Спонтанне порушення симетрії

Спонтанне порушення симетрії — спосіб порушення симетрії фізичної системи, за якого початковий стан та рівняння руху системи інваріантні відносно деяких перетворень симетрії, але в процесі еволюції система переходить у стан, для якого інваріантність відносно деяких (усіх) перетворень початкової симетрії вже є порушеною.

Рисунок «Двох'ямний потенціал». Ілюстрація механізму спонтанного порушення симетрії. Система може самовільно звалитися в будь-яку з двох потенційних ям.

Спонтанне порушення симетрії завжди пов'язане з виродженням стану з мінімальною енергією (вакууму). Множина всіх вакуумів має початкову симетрію, однак кожен вакуум окремо — ні. Наприклад, кулька в двох'ямковому жолобі скочується з нестійкого симетричного стану в стійкий стан із мінімальною енергією або вліво, або вправо, руйнуючи при цьому симетрію відносно зміни лівого на праве (інверсія).

Спонтанне порушення симетрії відбувається (псевдо)випадковим чином і зумовлене флуктуаціями. Це явище надзвичайно поширене в природі. Безліч різноманітних прикладів спонтанного порушення симетрії можна навести з класичної механіки.

Однак, тоді як у механіці спонтанне порушення симетрії має радше описове значення, у теорії поля це є основний принцип, що забезпечує генерацію мас калібрувальних бозонів. Більше того, будуючи ефективні лагранжіани в квантовій теорії поля, можна деякі мезони ототожнити з відповідними голдстоунами (псевдогодстоунами). Нижче розглянуто приклад ${\displaystyle \pi }$-мезона як голдстоуна при порушенні деякої симетрії квантової хромодинаміки з безмасовими кварками.

Так само речовину в певній термодинамічній фазі можна розглядати як квантове поле з відповідною симетрією. Тоді спонтанне порушення симетрії представляється як фазовий перехід.

Існування в природі чотирьох фундаментальних взаємодій теж є наслідком порушення симетрії — гіпотетично при досить великих енергіях (~100 ГеВ) електромагнітні й слабкі ядерні сили об'єднуються в одну електрослабку взаємодію, а при ще більших енергіях (~10¹⁴ ГеВ) об'єднуються електрослабка і сильна ядерна взаємодії у взаємодію Великого об'єднання.

Механізм спонтанного порушення симетрії життєво необхідний для можливості існування суперсиметрії. Непорушена суперсиметрія передбачає існування у кожної відомої частинки суперпартнера з такою ж самою масою, чого не спостерігається в експериментах. Вважається, що через порушення суперсиметрії суперчастинки набувають великої маси, недосяжної для сучасних експериментів.

Вакууми можуть мати доволі цікаву структуру. Квантова теорія поля дозволяє існування польових вакуумних конфігурацій зі спонтанно порушеними вакуумами, які змінюються від точки до точки. Такими станами є наприклад магнітні монополі, космічні струни, . Стани такого типу спостерігаються у фізиці конденсованого стану, наприклад, стінки між феромагнітними доменами. При складних багатоямних конфігураціях потенціалу існує кілька вакуумів. Однак справжнім вакуумом є лише стан із найменшою енергією. Усі інші вакууми є метастабільними й переходять у справжній шляхом квантового тунелювання.

Спонтанне порушення симетрії може відігравати велику роль і в гравітації. Вважається, що космологічна інфляція спричинена переходом з в істинний при спонтанному порушенні симетрії Великого Об'єднання. Крім того спонтанне порушення суперсиметрії () передбачає теорії масивної гравітації. Також розвиваються моделі гравітаційного поля метричного тензора як хіггс-голдстоунівського поля деякої порушеної симетрії.

Таким чином спонтанне порушення симетрії є надзвичайно поширеним явищем в усіх галузях фізики, починаючи від класичної механіки, закінчуючи квантовою гравітацією.

Прості приклади спонтанного порушення симетрії

У класичній механіці

Крісло

Рівняння, які описують рух атомів будь-якого несиметричного фізичного тіла, наприклад, крісла, інваріантні відносно тривимірних поворотів, однак розв'язок цих рівнянь — реальне крісло — має певну орієнтацію в просторі.

Скочування кульки у двохямному жолобі

Кулька, що перебуває посередині між ямами двохямного жолоба, рано чи пізно під впливом збурень скотиться в один з них, порушуючи симетрію відносно заміни ${\displaystyle x\rightarrow -x.}$

Олівець на столі

Олівець, поставлений на торець на столі, не має жодного вибраного напряму в площині стола, однак під дією збурень він упаде, вибравши про цьому якийсь псевдо-випадковий (залежний від флуктуацій) напрям.

Стрижень під пресом

Круглий металевий стрижень, затиснутий між пластинами преса, при достатньому навантаженні зігнеться, причому напрям згину довільний і залежить від флуктуацій. Початкова осьова симетрія стрижня спонтанно порушується.

Розтягнута гумка

Розтягування гумки приводить до її видовження і зменшення в ширині. При певному значенні розтягуючої сили вона рветься в певному місці, хоча для ідеальної гумки всі місця є рівноімовірними. Причиною «порушення» симетрії є флуктуації товщини гумки — рветься, там де тонше. Ідеальна гумка розтягнулася б до ланцюжка з ${\displaystyle N}$ атомів і порвалася б, коли енергія розтягуючої сили стала б рівною сумарній енергії зв'язку атомів ${\displaystyle E=N\varepsilon .}$

У фізиці конденсованого стану

Кристалізація

При кристалізації рідини, яка характеризується найвищою, ізотропною, симетрією, утворюється кристал, у якому існують певні виділені напрямки відносно кристалічних осей. Орієнтація кристалічних осей у загальному випадку випадкова або зумовлена слабкими зовнішніми факторами чи флуктуаціями. Також симетрія відносно трансляцій на довільний вектор понижується до трансляційної симетрії на вектор, який є лінійною комбінацією векторів кристалічної ґратки.

Метастабільні фази

Рідина при охолодженні нижче температури кристалізації перетворюється на кристал. Однак рідина без домішок може бути охолоджена нижче температури кристалізації. Такий стан досягається завдяки відсутності центрів кристалізації — немає зародків, на яких могли б утворюватися кристали. Утворюється метастабільна фаза переохолодженої рідини.

З точки зору симетрії, ізотропна і трансляційна симетрія рідини мала б знизитися до симетрії кристалічної ґратки, однак нема флуктуацій (центрів кристалізації), які б порушили дану симетрію.

Аналогічна ситуація виникає в пересиченій парі чи перегрітій рідині. Такі метастабільні стани використовуються наприклад в бульбашкових камерах та камерах Вільсона.

Фазові переходи

Нагріті феромагнетики (вище температури Кюрі) перебувають у парамагнітному стані, де вибраного напряму намагніченості немає, однак охолоджуючись нижче температури Кюрі феромагнетик отримує спонтанну намагніченість (відбувається фазовий перехід), напрям якого (за відсутності зовнішнього магнітного поля) є випадковим і залежить від флуктуацій.

Спонтанне порушення симетрії відбувається майже при всіх фазових переходах (див. нижче).

У квантовій механіці

Двощілинний експеримент

Докладніше: Двощілинний експеримент

При падінні квантової частинки на дві щілини, біля кожної з яких розміщений детектор спрацьовує (істинно випадковим чином) один з детекторів. Симетрія випадково порушується. Цей приклад суттєво відрізняється від попередніх тим, що, виходячи з сучасних уявлень (див. Теорема Белла, наявність флуктуацій для спонтанного порушення симетрії не є обов'язковою: природа реалізує проходження частинки через одну з можливих щілин абсолютно випадковим чином.

Вимірювання у квантовій механіці

Докладніше: Постулат про вимірювання

Прямим узагальненням попереднього прикладу на довільне вимірювання стану в квантовій механіці. У квантовій теорії, згідно з постулатом про вимірювання, вимірювання полягає в редукції (миттєвому переході) квантового стану ${\displaystyle |\psi \rangle }$ в один з можливих власних станів ${\displaystyle |a_{n}\rangle }$ оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ вимірюваної фізичної величини ${\displaystyle {A}}$. Стан при цьому випадковим чином (з ймовірністю ${\displaystyle |\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2}}$) переходить у стан з порушеною початковою симетрією.

Декогеренція

Докладніше: Квантова декогеренція

Іншим прикладом спонтанного порушення симетрії в квантовій механіці, але вже пов'язаним з наявністю флуктуацій, є декогеренція. Через наявність зовнішніх флуктуацій чистий стан системи переходить в змішаний з порушенням початкових симетрій. Математично це відповідає тому, що декогеренція спричиняє занулення недіагональних елементів матриці густини.

Для прикладу, розглянемо квантовомеханчіний атом у збудженому стані. Атом спонтанно випромінює фотон і переходить на нижчий енергетичний рівень. Якщо атом перебуває в сферично симетричному ${\displaystyle s-}$стані, то він випромінює фотон у довільному напрямку і сам перейде в неізотропний ${\displaystyle l-}$стан зі спонтанно порушеною симетрією відносно поворотів. Причиною порушення симетрії є наявність навколишніх частинок, а також випадкові флуктуації фізичного вакууму.

Для ілюстрації декогеренції можна також розглянути ансамбль однакових квантових станів. Через наявність зовнішніх флуктуацій після певного часу системи перебуватимуть в різних станах.

Саме знищення недіагональних елементів відповідає за спонтанне порушення симетрії в першому прикладі даного розділу «Крісло».

Спонтанне порушення калібрувальної симетрії

Рисунок «Лінійна сигма-модель». Приклад неінваріантного вакууму — лінійна сигма-модель з групою симетрії SO(2).

Порушення глобальної калібрувальної симетрії

У теорії поля зазвичай розглядають динаміку поля в околі вакуумного стану (мінімуму потенційної енергії), вважаючи самі поля малими. На практиці, це веде до розкладу функції Лагранжа відповідного поля в ряд Тейлора в околі мінімуму потенціальної енергії і нехтування доданками вищих степенів у розкладі. При цьому вибір вакууму може бути неоднозначним (див. Рисунок «Лінійна сигма модель»: сірим кольором показано можливі вакуумні стани).

Наприклад, розглянемо лагранжіан комплексного (зарядженого) ^[en] ${\displaystyle \varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2},}$ де ${\displaystyle \varphi ^{1},\;\varphi ^{2}}$ є дійсними полями,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -V(\varphi ^{*}\varphi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{1}\partial _{\mu }\varphi ^{1}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{2}\partial _{\mu }\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\right),}$

де ${\displaystyle V}$ — потенціал взаємодії, грецькі індекси всюди пробігають значення ${\displaystyle 0,1,2,3}$. Цей лагранжіан є інваріантним відносно глобальних калібрувальних перетворень

${\displaystyle \varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right|,}$

де ${\displaystyle \alpha }$ є дійсною константою. Для даної моделі вакуум не є інваріантним відносно таких калібрувальних перетворень, якщо функція ${\displaystyle V(x)}$ має мінімум в точці відмінній від нуля.

Справді, якщо ${\displaystyle V(x)}$ має мінімум в нулі, тоді точці вакууму однозначно відповідає ${\displaystyle \varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0.}$ Зовсім інша ситуація виникає у випадку, коли ${\displaystyle x_{min}=a^{2}\neq 0.}$. У цьому випадку мінімуму потенціалу відповідає не одна точка, а континуум точок

${\displaystyle (\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2}.}$

Відповідним поворотом системи координат простору зарядових ступенів вільності поля Клейна — Ґордона завжди можна привести вакуум до вигляду

${\displaystyle \varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T}.}$

Легко бачити, що хоча лагранжіан (зокрема, наближений) є інваріантним відносно калібрувальних перетворень, вакуум таким вже не є. Система переходить у випадково вибраний (насправді залежно від флуктуацій) стан. У цьому і полягає спонтанне порушення глобальної калібрувальної симетрії.

Приклад 1. Порушення симетрії відносно інверсії знаку дійсного поля Клейна — Ґордона  

Розглянемо найпростіший приклад спонтанного порушення симетрії для дійсного поля Клейна — Ґордона, яке задається лагранжіаном

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}\right),}$

де ${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle \mu ^{2}<0}$. Цей лагранжіан є інваріантним відносно заміни ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$. Поле в цьому випадку має два вакууми, що відповідає наявності в потенційної енергії двох мінімумів при ${\displaystyle \varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda }}}$. Але жоден з вакуумів не є інваріантним відносно початкової симетрії інверсії знаку поля. В цьому й полягає спонтанне порушення симетрії (зверніть увагу, що інверсія не є калібрувальним перетворенням).

Внаслідок симетрії лагранжіана відносно інверсії знаку поля, можна обрати будь-який знак вакууму. Не зменшуючи загальності можна обрати "+". Розклавши поле в околі вакуумного стану ${\displaystyle \varphi =a+\phi (x)}$ і вважаючи ${\displaystyle \phi (x)}$ малою величиною, лагранжіан можна записати

${\displaystyle {\mathcal {L}}'=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),}$

де ${\displaystyle m={\sqrt {2\lambda a^{2}}}={\sqrt {-2\mu ^{2}}}}$.

У цьому прикладі необхідно зауважити ще одну важливу деталь. Лагранжіан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ описує безмасове поле ${\displaystyle \varphi }$ з потенціалом взаємодії ${\displaystyle V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}}$. Безмасовим поле ${\displaystyle \varphi }$ є тому, що знак ${\displaystyle \mu ^{2}<0}$ збігається зі знаком кінетичної енергії, а тому не може відповідати за масу. Однак вже лагранжіан ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$ описує вільне поле Клейна — Ґордона з масою ${\displaystyle m={\sqrt {-2\mu ^{2}}}}$. Таким чином спонтанне порушення симетрії може генерувати масу поля. Далі це явище буде досліджено більш детально.

Нагадаємо, що калібрувальні перетворення утворюють групу Лі, причому компактну. Розглянемо лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i}),}$

де ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — ${\displaystyle N}$ скалярних дійсних полів. Нехай лагранжіан інваріантний відносно перетворень ${\displaystyle \omega _{i}^{j}}$ калібрувальної групи ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j}.}$

Випадок інваріантного вакууму

Якщо ${\displaystyle V}$ має мінімум у точці ${\displaystyle \varphi _{i}=0}$, то легко бачити, що вакуум є інваріантним відносно всіх калібрувальних перетворень (дія будь-якої матриці на нульовий вектор дає знову нульовий вектор). У такому випадку можна розкласти ${\displaystyle V}$ в ряд Тейлора в околі нуля. Припускаючи, що ${\displaystyle V(0)=0}$, а також враховуючи, що перші похідні в точці екстремуму дорівнюють нулю, а матриця других похідних ${\displaystyle (m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(0)}$ в точці мінімуму є додатно визначеною, отримаємо

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3}).}$

Здійснюючи відповідне ортогональне перетворення ${\displaystyle \varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j}}$ можна масову матрицю ${\displaystyle m^{2}}$ привести до діагонального вигляду. Таким чином отриманий лагранжіан описуватиме ${\displaystyle N}$ дійсних скалярних полів з масами, які визначаються власними значеннями матриці ${\displaystyle m^{2}}$.

Випадок неінваріантного вакууму.

Зовсім іншою є ситуація, коли потенціал ${\displaystyle V}$ має мінімум не в нулі. В такому випадку завжди існує довільність у виборі вакуумного стану. Вакуум буде інваріантний лише відносно певної підгрупи ${\displaystyle H}$ калібрувальної групи ${\displaystyle G}$. Групу ${\displaystyle H\subset G}$ називають малою групою. Відбувається порушення локальної симетрії калібрувальної групи ${\displaystyle G}$. Розглянемо приклад порушення глобальної симетрії, що задається калібрувальною групою тривимірних поворотів ${\displaystyle SO(3)}$ (SO(3)), в .

Приклад 2. Порушення глобальної калібрувальної симетрії SO(3)  

Розглянемо лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},}$

де присутні три дісних скалярних поля ${\displaystyle \varphi _{i}}$. Лагранжіан такого вигляду називають лінійною сигма-моделлю. Ця модель є інваріантною відносно перетворень групи ${\displaystyle SO(3)}$ (ортогональні матриці з одиничним визначником). На вектор ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T}}$ елементи групи діють як матриці тривимірних поворотів. Вакуум цього поля вироджений і лежить на точці сфери

${\displaystyle \varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2}.}$

Відповідними перетвореннями системи координат завжди можна добитися вибору вакууму у вигляді

${\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T}.}$

Очевидно, що вакуум не є інваріантним відносно ${\displaystyle SO(3)}$, проте він є інваріантним відносно групи ${\displaystyle SO(2)\subset SO(3)}$ поворотів навколо осі ${\displaystyle \varphi _{3}}$.

Розкладемо поле в околі вакууму ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\phi (x)}$, вважаючи ${\displaystyle \phi (x)}$ малою величиною. Лагранжіан при цьому перепишеться

${\displaystyle {\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),}$

що відповідає двом безмасовим скалярним полям ${\displaystyle \phi _{1}}$, ${\displaystyle \phi _{2}}$ та полю ${\displaystyle \phi _{3}}$ з масою ${\displaystyle m=2{\sqrt {\lambda }}a}$.

Як бачимо порушення глобальної калібрувальної симетрії може генерувати масу поля.

Загалом можна показати, що має місце

Теорема Голдстоуна. При спонтанному порушенні глобальної калібрувальної симетрії виникають ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ безмасових скалярних полів ${\displaystyle \phi _{i}}$ та ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ масивних скалярних полів ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{i}}$. Тут ${\displaystyle N}$ є вимірністю вибраного представлення ${\displaystyle G}$ (фактично початкова кількість дійсних скалярних полів).

При цьому безмасові поля, які виникають при спонтанному порушенні глобальної калібрувальної симетрії називаються бозонами Голдстоуна. Ще раз підкреслимо, що їх кількість дорівнює кількості порушених симетрій.

Приклад 3. Порушення глобальної калібрувальної симетрії SO(N)  

Розглянемо, як і в попередньому прикладі, лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},}$

де присутні вже ${\displaystyle N}$ дійсних скалярних поля ${\displaystyle \varphi _{i}}$. Така модель є інваріантною відносно перетворень групи ${\displaystyle SO(N)}$.

При порушенні симетрії вакуум буде інваріантний відносно групи ${\displaystyle SO(N-1)\subset SO(N)}$. Вимірність групи ${\displaystyle SO(N)}$ рівна ${\displaystyle \dim SO(N)=N(N-1)/2}$. Тоді число бозонів Голдстоуна, які утворюються при стонтанному порушенні локальної симетрії рівне ${\displaystyle \dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1}$.

Отже, при спонтанному порушенні глобальної симетрії ${\displaystyle SO(N)}$ виникають ${\displaystyle N-1}$ бозонів Голдстоуна та один масивний бозон.

У випадку ${\displaystyle N=3}$ за теоремою Голдстоуна отримуємо 2 голдстоунівські бозони і одне масивне поле, що було безпосередньо перевірено в попередньому прикладі.

Доведення теореми Голдстоуна

Позначимо генератори малої групи як ${\displaystyle t_{H,a}}$ для фундаментального представлення групи ${\displaystyle G}$ чи ${\displaystyle T_{H,a}}$ для будь-якого іншого представлення. Тоді з умови інваріантності вакууму випливає, що ${\displaystyle \exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0}}$. Розкладаючи експоненту в ряд, отримаємо, що дія генераторів малої (непорушеної) групи на вакуум знищує вакуум

${\displaystyle T_{H,a}\varphi _{0}=0}$.

Ця умова є важливим критерієм непорушеної симетрії.

Решту генераторів групи ${\displaystyle G}$ позначимо як ${\displaystyle t_{G/H,a}}$ (чи ${\displaystyle T_{G/H,a}}$). Їх дія на вакуум не дає нуль, інакше б перетворення, згенеровані ними, залишали б вакуум інваріантним і належали малій групі. Можна ввести вектори ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0}}$. Їх є ${\displaystyle \dim G-\dim H}$, вони лінійно незалежні та утворюють базис в підпросторі голдстоунівських бозонів (порушених симетрій).

В усьому просторі зручно ввести ортонормований базис ${\displaystyle \{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}}$, де вектори ${\displaystyle e_{k}}$ є ортами голдстоунівського підпростору і складені з лінійних комбінацій векторів ${\displaystyle E_{k}}$, а ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ векторів ${\displaystyle {\widetilde {e}}_{k}}$ утворюють базис решти простору. Тоді скалярні поля можна розкласти в такому базисі

${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\widetilde {e}}^{k})_{i},}$

а лагранжіан в квадратичному наближенні має вигляд

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(\phi _{k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),}$

з якого явно не видно виконання теореми Голдстоуна. Однак з умови калібрувальної інваріантності мінімуму потенціалу (не плутати з вакуумом, мова йде про інваріантність значення потенціалу і його похідних)

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j}}}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0\Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0.}$

Для непорушеної симетрії ${\displaystyle T_{H,a}\varphi _{0}=0}$ і ця рівність очевидна, однак для порушених симетрій ${\displaystyle -iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0}$, а враховуючи, що з лінійних комбінацій ${\displaystyle E_{a}}$ отримуємо базис ${\displaystyle e_{a}}$ випливає ${\displaystyle e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}=0.}$ А тому лагранжіан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ перепишеться у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),}$

де ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}}$. Такі міркування власне доводять теорему Голдстоуна. Фактично це є розгляд спонтанного порушення симетрії в загальному випадку, який однак можна легко провести у випадку конкретної симетрії як у прикладах.

Порушення локальної калібрувальної симетрії

Докладніше: Механізм Хіггса

Розглянута вище теорема Голдстоуна стверджує, що при порушенні калібрувальної симетрії виникають безмасові безспінові бозони. Через відсутність таких частинок у природі, теорема Голдстоуна розглядалася як контраргумент проти порушених симетрій. Однак, як виявилося, коли порушується локальна, а не глобальна калібрувальна симетрія, то безмасові голдстоуни відсутні, а натомість калібрувальні векторні поля отримують масу. Спонтанне порушення локальної калібрувальної симетрії є важливим явищем в теорії поля, оскільки воно веде до набуття калібрувальними полями мас (нагадаємо, що самі по собі масові доданки для калібрувального поля не є калібрувально інваріантними, тому в лагранжіані поля з непорушеною симетрією вони відсутні). Такий механізм носить назву механізму генерації мас Хіггса.

Локальні перетворення відрізняються від глобальних наявністю координатної залежності ${\displaystyle \alpha =\alpha (x)}$. Така залежність приводить до виникнення в лагранжіані калібрувальних полів (у випадку зарядженого поля Клейна — Ґордона  — електромагнітного поля з групою симетрії ${\displaystyle U(1)}$, при розгляді трикомпонентного вектора скалярних полів з групою симетрії ${\displaystyle SU(3)}$ — калібрувального поля, яке можна ототожнити з колірним глюонним полем сильної ядерної взаємодії, тощо).

Розглянемо лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu },}$

де ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — набір ${\displaystyle N}$ скалярних полів, ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a}}$ — тензор відповідного калібрувального поля, ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\varphi _{i}=\partial _{\mu }\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j}\varphi _{j}}$ — коваріантна похідна (векторний потенціал в загальному є матрицею, яка діє на векторний стовпець ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T}}$, індекс ${\displaystyle a}$ пробігає значення від 1 до ${\displaystyle \dim G}$ і нумерує компоненту розкладу потенціалу по симетрії. Цей лагранжіан є інваріантним відносно локальних калібрувальних перетворень ${\displaystyle \omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),}$ що утворюють групу ${\displaystyle G}$. Поля при калібрувальних перетвореннях перетворюються наступним чином

${\displaystyle \varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1}+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1}.}$

Випадок інваріантного вакууму.

Якщо мінімум ${\displaystyle V}$ реалізовується при ${\displaystyle \varphi _{i}=0}$, то в такому випадку можна розкласти лагранжіан в ряд Тейлора в околі вакууму і отримати в квадратичному наближенні лагранжіан

${\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}$

який описує ${\displaystyle N}$ масивних скалярних полів, та ${\displaystyle \dim G}$ безмасових калібрувальних векторних полів ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$.

Обчислимо число польових ступенів вільності набору цих полів. Оскільки скалярне поле має одну ступінь вільності, а безмасове векторне поле — дві, то сумарна кількість ступенів вільності рівна ${\displaystyle N+2\dim G}$.

Випадок неінваріантного вакууму.

Основна відмінність локальної калібрувальної симетрії від глобальної полягає в залежності калібрувальної константи ${\displaystyle \alpha }$ від координат ${\displaystyle x^{\mu }}$. Ця координатна залежність дозволяє відповідним вибором ${\displaystyle \alpha (x)}$ занулити поля ${\displaystyle \varphi _{i}}$ всіх ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ безмасових голдстоунівських бозонів в усьому просторі. Таке калібрування називається (можна показати, що воно зажди існує у випадку компактних калібрувальних груп). Однак це калібрування приводить до появи в лагранжіані масових доданків типу ${\displaystyle a^{2}A^{\mu }A_{\mu }}$, які тим не менше є калібрувально інваріантними. При унітарному калібруванні масові доданки виникають рівно для ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ калібрувальних полів. Оскільки унітарним калібруванням знищуються бозони Голдстоуна, а виникають масивні калібрувальні бозони, то часто кажуть, що векторні поля «з'їдають» голдстоуни і набувають маси. Умова унітарного калібрування може бути записана через «матричні елементи» генераторів порушеної симетрії у вигляді

${\displaystyle \varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0.}$

Ця формула означає, що поле ${\displaystyle \varphi }$ ортогональне до всіх векторів ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0}}$ простору порушених симетрій.

Також при спонтанному порушенні симетрії виникають ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ масивних скалярних поля, які називаються бозонами Хіггса. Кількість полів, які отримуються в результаті спонтанного порушення локальної калібрувальної симетрії визначається з

Теорема Хіггса. При спонтанному порушенні локальної калібрувальної симетрії присутні ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ масивних скалярних полів (бозонів Хіггса), ${\displaystyle \dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H}$ безмасових векторних полів, а також ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ масивних векторних полів (кількість масивних калібрувальних бозонів дорівнює кількості порушених симетрій).

Знайдемо кількість польових змінних в такій системі. Враховуючи, що масивне поле має три ступені вільності, сумарна кількість польових ступенів вільності дорівнює ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G}$, що збігається з результатом для інваріантного вакууму.

