В теорії груп, група кватерніона є [en] групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q8 і представляється заданням групи
де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи.
Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі.
Властивості
- Група кватерніона є гамільтоновою: Q8 є неабелевою, але всі її підгрупи є нормальними.
- Можна побудувати 4-вимірний дійсний векторний простір з базисом {1, i, j, k} і зробити з нього асоціативну алгебру ввівши множення, як описано вище, та добавивши дистрибутивний закон. Отримаємо тіло кватерніонів.
- Порядок елементів i, j, k рівний 4, і довільні два з них утворюють породжуючу множину групи. Інше задання групи:
- Центр та комутант групи Q8 це підгрупа {±1}.
- Факторгрупа Q/{±1} ізоморфна 4-групі Клейна V4.
- Q8 також ізоморфна 4-групі Клейна.
- Повна група автоморфізмів Q8 ізоморфна S4, симетричній групі з 4 елементів.
- Q8 рівна S4/V = S3.
Матричне представлення
Група кватерніона може бути представлена як підгрупа загальної лінійної групи:
де
Всі матриці мають одиничний детермінант, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну група SL2(C).
Також важливим є представлення Q8 в 8 елементів 2-векторного простору над скінченним полем F3:
де
де {−1,0,1} елементами з поля F3. Всі матриці мають одиничний детермінант над F3, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну групу SL(2, 3). Насправді Q8 є нормальною підгрупою SL(2, 3) індексу 3.
Див. також
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi grup grupa kvaterniona ye en grupoyu poryadku 8 izomorfnoyu mnozhini vosmi viznachenim kvaternionam z operaciyeyu mnozhennya Poznachayetsya Q8 i predstavlyayetsya zadannyam grupiCiklichnij graf Q8 Kozhen kolir ce poslidovnist stepeniv deyakogo elementa zv yazana z nejtralnim elementom 1 Dlya prikladu chervonij cikl pokazuye sho i 2 1 i 3 i ta i 4 1 A takozh i 2 1 i 3 i ta i 4 1 Q 1 i j k 1 2 1 i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle Q langle 1 i j k mid 1 2 1 i 2 j 2 k 2 ijk 1 rangle de 1 nejtralnij element ta 1 komutuyut zi vsima elementami grupi Mnozhennya elementiv i j k podibne do vektornogo dobutku ortiv v trivimirnomu evklidovomu prostori i j k j i k j k i k j i k i j i k j displaystyle begin alignedat 2 ij amp k amp qquad ji amp k jk amp i amp kj amp i ki amp j amp ik amp j end alignedat VlastivostiGrupa kvaterniona ye gamiltonovoyu Q8 ye neabelevoyu ale vsi yiyi pidgrupi ye normalnimi Mozhna pobuduvati 4 vimirnij dijsnij vektornij prostir z bazisom 1 i j k i zrobiti z nogo asociativnu algebru vvivshi mnozhennya yak opisano vishe ta dobavivshi distributivnij zakon Otrimayemo tilo kvaternioniv Poryadok elementiv i j k rivnij 4 i dovilni dva z nih utvoryuyut porodzhuyuchu mnozhinu grupi Inshe zadannya grupi x y x 2 y 2 y 1 x y x 1 displaystyle langle x y mid x 2 y 2 y 1 xy x 1 rangle Centr ta komutant grupi Q8 ce pidgrupa 1 Faktorgrupa Q 1 izomorfna 4 grupi Klejna V4 Q8 takozh izomorfna 4 grupi Klejna Povna grupa avtomorfizmiv Q8 izomorfna S4 simetrichnij grupi z 4 elementiv Q8 rivna S4 V S3 Matrichne predstavlennyaGrupa kvaterniona mozhe buti predstavlena yak pidgrupa zagalnoyi linijnoyi grupi Q 1 i j k G L 2 C displaystyle Q pm 1 pm i pm j pm k to mathrm GL 2 mathbb C de 1 1 0 0 1 displaystyle 1 mapsto begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix i 1 0 0 1 displaystyle i mapsto begin pmatrix sqrt 1 amp 0 0 amp sqrt 1 end pmatrix j 0 1 1 0 displaystyle j mapsto begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix k 0 1 1 0 displaystyle k mapsto begin pmatrix 0 amp sqrt 1 sqrt 1 amp 0 end pmatrix Vsi matrici mayut odinichnij determinant tomu ce predstavlennya Q8 v specialnu linijnu grupa SL2 C Takozh vazhlivim ye predstavlennya Q8 v 8 elementiv 2 vektornogo prostoru nad skinchennim polem F3 Q 1 i j k G L 2 3 displaystyle Q pm 1 pm i pm j pm k to mathrm GL 2 3 de 1 1 0 0 1 displaystyle 1 mapsto begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix i 1 1 1 1 displaystyle i mapsto begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix j 1 1 1 1 displaystyle j mapsto begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix k 0 1 1 0 displaystyle k mapsto begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix de 1 0 1 elementami z polya F3 Vsi matrici mayut odinichnij determinant nad F3 tomu ce predstavlennya Q8 v specialnu linijnu grupu SL 2 3 Naspravdi Q8 ye normalnoyu pidgrupoyu SL 2 3 indeksu 3 Div takozhKvaternion GurvicaDzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Kantor I L Solodovnikov A S Giperkompleksnye chisla Moskva Nauka 1973 144 s ros