | d | a | c |
| c | c | d | f | e | b | a |
| d | d | c | a | b | e | f |
| f | f | b | c | a | d | e |
В нашому прикладі можна створити шість матриць перестановки (всі елементи дорівнюють 1 або 0, по одній одиниці в кожному рядку і кожному стовпці). 6x6 матриця містить одиницю, якщо мітка стовпця збігається з міткою рядка, і нулі в усіх інших полях, символ Кронекера для мітки. (Зауважимо, що для рядка e отримаємо одиничну матрицю.) Наприклад, для a отримаємо таку матрицю перестановок:
| e | a | b | c | f | d | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| d | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| f | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Це демонструє, що будь-яка група порядку n є підгрупою групи перестановок Sn порядку n!.
Узагальнення
Описані вище властивості залежать від деяких аксіом для груп. Таблиці Келі можна використовувати і для деяких інших алгебраїчних структур, таких як напівгрупи, квазігрупи і магми, але для них деякі вище вказані властивості не виконуватимуться.
Дивись також
Посилання
- Cayley, Arthur. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1", Philosophical Magazine, Vol. 7 (1854), pp. 40–47. Available on-line at Google Books as part of his collected works.
- Cayley, Arthur. "On the Theory of Groups", American Journal of Mathematics, Vol. 11, No. 2 (Jan 1889), pp. 139–157. Available at JSTOR.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tablicya Keli tablicya yaka opisuye strukturu skinchennih algebrayichnih sistem shlyahom rozmishennya rezultativ operaciyi v tablici yaka nagaduye tablicyu mnozhennya Nazvana v chest anglijskogo matematika Artura Keli Tablicya maye vazhlive znachennya v diskretnij matematici zokrema v teoriyi grup Tablicya dozvolyaye viznachiti deyaki vlastivosti grupi napriklad chi ye grupa abelevoyu znajti centr grupi i oberneni simetrichni elementi dlya elementiv grupi V vishij algebri tablici Keli mozhut takozh vikoristovuvatisya dlya viznachennya binarnih operacij v polyah kilcyah i inshih algebrayichnih strukturah Prostij priklad tablici Keli dlya grupi 1 1 z zvichajnim mnozhennyam 1 11 1 1 1 1 1IstoriyaTablici Keli vpershe z yavilisya v statti Keli On The Theory of Groups as depending on the symbolic equation 8 n 1 v 1854 roci V cij statti ce buli prosto tablici yaki vikoristovuvalisya z ilyustrativnoyu metoyu Nazivati tablicyami Keli yih pochali piznishe v chest yih tvorcya StrukturaOskilki chimalo tablic Keli opisuyut grupi yaki ne ye abelevimi dobutok ab ne obov yazkovo rivnij dobutku ba dlya vsih a i b v grupi Shob uniknuti plutanini prijmayetsya sho mnozhnik yakij vidpovidaye ryadkam jde pershim a mnozhnik yakij vidpovidaye stovpcyam drugim Napriklad peretin ryadka a i stovpcya b ce ab a ne ba sho pokazano v nastupnomu prikladi a b ca a2 ab acb ba b2 bcc ca cb c2 Keli v svoyij roboti v pershomu ryadku i pershomu stovpci rozmishuvav nejtralnij element sho dozvolyalo jomu ne vidilyati okremogo ryadka i stovpcya z perelikom elementiv yak ce vidno v prikladi vishe Napriklad cya zh tablicya viglyadala tak a b cb c ac a b V comu prikladi ciklichnoyi grupi Z3 element a ye nejtralnim elementom tomu vin znahoditsya v verhnomu livomu kuti tablici Legko pobachiti napriklad sho b2 c i sho cb a Nezvazhayuchi na ce bilshist suchasnih tekstiv vklyuchayuchi i cyu stattyu vklyuchaye zagolovnij ryadok i stovpec dlya bilshoyi zrozumilosti Vlastivosti