Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.
Визначення
Підгрупа групи називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно , тобто:
Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:
- Множини лівих і правих суміжних класів в збігаються.
- .
Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.
Приклади
- та — завжди нормальні підгрупи . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група називається простою.
- Центр групи — нормальна підгрупа.
- Комутант групи — нормальна підгрупа.
- Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.
- Всі підгрупи абелевої групи нормальні, тому що . Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.
Властивості
- Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
- Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
- Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.
- Наприклад, діедральна група
- Підгрупа ізоморфна групі Клейна і
- І далі, але не нормальна в оскільки
- Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною. Якщо — найменший простий дільник порядку , то довільна підгрупа індекса нормальна.
- Якщо — нормальна підгрупа в , то на множині лівих (правих) суміжних класів можна ввести групову структуру за правилом
- Отримана множина називається фактор-групою за .
- нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах .
- Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.
Історичні факти
Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.
Див. також
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Normalna pidgrupa invariantna pidgrupa ce osobliva pidgrupa v yakih livij i pravij klas sumizhnosti zbigayutsya Invariantni pidgrupi dozvolyayut buduvati faktor grupu po zadanij grupi ViznachennyaPidgrupa N displaystyle N grupi G displaystyle G nazivayetsya normalnoyu yaksho vona invariantna vidnosno tobto N G n N g G g n g 1 N displaystyle N triangleleft G quad iff quad forall n in N g in G gng 1 in N Nastupni umovi normalnosti pidgrupi ye ekvivalentnimi g G g N g 1 N displaystyle forall g in G gNg 1 subseteq N g G g N g 1 N displaystyle forall g in G gNg 1 N Mnozhini livih i pravih sumizhnih klasiv N displaystyle N v G displaystyle G zbigayutsya g G g N N g displaystyle forall g in G gN Ng Umova 1 slabsha chim 2 a umova 3 slabsha nizh 4 Tomu umovi 1 ta 3 chasto vikoristovuyut pri dovedenni normalnosti pidgrupi Prikladi e displaystyle e ta G displaystyle G zavzhdi normalni pidgrupi G displaystyle G Voni nazivayutsya trivialnimi Yaksho inshih normalnih pidgrup nemaye to grupa G displaystyle G nazivayetsya prostoyu Centr grupi normalna pidgrupa Komutant grupi normalna pidgrupa Dovilna harakteristichna pidgrupa ye normalnoyu bo yiyi spryazhennya zavzhdi ye avtomorfizmom Vsi pidgrupi N displaystyle N abelevoyi grupi G displaystyle G normalni tomu sho g N N g displaystyle gN Ng Neabeleva grupa v yakoyi vsi pidgrupi normalni nazivayetsya gamiltonovoyu VlastivostiNormalnist zberigayetsya pri epimorfizmah syur yektivnih gomomorfizmah i vzyatti obernenih obraziv Normalnist zberigayetsya pri pobudovi pryamogo dobutku Normalna pidgrupa normalnoyi pidgrupi ne obov yazkovo ye normalnoyu v grupi tobto normalnist ne tranzitivna Ale harakteristichna pidgrupa normalnoyi pidgrupi ye normalnoyu Napriklad diedralna grupa D 4 r f f 2 1 r 4 1 f r r 1 f displaystyle D 4 langle r f f 2 1 r 4 1 fr r 1 f rangle Pidgrupa H r f f r 1 r f r 2 f r C 2 C 2 displaystyle H langle rf fr rangle 1 rf r 2 fr simeq C 2 times C 2 izomorfna grupi Klejna i H G displaystyle H triangleleft G I dali K r f 1 r f H displaystyle K langle rf rangle 1 rf triangleleft H ale K displaystyle K ne normalna v G displaystyle G oskilki f r f f 1 f r f f f r K displaystyle f cdot rf cdot f 1 f cdot rf cdot f fr notin K Kozhna pidgrupa indeksu 2 ye normalnoyu Yaksho p displaystyle p najmenshij prostij dilnik poryadku G displaystyle G to dovilna pidgrupa indeksa p displaystyle p normalna Yaksho N displaystyle N normalna pidgrupa v G displaystyle G to na mnozhini livih pravih sumizhnih klasiv G N displaystyle G N mozhna vvesti grupovu strukturu za pravilom g 1 N g 2 N g 1 g 2 N displaystyle g 1 N g 2 N g 1 g 2 N Otrimana mnozhina nazivayetsya faktor grupoyu G displaystyle G za N displaystyle N N displaystyle N normalna todi i tilki todi koli vona trivialno diye na livih sumizhnih klasah G N displaystyle G N Normalni pidgrupi grupi G utvoryuyut gratku vidnosno operaciyi vklyuchennya z najmenshim elementom e ta najbilshim elementom G Gratka ye povnoyu ta modulyarnoyu Istorichni faktiEvarist Galua pershij zrozumiv vazhlivist normalnih pidgrup Div takozhNorma teoriya grup Kvazinormalna pidgrupaDzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl