Симетрі́я (від грец. συμμετρεῖν — міряти разом) чи рівнобі́ччя — властивість об'єкта відтворювати себе при певних змінах, перетвореннях чи трансформаціях, які називаються операціями симетрії. Розрізняють симетрію тіл, симетрію властивостей і симетрію відношень.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemsxTDB4bGMzTmxjbDlEYjJGMFgyOW1YMEZ5YlhOZmIyWmZWV3R5WVdsdVpTNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RUR1Z6YzJWeVgwTnZZWFJmYjJaZlFYSnRjMTl2Wmw5VmEzSmhhVzVsTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlk0TDFWcmNtRnBibWxoYmw5RmJXSnliMmxrWlhKNVgyOW1abVZ5WldSZllYUmZVMjk1ZFhwcGRtdGhMbXB3Wnk4eU1qQndlQzFWYTNKaGFXNXBZVzVmUlcxaWNtOXBaR1Z5ZVY5dlptWmxjbVZrWDJGMFgxTnZlWFY2YVhacllTNXFjR2M9LmpwZw==.jpg)
Симетрія — передусім геометричне поняття, однак воно застосовується також щодо негеометричних об'єктів у математиці загалом, інших науках: фізиці, хімії, біології, і в інших галузях людської діяльності: філософії, естетиці, соціології, мистецтві тощо.
Відсутність симетрії називають асиметрією. З іншого боку, термін антисиметрія описує своєрідний вид симетрії.
Витоки симетрії
Витоки поняття симетрії йдуть далеко в минуле до часів Вавилона, Стародавнього Єгипту й Стародавньої Греції. Вже у V-му столітті до н. е. великий філософ і геометр Піфагор вчив: «Число є сутністю усіх речей і організація Всесвіту в її визначеннях являє собою взагалі гармонійну систему чисел та їх відносин». Цим Піфагор хотів підкреслити найважливішу сторону побудови світу — це його впорядкованість, організованість, симетрію, а значить і красу. Однак аж до XIX-го століття симетрія як самостійний об'єкт дослідження не приваблювала вчених, вона представлялася як щось само собою зрозуміле, загальновідоме, що не підлягає вивченню. У XIX—XX століттях принцип симетрії набув суттєвого значення, особливо у фізиці й математиці.
Людська творчість у всіх своїх проявах тяжіє до симетрії. З цього приводу добре висловився французький архітектор Ле Корбюзьє. У своїй книзі «Архітектура ХХ століття» він писав: «Людині необхідним є порядок, без нього всі її дії втрачають узгодженість, логічний взаємозв'язок. Чим досконалішим є порядок, тим спокійнішою і впевненішою почувається людина. Вона робить умоглядні побудови, ґрунтуючись на порядку, який продиктований їй потребами її психіки, — це творчий процес. Творчість є актом впорядкування».
Симетрія у геометрії
Геометрична фігура симетрична, якщо існують перетворення, при яких її точки змінюють своє розташування на площині або в просторі, однак фігура накладається сама на себе. Якщо частини такої фігури накладаються на інші частини, то ці частини називають симетричними між собою. В залежності від типу перетворень розрізняють різні види симетрії.
Дзеркальна симетрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlEyTDFKbFpteGxZM1JwYjI1ZmMzbHRiV1YwY25rdWMzWm5Mekl5TUhCNExWSmxabXhsWTNScGIyNWZjM2x0YldWMGNua3VjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Дзеркальною називається симетрія щодо операції відбиття відносно площини або, в планіметрії, лінії. У планіметрії цей тип симетрії називають осьовою.
Симетрія обертання
Симетрією обертання називається симетрія щодо повороту на певний кут відносно певної лінії, яка називається віссю обертання. Якщо фігура симетрична щодо повороту на будь-який кут, її називають аксіально-симетричною. Прикладом аксіально-симетричної фігури є коло, а в тривимірному просторі — циліндр обертання.
Якщо фігура симетрична відносно повороту тільки на певні кути, тоді величина цих кутів визначається формулою , де
— ціле число, оскільки при повороті на кут
фігура завжди накладається сама на себе. Відповідні осі обертання називають осями симетрії N-го порядку.
Центральна симетрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRqTDFONWJXVjBjbWxoWDNOeWIyUnJiM2RoTVM1d2JtY3ZNakl3Y0hndFUzbHRaWFJ5YVdGZmMzSnZaR3R2ZDJFeExuQnVadz09LnBuZw==.png)
Геометрична фігура має центральну симетрію щодо певної точки, яка називається центром симетрії, якщо для будь-якої точки фігури існує інша точка, розташована на лінії, що сполучає дану точку з центром, з іншого боку від центра на однаковій відстані.
У планіметрії, для двовимірної фігури, центральна симетрія еквівалентна існуванню осі обертання другого порядку, тобто симетрії щодо повороту на 180°. У стереометрії, для тривимірної фігури, центральна симетрія є симетрією щодо складеної операції — повороту на 180° щодо довільної осі, яка проходить через центр симетрії, та дзеркального відбиття в площині, перпендикулярній цій осі.
Трансляційна симетрія
Трансляційною симетрією називають симетрію щодо паралельного перенесення у певному напрямку на певну відстань. Трансляційну симетрію мають ґратки. Граничним випадком трансляційної симетрії є однорідність простору. Однорідний простір накладається сам на себе при довільному зміщенні.
Ковзна симетрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZtTDBkc2FXUmxYM0psWm14bFkzUnBiMjR1Y0c1bkx6SXlNSEI0TFVkc2FXUmxYM0psWm14bFkzUnBiMjR1Y0c1bi5wbmc=.png)
Ковзна симетрія — комбінація відбиття відносно прямої і перенесення на вектор, паралельний до цієї прямої. Зміна порядку операцій дає такий же результат. Звідси, можна вважати відбиття окремим випадком ковзної симетрії з нульовим вектором паралельного перенесення.
Цей розділ потребує доповнення. (червень 2011) |
У математиці
Розділ математики, що вивчає загальні властивості операцій симетрії, називається теорією груп. Оскільки багато груп гомоморфні групі матриць, то загальні властивості симетрії конкретного математичного об'єкта часто зводяться до симетрії матриць.