i vikoristannyaKomutativnist Tablicya Keli pokazuye nam chi ye grupa abelevoyu Oskilki grupova operaciya v abelevij grupi komutativna grupa ye abelevoyu v tomu i tilki v tomu vipadku koli yiyi tablicya Keli ye simetrichnoyu vidnosno diagonali Ciklichna grupa poryadku 3 i vishe a takozh 1 1 po zvichajnomu mnozhennyu obidvi ye prikladami abelevih grup i simetriya yih tablic Keli ce dovodit A os najmensha neabeleva en ne maye simetriyi v tablici Keli Asociativnist Oskilki asociativnist v grupah nayavna za viznachennyam chasto na neyi rozrahovuyut i v tablicyah Keli Odnak tablici Keli mozhna vikoristovuvati dlya opisu operacij v kvazigrupah v yakih asociativnist ne potribna bilsh togo tablici Keli mozhna vikoristovuvati dlya opisu operaciyi v bud yakij skinchennij magmi Na zhal v zagalnomu vipadku nemozhlivo prostim oglyadom tablici viznachiti asociativna operaciya chi ni na vidminu vid komutativnosti Ce obumovleno tim sho asociativnist zalezhit vid troh elementiv v rivnosti ab c a bc displaystyle ab c a bc a tablicya Keli pokazuye dobutok dvoh elementiv Tim ne mensh test asociativnosti Lajta mozhe dosliditi asociativnist z menshimi zusillyami nizh povnij perebir Perestanovki Oskilki skorochennya dlya grup vikonuyetsya bilsh togo vikonuyetsya navit dlya kvazigrup niyakij ryadok abo stovpec tablici Keli ne mozhe mistiti odin element dvichi Takim chinom kozhnij ryadok i stovpec tablici ye perestanovkoyu elementiv grupi Shob pobachiti chomu ryadki i stovpci ne mozhut mistiti odnakovih elementiv pripustimo sho a x ta y elementi grupi prichomu x ta y vidriznyayutsya Teper v ryadku yakij vidpovidaye elementu a i stovpci yakij vidpovidaye elementu x bude znahoditisya dobutok ax Analogichno v stovpci yakij vidpovidaye y bude znahoditis ay Nehaj dva dobutki rivni tobto ye ryadok a yakij mistit dva odnakovi elementi Za pravilom skorochennya mi z ax ay mozhemo zrobiti visnovok sho x y sho superechit viboru x i y Dlya stovpciv ci mirkuvannyam takozh istinni Oskilki grupa skinchenna za principom Dirihle kozhen element grupi mistitimetsya v kozhnomu ryadku i v kozhnomu stovpci tilki po odnomu razu Tobto tablicya Keli dlya grupi ye prikladom latinskogo kvadratu Pobudova tablic KeliVikoristovuyuchi strukturu grup chasto mozhna zapovniti tablici Keli yaki mayut nezapovneni polya navit ne znayuchi nichogo pro operaciyi grupi Napriklad oskilki kozhen ryadok i kozhen stovpec povinen vmishati vsi elementi grupi odin vidsutnij element v ryadku abo stovpci mozhna zapovniti ne znayuchi absolyutno nichogo pro grupu Ce pokazuye sho cya vlastivist i deyaki inshi vlastivosti grup dozvolyayut pobuduvati tablicyu Keli navit yaksho mi malo sho znayemo pro grupu Skelet nejtralnih elementiv kincevoyi grupi Oskilki v bud yakij grupi navit v neabelevij bud yakij element vzayemozaminnij z obernenim do nogo rozmishennya nejtralnih elementiv v tablici Keli ye simetrichnim vidnosno diagonali Ti sho lezhat na diagonali zbigayutsya z obernenimi do nih Oskilki poryadok ryadkiv i stovpciv v tablici Keli dovilni zruchno rozmishuvati yih nastupnim chinom pochinayemo z nejtralnogo elementa grupi yakij zavzhdi zbigayetsya z obernenim do nogo potim pererahovuyemo vsi elementi yaki zbigayutsya z obernenimi do nih a potim vipisuyemo pari elementiv element i obernenij do nogo Teper dlya kincevoyi grupi deyakogo poryadku neskladno viznachiti skelet nejtralnih elementiv nazvanij