Матриці, зокрема, можуть бути симетричними або кососиметричними щодо операції транспонування. Для матриць із комплексними елементами, ці поняття узалальнені як ермітові та косоермітові матриці.
Симетрія у фізиці
Симетрія у фізиці | ||
---|---|---|
Перетворення | Відповідна інваріантність | Відповідний закон збереження |
⭥Трансляції часу | Однорідність часу | …енергії |
⊠ C, P, CP і T-симетрії | Ізотропність часу | …парності |
⭤ Трансляції простору | Однорідність простору | …імпульсу |
↺ Обертання простору | Ізотропність простору | …моменту імпульсу |
⇆ Група Лоренца (бусти) | Відносність Лоренц-коваріантність | (…руху центра мас) |
~ Калібрувальне перетворення | Калібрувальна інваріантність | …заряду |
Поняття симетрії відіграє велику роль у фізиці. Перш за все слід відзначити просторову симетрію, якою можуть характеризуватися фізичні об'єкти. Тут слід розрізняти симетрію щодо трансляції, симетрію щодо дзеркального відображення, симетрію щодо поворотів, гвинтову симетрію тощо. Особливим видом симетрії є ізотропність — незалежність властивостей фізичної системи від напрямку, однорідність — незалежність властивостей фізичної системи від точки простору.
Специфічним для фізики видом симетрії є інваріантність фізичних законів щодо вибору системи відліку, яка лежить в основі теорії відносності. Іншим видом симетрії, який зустрічається в фізиці є симетрія щодо заміни напрямку координатних осей, що лежить в основі принципу парності.
Симетрія властивостей квантовомеханічної системи щодо перестановки частинок місцями лежить в основі принципу нерозрізнюваності частинок.
Для багатьох фізичних систем також характерні свої особливі приховані типи симетрії. У фізиці елементарних частинок це, зокрема, калібрувальна інваріантність — симетрія частинок відносно певного типу перетворень, завдяки якій можна встановити внутрішню структуру у великій кількості відкритих фізиками елементарних частинок. Існують гіпотези симетрії між двома фундаментальними типами частинок: бозонами та ферміонами, які отримали назву суперсиметрії.
За теоремою Нетер кожній симетрії фізичної системи відповідає інтеграл руху. Внаслідок цього симетрії Всесвіту пов'язані із законами збереження.
Незважаючи на важливість симетрії у фізичних процесах, світ, у якому ми живемо, в певних аспектах суттєво несиметричний. Наприклад, у відомому нам Всесвіті існує перевага частинок над античастинками. Ця асиметрія виникла на ранніх етапах розвитку Всесвіту під час баріогенезису та лептогенезису. Її причини досі ще не зрозумілі. Слабка взаємодія несиметрична відносно хіральності, тобто правозакрученості й лівозакрученості частинок, зокрема, нейтрино. Сучасні фізичні теорії намагаються пояснити виникнення такі явища спонтанним порушенням симетрії.
Інша суттєва асиметрія у фізиці пов'язана зі «стрілою часу», тобто з тим, що Всесвіт рухається від минулого до майбутнього. Ця асиметрія щодо заміни напрямку часу проявляється у другому законі термодинаміки, твердженні про неспадання ентропії в ізольованих системах.
Симетрія в біології
Симетричність — найважливіша характеристика будови тіла тварин, це властивість організму складатися із частин, які дзеркально повторюються і розташовані уздовж уявної площини, що проходить крізь тіло. Тип симетрії визначає не лише загальну будову тіла, а можливість розвитку систем органів тварини. Якщо тіло тварини можна уявно поділити на дві половини, праву та ліву, то таку тварину називають двобічносиметричною. Цей тип симетрії властивий переважній більшості видів тварин, а також людині. Якщо тіло тварини можна уявно поділити не однією, а кількома площинами симетрії (уявними дзеркалами) на рівні частини, то таку тварину називають радіально-симетричною. Цей тип симетрії трапляється значно рідше. Радіально-симетричні тварини мають простішу будову, пересуваються повільно — повзанням. У таких тварин відсутні високорозвинені органи чуття та складні системи органів. Незначна їх рухливість, пасивний спосіб життя не сприяють розвитку систем органів і вдосконаленню нервової регуляції організму.
Актиноморфія (від дав.-гр. ἀκτίς («actis») — промінь і μορφή («morphe») — форма, лат. actinomorphia) — явище, коли через орган можна провести не менше двох площин симетрії.
Зигоморфія (від дав.-гр. ζυγόν («zygon») — ярмо і μορφή («morphe») — форма, лат. zygomorphia) — явище, коли через орган можна провести лише одну площину симетрії.
Асиметрія (лат. asymmetria) — явище, коли через орган не можна провести жодної площини симетрії.
Симетрія у хімії
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJqTDBadmNtMWhiR1JsYUhsa1pWOXplVzF0WlhSeWVWOWxiR1Z0Wlc1MGN5NXpkbWN2TWpJd2NIZ3RSbTl5YldGc1pHVm9lV1JsWDNONWJXMWxkSEo1WDJWc1pXMWxiblJ6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Молекулярна симетрія — властивість будови молекул, яка проявляється в тому, чи можна які-небудь частини молекули поміняти місцями без зміни її вигляду у цілому. Якщо так, то молекула є симетричною, а такі частини є еквівалентними за симетрією.
Існує чотири способи суміщення еквівалентних частин молекули, що називають операціями симетрії.
1. Просте повертання навколо осі, що проходить через молекулу на кут . Цю операцію називають власним обертанням і позначають Cn. Очевидно, що якщо її повторити n разів, молекула, пройшовши усі положення, повернеться до початкової орієнтації.
2. Відбиття усіх атомів у площині, що проходить через молекулу. Цю операцію називають відбиттям і позначають σ.
3. Відбиття усіх атомів через центр молекули. Цю операцію називають інверсією і позначають i.
4. Комбінація у довільному порядку обертання молекули навколо осі, що проходить через молекулу, на кут і відбиття всіх атомів у площині, яка є перпендикулярною до осі обертання, називають невласним обертанням і позначають Sn
Симетрія молекул відіграє фундаментальну роль в молекулярній спектроскопії, дозволяє проводити класифікацію рівнів енергії молекул, визначити правила відбору для молекул, істотно спростити аналітичні і числові розрахунки внутрішніх енергій та імовірностей переходів молекул. Поняття молекулярної симетрії, що застосовується на молекулярному рівні, зазвичай не враховує знаки ядерних спінів, істотних в явищах ядерного магнітного резонансу.
Симетрія у кристалографії
Симетрія у кристалографії — закономірність у розташуванні граней, ребер і вершин кристала, завдяки якій він має кілька рівних частин. Площини, прямі, точки, якими користуються для виявлення симетрії кристалів, називають елементами симетрії.
Найпростішими елементами симетрії є площина, що ділить кристал на дві дзеркально рівні частини, і вісь — пряма лінія, при повертанні навколо якої кілька разів повторюються рівні частини кристала. Повна сукупність елементів симетрії скінченної фігури називається видом симетрії. Доведено, що в кристалографії можливі 32 види симетрії, які об'єднуються у 7 сингоній.
Симетрія в архітектурі та мистецтві
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxpTDFSaGFsOUpibXhoZVY4d05WOGxNamd5TWprd016UTBNek0zSlRJNUxtcHdaeTh5TWpCd2VDMVVZV3BmU1c1c1lYbGZNRFZmSlRJNE1qSTVNRE0wTkRNek55VXlPUzVxY0djPS5qcGc=.jpg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkk1TDAxcGJtOXlYMkZ6WDNWd2MybGtaVjlrYjNkdVgyMWhhbTl5TG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxTmFXNXZjbDloYzE5MWNITnBaR1ZmWkc5M2JsOXRZV3B2Y2k1d2JtYz0ucG5n.png)
Симетрія — один з видів гармонійної композиції в архітектурі та мистецтві. Симетрія є одним з важливих засобів досягнення єдності і художньої виразності композиції в художньому проектуванні. Вона притаманна творам архітектури (властива споруді в цілому або її частині та окремим деталям) і декоративно-ужиткового мистецтва. Використовується також як основний прийом побудови бордюрів і орнаментів. Використовуються дзеркальна, осьова, гвинтова, променево-гвинтова симетрії.
Найпоширенішою в архітектурі є дзеркальна симетрія. Їй підпорядковані споруди Стародавнього Єгипту і храми античної Греції, амфітеатри, терми, базиліки і тріумфальні арки римлян, палаци і церкви Ренесансу, так само як і численні споруди сучасної архітектури.
Ісламські будівлі такі як Тадж Махал чи є прикладом комплексного використання симетрії як у конструкції, так і в орнаментації. Мавританські будівлі, такі як архітектурно-парковий ансамбль Альгамбра, прикрашені складними візерунками, виконаними з використанням віддзеркалень та обертань.
Принцип симетрії дуже часто використовується спільно з принципом «золотого перетину». Таким прикладом може слугувати картина Рафаеля «Заручини Марії» (1504) або мозаїка Пенроуза.
Симетрія займає чільне місце у композиціях творів прикладного мистецтва, таких як вишивка чи різьблення по дереву, де знайшли застосування осьова, центральна, трансляційна та ковзна види симетрії.
У літературній творчості симетрія спостерігається у формах паліндромів — слові, числі, наборі символів, словосполученні або віршованому рядку, що однаково читається в обох напрямках (зліва направо та справа наліво).
Приємне звучання в музиці нерідко зумовлене симетричністю мелодії. У музиці є багато моментів, пов'язаних із симетрією, у першу чергу — це нотна нотація.:
- сам нотний стан є симетричним;
- є симетрія мажорного та мінорного ладів;
- зустрічаються фрагменти музичних творів із розташуванням нот на нотному стані за певними видами симетрії, а саме:
- ракохідний рух — симетрія відносно площини, перпендикулярної до нотного стану;
- обернення інтервалу — виходить із звукової послідовності, яка зазнає дзеркального відбиття у площині, паралельній до середньої лінії нотного стану;
- ракохідне обернення — відбиття у дзеркальній частині змінюється на протилежну спрямованість звукового ряду за висотою;
- трансляційний вид симетрії — музична фраза (мелодія чи крупніші фрагменти твору) повторюється, залишаючись незмінною;
- ракохідне обернення із дзеркальним відбиттям — при цьому нотний аркуш можна повернути на 180° але мелодія залишиться незмінною.
Одним з перших поняття симетрії у музиці запровадив російський і радянський музичний діяч Е. К. Розенов. В кінці XIX століття, аналізуючи твори Й. С. Баха він зробив висновок, що в них «панують закон золотого перетину і закон симетрії».
Симетрія у соціальних взаємодіях
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelUyTDFONWJXMWxkSEpwWTE5eVpXeHBaMmx2ZFhOZmMzbHRZbTlzY3k1emRtY3ZNakl3Y0hndFUzbHRiV1YwY21salgzSmxiR2xuYVc5MWMxOXplVzFpYjJ4ekxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
ряд 1. християнському, юдейському, даосистському;
ряд 2. Ісламському, буддистському, синтоїстському;
ряд 3. сикхському, бахаїстському, індуїстському
Можна спостерігати симетричну природу соціальних взаємодій, які часто поєднуються і з асиметричними впливами у різних контекстах. Об'єктивною основою соціальної взаємодії є спільність чи розбіжність інтересів, близьких чи віддалених цілей, поглядів. Ці взаємодії містять у собі оцінювання взаємності, співпереживання, симпатії, докору, діалогу, поваги, справедливості чи помсти. Рефлексивна рівновага є балансом, що може бути досягнутий через дорадче взаємне коригування між основними принципами і конкретними прийнятими рішеннями. Симетричні взаємодії посилають сигнали «ми всі однакові» в той час як асиметричні взаємодії виражають думку «Я є винятковим; кращим ніж ти». Рівноправні відносини, наприклад, що можуть регулюватися золотим правилом моралі, ґрунтуються на симетрії, в той час як силові відносини (відносини примусу) базуються на асиметрії. Симетричні відносини можуть до певної міри підтримуватись простими стратегіями (теорія ігор) як у симетричних іграх, таких як стратегії «зуб за зуб» («око за око»).
Припускається, що тенденція людей бачити мету в симетрії, є однією з причин, чому симетрія часто є невід'ємною частиною символів світових релігій. Деякі з багатьох прикладів, зображені на малюнку праворуч.
Див. також
- Псевдосиметрія (у мінералогії)
- Симетрія в математиці
- Дзеркальна симетрія (теорія струн)
- Асиметрія (асиметрія всередині симетрії, втрата деяких елементів симетрії, часткове зникнення симетрії)
- Ізотропія
- Самоподібність
- Рекурсія
- Число симетрії
- Симетрія обличчя
- Симетрія (біологія)
- Симетрія (фізика)
Примітки
- Якою б зараз була українська мова, якби вона не зазнала політики лінгвоциду від СРСР.
- «Симетрія» [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.] // Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
- Арістотель Метафізика (грец. Μετὰ τὰ φυσικά), кн. I, гл. 5 passim.
- Ле Корбюзье Архитектура XX века / Пер. с фр. Изд. 2-е. — М.: Прогресс, 1977. — 303 с.
- Сироткин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. — М. : Наука, 1979. — 640 с.
- Фрауэнфельдер Г., Хенли Э. Субатомная физика. — М. : Мир, 1979. — 736 с.
- Глосарій термінів з хімії / уклад. Й. Опейда, О. Швайка ; Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет. — Дон. : Вебер, 2008. — 738 с. — .
- Cotton, F. Albert Chemical Applications of Group Theory, 3rd edition. New York: Wiley, 1990. —
- Williams: Symmetry in Architecture [ 14 березня 2009 у Wayback Machine.]. Members.tripod.com (1998-12-31). Retrieved on 2013-04-16.
- Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture [ 7 травня 2015 у Wayback Machine.]. Math.nus.edu.sg. Retrieved on 2013-04-16.
- Derry, Gregory N. (2002). . Princeton University Press. с. 269–. ISBN . Архів оригіналу за 22 січня 2020. Процитовано 11 лютого 2017.
- Синергетична парадигма простору культури: монографія [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.] / Наук. — ред. колегія: В. Д. Шульгіна (наук. ред.), І. В. Кузнєцова (наук. ред., відп.за вип.), О. В. Яковлев (упоряд.). — К. : НАКККіМ, 2014. — 400 c. —
- Сердунич Л. А. Вітражі жартів [Текст]: паліндроми / Л. А. Сердунич. — К.: Вид-во Сергія Пантюка, 2013. — 100 с. — (Книгозбірня українського паліндрому). —
- Симметрия в искусстве [ 31 липня 2016 у Wayback Machine.] (рос.)
- Розенов Э. К. И. С. Бах (и его род). Биографический очерк. — М., 1911.
- Norman Daniels {{cite SEP |url-id=reflective-equilibrium Reflective Equilibrium [ 11 березня 2017 у Wayback Machine.] // Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Emotional Competency [ 4 грудня 2017 у Wayback Machine.]: Symmetry
- Lutus, P. (2008). . Архів оригіналу за 13 березня 2016. Процитовано 28 вересня 2015.
Джерела
- Зиман С. М., Мосякін С. Л., Булах О. В., Царенко О. М. Ілюстрований довідник з морфології квіткових рослин. — Ужгород : «Медіум», 2004. — 156 с.
- Вейль Г. Симметрия. — М. : Наука, 1968. — 192 с.
- Банкер Ф., Йенсен П. Симметрия молекул и спектороскопия / Пер. с англ. Панченко Ю.Н., Петрова С.В., Пупышева В.И. и др. — Изд.2-е, перераб. — М. : Мир, Научный мир, 2005. — 763 с. — . ,
- Вигнер Е. Этюды о симметрии / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. — М. : Мир, 1972. — 318 с.
- Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в природе и искусстве. Учебное пособие. — 2-е изд. испр. и доп. — М. : Наука, 1972. — 349 с.
- Шафрановский И. И. Симметрия в природе / И. И. Шафрановский. — Л. : Недра, 1985. — 167 с.
- Иконников А., Степанов Г. Основы архитектурной композиции. — М. : Искусство, 1971. — 224 с.
Посилання
Вікіцитати містять висловлювання на тему: Симетрія |
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Симетрія |
- О. Кравченко. Симетрія // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — С. 580. — 742 с. — 1000 екз. — ББК (87я2). — .
- Симетрія // Українська мала енциклопедія : 16 кн. : у 8 т. / проф. Є. Онацький. — Накладом Адміністратури УАПЦ в Аргентині. — Буенос-Айрес, 1965. — Т. 7, кн. XIV : Літери Сен — Сті. — С. 1729. — 1000 екз.
- Чувашева Е. С. Сложность и симметрия [ 22 листопада 2015 у Wayback Machine.]
- (англ.)
- (англ.)
- ISIS Symmetry [ 22 вересня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Simetriya znachennya Simetri ya vid grec symmetreῖn miryati razom chi rivnobi chchya vlastivist ob yekta vidtvoryuvati sebe pri pevnih zminah peretvorennyah chi transformaciyah yaki nazivayutsya operaciyami simetriyi Rozriznyayut simetriyu til simetriyu vlastivostej i simetriyu vidnoshen Simetriya shiroko vikoristovuyetsya v geraldiciSimetrichni strukturi v osnovi ukrayinskoyi vishivki Simetriya peredusim geometrichne ponyattya odnak vono zastosovuyetsya takozh shodo negeometrichnih ob yektiv u matematici zagalom inshih naukah fizici himiyi biologiyi i v inshih galuzyah lyudskoyi diyalnosti filosofiyi estetici sociologiyi mistectvi tosho Vidsutnist simetriyi nazivayut asimetriyeyu Z inshogo boku termin antisimetriya opisuye svoyeridnij vid simetriyi Vitoki simetriyiVitoki ponyattya simetriyi jdut daleko v minule do chasiv Vavilona Starodavnogo Yegiptu j Starodavnoyi Greciyi Vzhe u V mu stolitti do n e velikij filosof i geometr Pifagor vchiv Chislo ye sutnistyu usih rechej i organizaciya Vsesvitu v yiyi viznachennyah yavlyaye soboyu vzagali garmonijnu sistemu chisel ta yih vidnosin Cim Pifagor hotiv pidkresliti najvazhlivishu storonu pobudovi svitu ce jogo vporyadkovanist organizovanist simetriyu a znachit i krasu Odnak azh do XIX go stolittya simetriya yak samostijnij ob yekt doslidzhennya ne privablyuvala vchenih vona predstavlyalasya yak shos samo soboyu zrozumile zagalnovidome sho ne pidlyagaye vivchennyu U XIX XX stolittyah princip simetriyi nabuv suttyevogo znachennya osoblivo u fizici j matematici Lyudska tvorchist u vsih svoyih proyavah tyazhiye do simetriyi Z cogo privodu dobre vislovivsya francuzkij arhitektor Le Korbyuzye U svoyij knizi Arhitektura HH stolittya vin pisav Lyudini neobhidnim ye poryadok bez nogo vsi yiyi diyi vtrachayut uzgodzhenist logichnij vzayemozv yazok Chim doskonalishim ye poryadok tim spokijnishoyu i vpevnenishoyu pochuvayetsya lyudina Vona robit umoglyadni pobudovi gruntuyuchis na poryadku yakij prodiktovanij yij potrebami yiyi psihiki ce tvorchij proces Tvorchist ye aktom vporyadkuvannya Simetriya u geometriyiGeometrichna figura simetrichna yaksho isnuyut peretvorennya pri yakih yiyi tochki zminyuyut svoye roztashuvannya na ploshini abo v prostori odnak figura nakladayetsya sama na sebe Yaksho chastini takoyi figuri nakladayutsya na inshi chastini to ci chastini nazivayut simetrichnimi mizh soboyu V zalezhnosti vid tipu peretvoren rozriznyayut rizni vidi simetriyi Dzerkalna simetriya Ilyustraciya dzerkalnoyi simetriyi Dzerkalnoyu nazivayetsya simetriya shodo operaciyi vidbittya vidnosno ploshini abo v planimetriyi liniyi U planimetriyi cej tip simetriyi nazivayut osovoyu Simetriya obertannya Simetriyeyu obertannya nazivayetsya simetriya shodo povorotu na pevnij kut vidnosno pevnoyi liniyi yaka nazivayetsya vissyu obertannya Yaksho figura simetrichna shodo povorotu na bud yakij kut yiyi nazivayut aksialno simetrichnoyu Prikladom aksialno simetrichnoyi figuri ye kolo a v trivimirnomu prostori cilindr obertannya Yaksho figura simetrichna vidnosno povorotu tilki na pevni kuti todi velichina cih kutiv viznachayetsya formuloyu 2p N displaystyle 2 pi N de N displaystyle N cile chislo oskilki pri povoroti na kut 2p displaystyle 2 pi figura zavzhdi nakladayetsya sama na sebe Vidpovidni osi obertannya nazivayut osyami simetriyi N go poryadku Centralna simetriya Ilyustraciya centralnoyi simetriyi Geometrichna figura maye centralnu simetriyu shodo pevnoyi tochki yaka nazivayetsya centrom simetriyi yaksho dlya bud yakoyi tochki figuri isnuye insha tochka roztashovana na liniyi sho spoluchaye danu tochku z centrom z inshogo boku vid centra na odnakovij vidstani U planimetriyi dlya dvovimirnoyi figuri centralna simetriya ekvivalentna isnuvannyu osi obertannya drugogo poryadku tobto simetriyi shodo povorotu na 180 U stereometriyi dlya trivimirnoyi figuri centralna simetriya ye simetriyeyu shodo skladenoyi operaciyi povorotu na 180 shodo dovilnoyi osi yaka prohodit cherez centr simetriyi ta dzerkalnogo vidbittya v ploshini perpendikulyarnij cij osi Translyacijna simetriya Translyacijnoyu simetriyeyu nazivayut simetriyu shodo paralelnogo perenesennya u pevnomu napryamku na pevnu vidstan Translyacijnu simetriyu mayut gratki Granichnim vipadkom translyacijnoyi simetriyi ye odnoridnist prostoru Odnoridnij prostir nakladayetsya sam na sebe pri dovilnomu zmishenni Kovzna simetriya Priklad kovznoyi simetriyi Kovzna simetriya kombinaciya vidbittya vidnosno pryamoyi i perenesennya na vektor paralelnij do ciyeyi pryamoyi Zmina poryadku operacij daye takij zhe rezultat Zvidsi mozhna vvazhati vidbittya okremim vipadkom kovznoyi simetriyi z nulovim vektorom paralelnogo perenesennya Cej rozdil potrebuye dopovnennya cherven 2011 U matematiciDokladnishe Simetriya v matematici Rozdil matematiki sho vivchaye zagalni vlastivosti operacij simetriyi nazivayetsya teoriyeyu grup Oskilki bagato grup gomomorfni grupi matric to zagalni vlastivosti simetriyi konkretnogo matematichnogo ob yekta chasto zvodyatsya do simetriyi matric Matrici zokrema mozhut buti simetrichnimi abo kososimetrichnimi shodo operaciyi transponuvannya Dlya matric iz kompleksnimi elementami ci ponyattya uzalalneni yak ermitovi ta kosoermitovi matrici Simetriya u fiziciDokladnishe Simetriya fizika Simetriya u fiziciPeretvorennya Vidpovidna invariantnist Vidpovidnij zakon zberezhennya Translyaciyi chasu Odnoridnist chasu energiyi C P CP i T simetriyi Izotropnist chasu parnosti Translyaciyi prostoru Odnoridnist prostoru impulsu Obertannya prostoru Izotropnist prostoru momentu impulsu Grupa Lorenca busti Vidnosnist Lorenc kovariantnist ruhu centra mas Kalibruvalne peretvorennya Kalibruvalna invariantnist zaryadu Ponyattya simetriyi vidigraye veliku rol u fizici Persh za vse slid vidznachiti prostorovu simetriyu yakoyu mozhut harakterizuvatisya fizichni ob yekti Tut slid rozriznyati simetriyu shodo translyaciyi simetriyu shodo dzerkalnogo vidobrazhennya simetriyu shodo povorotiv gvintovu simetriyu tosho Osoblivim vidom simetriyi ye izotropnist nezalezhnist vlastivostej fizichnoyi sistemi vid napryamku odnoridnist nezalezhnist vlastivostej fizichnoyi sistemi vid tochki prostoru Specifichnim dlya fiziki vidom simetriyi ye invariantnist fizichnih zakoniv shodo viboru sistemi vidliku yaka lezhit v osnovi teoriyi vidnosnosti Inshim vidom simetriyi yakij zustrichayetsya v fizici ye simetriya shodo zamini napryamku koordinatnih osej sho lezhit v osnovi principu parnosti Simetriya vlastivostej kvantovomehanichnoyi sistemi shodo perestanovki chastinok miscyami lezhit v osnovi principu nerozriznyuvanosti chastinok Dlya bagatoh fizichnih sistem takozh harakterni svoyi osoblivi prihovani tipi simetriyi U fizici elementarnih chastinok ce zokrema kalibruvalna invariantnist simetriya chastinok vidnosno pevnogo tipu peretvoren zavdyaki yakij mozhna vstanoviti vnutrishnyu strukturu u velikij kilkosti vidkritih fizikami elementarnih chastinok Isnuyut gipotezi simetriyi mizh dvoma fundamentalnimi tipami chastinok bozonami ta fermionami yaki otrimali nazvu supersimetriyi Za teoremoyu Neter kozhnij simetriyi fizichnoyi sistemi vidpovidaye integral ruhu Vnaslidok cogo simetriyi Vsesvitu pov yazani iz zakonami zberezhennya Nezvazhayuchi na vazhlivist simetriyi u fizichnih procesah svit u yakomu mi zhivemo v pevnih aspektah suttyevo nesimetrichnij Napriklad u vidomomu nam Vsesviti isnuye perevaga chastinok nad antichastinkami Cya asimetriya vinikla na rannih etapah rozvitku Vsesvitu pid chas bariogenezisu ta leptogenezisu Yiyi prichini dosi she ne zrozumili Slabka vzayemodiya nesimetrichna vidnosno hiralnosti tobto pravozakruchenosti j livozakruchenosti chastinok zokrema nejtrino Suchasni fizichni teoriyi namagayutsya poyasniti viniknennya taki yavisha spontannim porushennyam simetriyi Insha suttyeva asimetriya u fizici pov yazana zi striloyu chasu tobto z tim sho Vsesvit ruhayetsya vid minulogo do majbutnogo Cya asimetriya shodo zamini napryamku chasu proyavlyayetsya u drugomu zakoni termodinamiki tverdzhenni pro nespadannya entropiyi v izolovanih sistemah Simetriya v biologiyiDokladnishe Simetriya biologiya ta Simetriya oblichchya Simetrichnist najvazhlivisha harakteristika budovi tila tvarin ce vlastivist organizmu skladatisya iz chastin yaki dzerkalno povtoryuyutsya i roztashovani uzdovzh uyavnoyi ploshini sho prohodit kriz tilo Tip simetriyi viznachaye ne lishe zagalnu budovu tila a mozhlivist rozvitku sistem organiv tvarini Yaksho tilo tvarini mozhna uyavno podiliti na dvi polovini pravu ta livu to taku tvarinu nazivayut dvobichnosimetrichnoyu Cej tip simetriyi vlastivij perevazhnij bilshosti vidiv tvarin a takozh lyudini Yaksho tilo tvarini mozhna uyavno podiliti ne odniyeyu a kilkoma ploshinami simetriyi uyavnimi dzerkalami na rivni chastini to taku tvarinu nazivayut radialno simetrichnoyu Cej tip simetriyi traplyayetsya znachno ridshe Radialno simetrichni tvarini mayut prostishu budovu peresuvayutsya povilno povzannyam U takih tvarin vidsutni visokorozvineni organi chuttya ta skladni sistemi organiv Neznachna yih ruhlivist pasivnij sposib zhittya ne spriyayut rozvitku sistem organiv i vdoskonalennyu nervovoyi regulyaciyi organizmu Aktinomorfiya vid dav gr ἀktis actis promin i morfh morphe forma lat actinomorphia yavishe koli cherez organ mozhna provesti ne menshe dvoh ploshin simetriyi Zigomorfiya vid dav gr zygon zygon yarmo i morfh morphe forma lat zygomorphia yavishe koli cherez organ mozhna provesti lishe odnu ploshinu simetriyi Asimetriya lat asymmetria yavishe koli cherez organ ne mozhna provesti zhodnoyi ploshini simetriyi Simetriya u himiyiDokladnishe Molekulyarna simetriya Molekula formaldegidu ta elementi yiyi simetriyi Molekulyarna simetriya vlastivist budovi molekul yaka proyavlyayetsya v tomu chi mozhna yaki nebud chastini molekuli pominyati miscyami bez zmini yiyi viglyadu u cilomu Yaksho tak to molekula ye simetrichnoyu a taki chastini ye ekvivalentnimi za simetriyeyu Isnuye chotiri sposobi sumishennya ekvivalentnih chastin molekuli sho nazivayut operaciyami simetriyi 1 Proste povertannya navkolo osi sho prohodit cherez molekulu na kut 2p n textstyle 2 pi n Cyu operaciyu nazivayut vlasnim obertannyam i poznachayut Cn Ochevidno sho yaksho yiyi povtoriti n raziv molekula projshovshi usi polozhennya povernetsya do pochatkovoyi oriyentaciyi 2 Vidbittya usih atomiv u ploshini sho prohodit cherez molekulu Cyu operaciyu nazivayut vidbittyam i poznachayut s 3 Vidbittya usih atomiv cherez centr molekuli Cyu operaciyu nazivayut inversiyeyu i poznachayut i 4 Kombinaciya u dovilnomu poryadku obertannya molekuli navkolo osi sho prohodit cherez molekulu na kut 2p n textstyle 2 pi n i vidbittya vsih atomiv u ploshini yaka ye perpendikulyarnoyu do osi obertannya nazivayut nevlasnim obertannyam i poznachayut Sn Simetriya molekul vidigraye fundamentalnu rol v molekulyarnij spektroskopiyi dozvolyaye provoditi klasifikaciyu rivniv energiyi molekul viznachiti pravila vidboru dlya molekul istotno sprostiti analitichni i chislovi rozrahunki vnutrishnih energij ta imovirnostej perehodiv molekul Ponyattya molekulyarnoyi simetriyi sho zastosovuyetsya na molekulyarnomu rivni zazvichaj ne vrahovuye znaki yadernih spiniv istotnih v yavishah yadernogo magnitnogo rezonansu Simetriya u kristalografiyiDokladnishe Kristalichna gratka ta Singoniya Simetriya u kristalografiyi zakonomirnist u roztashuvanni granej reber i vershin kristala zavdyaki yakij vin maye kilka rivnih chastin Ploshini pryami tochki yakimi koristuyutsya dlya viyavlennya simetriyi kristaliv nazivayut elementami simetriyi Najprostishimi elementami simetriyi ye ploshina sho dilit kristal na dvi dzerkalno rivni chastini i vis pryama liniya pri povertanni navkolo yakoyi kilka raziv povtoryuyutsya rivni chastini kristala Povna sukupnist elementiv simetriyi skinchennoyi figuri nazivayetsya vidom simetriyi Dovedeno sho v kristalografiyi mozhlivi 32 vidi simetriyi yaki ob yednuyutsya u 7 singonij Simetriya v arhitekturi ta mistectviSimetriya mavzoleyu Tadzh MahalFragment ozdoblennya mavzoleyu Tadzh MahalSimetriya minornogo i mazhornogo ladiv u muzici Simetriya odin z vidiv garmonijnoyi kompoziciyi v arhitekturi ta mistectvi Simetriya ye odnim z vazhlivih zasobiv dosyagnennya yednosti i hudozhnoyi viraznosti kompoziciyi v hudozhnomu proektuvanni Vona pritamanna tvoram arhitekturi vlastiva sporudi v cilomu abo yiyi chastini ta okremim detalyam i dekorativno uzhitkovogo mistectva Vikoristovuyetsya takozh yak osnovnij prijom pobudovi bordyuriv i ornamentiv Vikoristovuyutsya dzerkalna osova gvintova promenevo gvintova simetriyi Najposhirenishoyu v arhitekturi ye dzerkalna simetriya Yij pidporyadkovani sporudi Starodavnogo Yegiptu i hrami antichnoyi Greciyi amfiteatri termi baziliki i triumfalni arki rimlyan palaci i cerkvi Renesansu tak samo yak i chislenni sporudi suchasnoyi arhitekturi Islamski budivli taki yak Tadzh Mahal chi ye prikladom kompleksnogo vikoristannya simetriyi yak u konstrukciyi tak i v ornamentaciyi Mavritanski budivli taki yak arhitekturno parkovij ansambl Algambra prikrasheni skladnimi vizerunkami vikonanimi z vikoristannyam viddzerkalen ta obertan Princip simetriyi duzhe chasto vikoristovuyetsya spilno z principom zolotogo peretinu Takim prikladom mozhe sluguvati kartina Rafaelya Zaruchini Mariyi 1504 abo mozayika Penrouza Simetriya zajmaye chilne misce u kompoziciyah tvoriv prikladnogo mistectva takih yak vishivka chi rizblennya po derevu de znajshli zastosuvannya osova centralna translyacijna ta kovzna vidi simetriyi U literaturnij tvorchosti simetriya sposterigayetsya u formah palindromiv slovi chisli nabori simvoliv slovospoluchenni abo virshovanomu ryadku sho odnakovo chitayetsya v oboh napryamkah zliva napravo ta sprava nalivo Priyemne zvuchannya v muzici neridko zumovlene simetrichnistyu melodiyi U muzici ye bagato momentiv pov yazanih iz simetriyeyu u pershu chergu ce notna notaciya sam notnij stan ye simetrichnim ye simetriya mazhornogo ta minornogo ladiv zustrichayutsya fragmenti muzichnih tvoriv iz roztashuvannyam not na notnomu stani za pevnimi vidami simetriyi a same rakohidnij ruh simetriya vidnosno ploshini perpendikulyarnoyi do notnogo stanu obernennya intervalu vihodit iz zvukovoyi poslidovnosti yaka zaznaye dzerkalnogo vidbittya u ploshini paralelnij do serednoyi liniyi notnogo stanu rakohidne obernennya vidbittya u dzerkalnij chastini zminyuyetsya na protilezhnu spryamovanist zvukovogo ryadu za visotoyu translyacijnij vid simetriyi muzichna fraza melodiya chi krupnishi fragmenti tvoru povtoryuyetsya zalishayuchis nezminnoyu rakohidne obernennya iz dzerkalnim vidbittyam pri comu notnij arkush mozhna povernuti na 180 ale melodiya zalishitsya nezminnoyu Odnim z pershih ponyattya simetriyi u muzici zaprovadiv rosijskij i radyanskij muzichnij diyach E K Rozenov V kinci XIX stolittya analizuyuchi tvori J S Baha vin zrobiv visnovok sho v nih panuyut zakon zolotogo peretinu i zakon simetriyi Simetriya u socialnih vzayemodiyahSimetriya u religijnih simvolah ryad 1 hristiyanskomu yudejskomu daosistskomu ryad 2 Islamskomu buddistskomu sintoyistskomu ryad 3 sikhskomu bahayistskomu induyistskomu Mozhna sposterigati simetrichnu prirodu socialnih vzayemodij yaki chasto poyednuyutsya i z asimetrichnimi vplivami u riznih kontekstah Ob yektivnoyu osnovoyu socialnoyi vzayemodiyi ye spilnist chi rozbizhnist interesiv blizkih chi viddalenih cilej poglyadiv Ci vzayemodiyi mistyat u sobi ocinyuvannya vzayemnosti spivperezhivannya simpatiyi dokoru dialogu povagi spravedlivosti chi pomsti Refleksivna rivnovaga ye balansom sho mozhe buti dosyagnutij cherez doradche vzayemne koriguvannya mizh osnovnimi principami i konkretnimi prijnyatimi rishennyami Simetrichni vzayemodiyi posilayut signali mi vsi odnakovi v toj chas yak asimetrichni vzayemodiyi virazhayut dumku Ya ye vinyatkovim krashim nizh ti Rivnopravni vidnosini napriklad sho mozhut regulyuvatisya zolotim pravilom morali gruntuyutsya na simetriyi v toj chas yak silovi vidnosini vidnosini primusu bazuyutsya na asimetriyi Simetrichni vidnosini mozhut do pevnoyi miri pidtrimuvatis prostimi strategiyami teoriya igor yak u simetrichnih igrah takih yak strategiyi zub za zub oko za oko Pripuskayetsya sho tendenciya lyudej bachiti metu v simetriyi ye odniyeyu z prichin chomu simetriya chasto ye nevid yemnoyu chastinoyu simvoliv svitovih religij Deyaki z bagatoh prikladiv zobrazheni na malyunku pravoruch Div takozhPsevdosimetriya u mineralogiyi Simetriya v matematici Dzerkalna simetriya teoriya strun Asimetriya asimetriya vseredini simetriyi vtrata deyakih elementiv simetriyi chastkove zniknennya simetriyi Izotropiya Samopodibnist Rekursiya Chislo simetriyi Simetriya oblichchya Simetriya biologiya Simetriya fizika PrimitkiYakoyu b zaraz bula ukrayinska mova yakbi vona ne zaznala politiki lingvocidu vid SRSR Simetriya 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine Ukrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Aristotel Metafizika grec Metὰ tὰ fysika kn I gl 5 passim Le Korbyuze Arhitektura XX veka Per s fr Izd 2 e M Progress 1977 303 s Sirotkin Yu I Shaskolskaya M P Osnovy kristallofiziki M Nauka 1979 640 s Frauenfelder G Henli E Subatomnaya fizika M Mir 1979 736 s Glosarij terminiv z himiyi uklad J Opejda O Shvajka In t fiziko organichnoyi himiyi ta vuglehimiyi im L M Litvinenka NAN Ukrayini Doneckij nacionalnij universitet Don Veber 2008 738 s ISBN 978 966 335 206 0 Cotton F Albert Chemical Applications of Group Theory 3rd edition New York Wiley 1990 ISBN 978 0471510949 Williams Symmetry in Architecture 14 bereznya 2009 u Wayback Machine Members tripod com 1998 12 31 Retrieved on 2013 04 16 Aslaksen Mathematics in Art and Architecture 7 travnya 2015 u Wayback Machine Math nus edu sg Retrieved on 2013 04 16 Derry Gregory N 2002 Princeton University Press s 269 ISBN 978 1 4008 2311 6 Arhiv originalu za 22 sichnya 2020 Procitovano 11 lyutogo 2017 Sinergetichna paradigma prostoru kulturi monografiya 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine Nauk red kolegiya V D Shulgina nauk red I V Kuznyecova nauk red vidp za vip O V Yakovlev uporyad K NAKKKiM 2014 400 c ISBN 978 966 452 175 5 Serdunich L A Vitrazhi zhartiv Tekst palindromi L A Serdunich K Vid vo Sergiya Pantyuka 2013 100 s Knigozbirnya ukrayinskogo palindromu ISBN 978 617 564 017 3 Simmetriya v iskusstve 31 lipnya 2016 u Wayback Machine ros Rozenov E K I S Bah i ego rod Biograficheskij ocherk M 1911 Norman Daniels cite SEP url id reflective equilibrium Reflective Equilibrium 11 bereznya 2017 u Wayback Machine Stanford Encyclopedia of Philosophy Emotional Competency 4 grudnya 2017 u Wayback Machine Symmetry Lutus P 2008 Arhiv originalu za 13 bereznya 2016 Procitovano 28 veresnya 2015 DzherelaZiman S M Mosyakin S L Bulah O V Carenko O M Ilyustrovanij dovidnik z morfologiyi kvitkovih roslin Uzhgorod Medium 2004 156 s Vejl G Simmetriya M Nauka 1968 192 s Banker F Jensen P Simmetriya molekul i spektoroskopiya Per s angl Panchenko Yu N Petrova S V Pupysheva V I i dr Izd 2 e pererab M Mir Nauchnyj mir 2005 763 s ISBN 5 03 003546 X ISBN 5 89176 243 9 ISBN 0 660 17519 3 Vigner E Etyudy o simmetrii Per s angl Yu A Danilova Pod red Ya A Smorodinskogo M Mir 1972 318 s Shubnikov A V Kopcik V A Simmetriya v prirode i iskusstve Uchebnoe posobie 2 e izd ispr i dop M Nauka 1972 349 s Shafranovskij I I Simmetriya v prirode I I Shafranovskij L Nedra 1985 167 s Ikonnikov A Stepanov G Osnovy arhitekturnoj kompozicii M Iskusstvo 1971 224 s PosilannyaVikicitati mistyat vislovlyuvannya na temu SimetriyaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu SimetriyaO Kravchenko Simetriya Filosofskij enciklopedichnij slovnik V I Shinkaruk gol redkol ta in Kiyiv Institut filosofiyi imeni Grigoriya Skovorodi NAN Ukrayini Abris 2002 S 580 742 s 1000 ekz BBK 87ya2 ISBN 966 531 128 X Simetriya Ukrayinska mala enciklopediya 16 kn u 8 t prof Ye Onackij Nakladom Administraturi UAPC v Argentini Buenos Ajres 1965 T 7 kn XIV Literi Sen Sti S 1729 1000 ekz Chuvasheva E S Slozhnost i simmetriya 22 listopada 2015 u Wayback Machine angl angl ISIS Symmetry 22 veresnya 2009 u Wayback Machine angl