tak u zv yazku z tim sho nejtralni elementi abo lezhat na golovnij diagonali abo poblizu neyi Vidnosno legko dovesti sho grupi z riznimi skeletami ne mozhut buti izomorfnimi odnak protilezhne tverdzhennya hibne napriklad ciklichna grupa C8 i grupa kvaternioniv Q ne izomorfni hocha j mayut odnakovi skeleti Nehaj mi mayemo shist elementiv grupi e a b c d i f Nehaj e nejtralnij element Oskilki nejtralnij element zbigayetsya z obernenim do nogo a obernenij element ye unikalnim to povinen buti prinajmni she odin element yakij zbigayetsya z obernenim do nogo Takim chinom otrimuyemo nastupni mozhlivi skeleti vse elementi zbigayutsya z obernenimi do nih vse elementi za vinyatkom d i f zbigayutsya z obernenimi do nih a ci dva oberneni odin odnomu a zbigayetsya z obernenim do nogo b i c oberneni d i f oberneni V nashomu vipadku ne isnuye grupi pershogo tipu poryadku 6 Bilsh togo te sho skelet mozhlivij zovsim ne oznachaye sho isnuye grupa u yakoyi skelet zbigayetsya z nim Zaslugovuye uvagi toj fakt i jogo legko dovesti sho bud yaka grupa v yakij bud yakij element zbigayetsya z obernenim do nogo abeleva Zapovnennya tablici za skeletom nejtralnih elementiv Yaksho zadanij skelet nejtralnih elementiv mozhna pristupiti do zapovnennya tablici Keli Napriklad viberemo drugij skelet grupi poryadku 6 iz opisanih vishe e a b c d fe ea eb ec ed ef e Ochevidno sho ryadok e i stovpec e mozhut buti zapovneni odrazu Yak tilki ce zrobleno mozhe viyavitisya neobhidnim i ce neobhidno v nashomu vipadku zrobiti pripushennya yake mozhe privesti do superechnosti a ce oznachatime sho pripushennya ye pomilkovim Mi pripustimo sho ab c Todi e a b c d fe e a b c d fa a e cb b ec c ed d ef f e Mnozhachi ab c zliva na a otrimayemo b ac Mnozhennya sprava na c daye bc a Mnozhennya ab c sprava na b daye a cb Mnozhennya bc a zliva na b daye c ba a mnozhennya sprava na a daye ca b Pislya zapovnennya cih dobutkiv v tablici mi pobachimo sho ad i af zalishayutsya nezapovnenimi v ryadku a Oskilki kozhnij element povinen z yavlyatisya v ryadku ne bilshe odnogo razu otrimayemo sho ad povinen buti abo d abo f Odnak cej element ne mozhe dorivnyuvati d oskilki v protilezhnomu vipadku a buv bi rivnim e a nam vidomo sho ci dva elementi riznyatsya Takim chinom ad f i af d Teper oskilki element obernenij do d f mnozhennya ad f sprava na f daye a f2 Mnozhennya zliva na d daye da f Pomnozhivshi sprava na a mi otrimayemo d fa Pislya vnesennya vsih cih dobutkiv tablicya Keli viglyadatime tak e a b c d fe e a b c d fa a e c b f db b c e ac c b a ed d f ef f d e a Oskilki kozhnij element grupi povinen z yavlyatisya v kozhnomu ryadku tilki odin raz legko pomititi sho dvi porozhni komirki tablici v ryadku b povinni buti zajnyati abo d abo f Odnak v vidpovidnih stovpcyah vzhe prisutni d i f Takim chinom sho bi mi ne postavili v ci polya otrimayemo povtorennya v stovpcyah sho pokazuye sho nashe pochatkove pripushennya ab c bulo hibnim Odnak mi teper znayemo sho ab c Zalishilos dva varianti abo ab d abo ab f Oskilki d i f oberneni odin odnomu i vibir bukv dovilnij varto ochikuvati sho rezultat bude odnakovim z tochnistyu do izomorfizmu Bez vtrati zagalnosti mozhna vvazhati sho ab d Yaksho mi teper otrimayemo superechnist nam prijdetsya viznati sho dlya cogo skeletu nemaye vidpovidnoyi grupi Otrimuyemo novu tablicyu Keli e a b c d fe e a b c d fa a e db b ec c ed d ef f e Peremnozhuyuchi ab d zliva na a mi otrimuyemo b ad Mnozhennya sprava na f daye bf a a mnozhennya zliva na b daye f ba Pislya mnozhennya sprava na a mi otrimayemo fa b a pomnozhivshi zliva na d otrimayemo a db Pislya vnesennya rezultativ v tablicyu Keli otrimayemo novi elementi vidileno chervonim e a b c d fe e a b c d fa a e d bb b f e ac c ed d a ef f b e V ryadku a vidsutni c i f ale oskilki af ne mozhe dorivnyuvati f todi a bude dorivnyuvati e mi mozhemo zrobiti visnovok sho af c Mnozhennya zliva na a daye f ac i ce mi mozhemo pomnozhiti sprava na c sho daye fc a Mnozhennya ostannogo na d zliva daye c da sho mi mozhemo pomnozhiti sprava na a i otrimati ca d Analogichno pislya mnozhennya af c sprava na d otrimayemo a cd Onovimo tablicyu ostanni zmini vidileno sinim e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b f e ac c d e ad d c a ef f b a e Oskilki v ryadku b vidsutni c i d a bc ne mozhe dorivnyuvati c mi virahovuyemo sho bc d vnaslidok cogo dobutok bd povinen dorivnyuvati c Mnozhennya sprava na f daye nam b cf sho mozhna peretvoriti v cb f mnozhennyam na c zliva Analogichno mozhna virahuvati sho c fb i dc b Vnosimo zmini do tablici vneseni elementi vidileno zelenim kolorom e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b f e d c ac c d f e a bd d c a b ef f b c a e V ryadku d vidsutnij tilki f tomu d2 f Analogichno otrimuyemo sho f2 d Mi zapovnili vsyu tablicyu i ne otrimali superechnosti Takim chinom mi znajshli grupu poryadku 6 vidpovidnu skeletu pereglyad tablici pokazuye sho vona ne abeleva Faktichno ce najmensha neabeleva grupa diedralna grupa D3 e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b f e d c ac c d f e a bd d c a b f ef f b c a e dGeneraciya matrici perestanovokV standartnij formi tablici Keli poryadok ryadkiv i stovpciv zbigayutsya Inshim metodom vporyadkuvannya ye rozmishennya stovpciv takim chinom shob n ij stovpec vidpovidav obernenim elementam n ogo ryadka V nashomu prikladi dlya D3 nam neobhidno tilki perestaviti dva ostannih stovpcya oskilki tilki f i d ne ye obernenimi do sebe zate ye obernenimi odin do odnogo e a b c f d 1 d f 1e e a b c f da a e d f c bb b f e d a cc c d f e b ad d c a b e ff f b c a d e V nashomu prikladi mozhna stvoriti shist matric perestanovki vsi elementi dorivnyuyut 1 abo 0 po odnij odinici v kozhnomu ryadku i kozhnomu stovpci 6x6 matricya mistit odinicyu yaksho mitka stovpcya zbigayetsya z mitkoyu ryadka i nuli v usih inshih polyah simvol Kronekera dlya mitki Zauvazhimo sho dlya ryadka e otrimayemo odinichnu matricyu Napriklad dlya a otrimayemo taku matricyu perestanovok e a b c f de 0 1 0 0 0 0a 1 0 0 0 0 0b 0 0 0 0 1 0c 0 0 0 0 0 1d 0 0 1 0 0 0f 0 0 0 1 0 0 Ce demonstruye sho bud yaka grupa poryadku n ye pidgrupoyu grupi perestanovok Sn poryadku n UzagalnennyaOpisani vishe vlastivosti zalezhat vid deyakih aksiom dlya grup Tablici Keli mozhna vikoristovuvati i dlya deyakih inshih algebrayichnih struktur takih yak napivgrupi kvazigrupi i magmi ale dlya nih deyaki vishe vkazani vlastivosti ne vikonuvatimutsya Divis takozhTabulyuvannya funkciyi Latinskij kvadratPosilannyaCayley Arthur On the theory of groups as depending on the symbolic equation 8 n 1 Philosophical Magazine Vol 7 1854 pp 40 47 Available on line at Google Books as part of his collected works Cayley Arthur On the Theory of Groups American Journal of Mathematics Vol 11 No 2 Jan 1889 pp 139 157 Available at JSTOR