Приклад. Порушення локальної калібрувальної симетрії SO(3)  

Розглянемо лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu },}$

де індекс ${\displaystyle i}$ пробігає значення від 1 до 3. Вакуумний стан можна вибрати у вигляді ${\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T}}$. Як і в попередніх прикладах розкладемо польові функції в околі вакууму ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\phi }$. В квадратичному наближенні по полю лагранжіан перепишеться

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}(\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{1}-eaA_{\mu }^{2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{2}+eaA_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3}).}$

Діагоналізуємо отриманий лагранжіан за допомогою заміни

${\displaystyle B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea}}\partial _{\mu }\phi _{2},\qquad B_{\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea}}\partial _{\mu }\phi _{1}.}$

Діагоналізований лагранжіан має вигляд

${\displaystyle {\mathcal {L}}\approx {\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}(\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{3}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{1}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{2}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}.}$

Як бачимо, отриманий внаслідок спонтанного порушення симетрії лагранжіан описує одне скалярне поле ${\displaystyle \phi _{3}}$ з масою ${\displaystyle m_{\phi }=2a{\sqrt {\lambda }}}$, одне безмасове векторне поле ${\displaystyle A^{3}}$, та два масивні векторні поля ${\displaystyle B^{2},\;B^{3}}$ з масами ${\displaystyle m_{B}=ea}$, що є у повній відповідності з загальними міркуваннями, наведеними вище.

Варто зазначити, що унітарне калібрування залишає певну симетрію в лагранжіані. Групою цієї симетрії є мала група ${\displaystyle H}$. У випадку порушення ${\displaystyle SO(3)}$ симетрії (приклад вище) малою групою є група поворотів ${\displaystyle SO(2)}$ відносно осі ${\displaystyle \phi _{3}}$. Зауважимо, що група ${\displaystyle SO(2)}$ ізоморфна групі ${\displaystyle U(1)}$ калібрувальної симетрії електромагнітного поля.

Доведення теореми Хіггса

Для доведення теореми Хіггса як і у доведенні теореми Голдстоуна розкладемо скалярне поле ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\widetilde {e}}^{k})_{i}}$ , крім цього розкладемо калібрувальне поле за генераторами калібрувальної групи ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a})}$.

У квадратичному наближенні розклад для скалярних полів буде мати такий самий вигляд як і у доведенні теореми Голдстоуна, квадрат тензора поля ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}}$, а коваріантна похідна в першому наближенні (лінійного наближення за відхиленнями від вакууму достатньо для отримання квадратичного по відхиленню лагранжіана) запишеться у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\partial _{\mu }\phi _{k}+{\widetilde {e}}^{k}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}.}$

Підстановка даних виразів у вихідний лагранжіан дає у квадратичному по полях наближенні лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}$

де ${\displaystyle K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}}$. Зауважимо, що матриця ${\displaystyle K_{ak}}$ є невиродженою, оскільки фактично є матрицею переходу між базисами ${\displaystyle E_{a}=K_{ak}e^{k}}$.

Можна ввести поля ${\displaystyle B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}}$ (це відповідає унітарному калібруванню), тоді остаточно лагранжіан запишемо у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a}B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}$

де ${\displaystyle (M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi}}$, ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}}$. Звідси одразу ж отримується формулювання теореми Хіггса.

Спонтанне порушення наближеної симетрії

В попередніх підрозділах розглядалася ситуація, коли вихідний лагранжіан володіє певною симетрією групи ${\displaystyle G}$, яка спонтанно порушується. Зараз розглянемо випадок, коли до лагранжіана зі симетрією додаються малі доданки, які руйнують симетрію (інколи наявність малих несиметричних доданків на відміну від спонтанного порушення симетрії називається м'яким порушенням симетрії). При спонтанному порушенні наближеної симетрії виникають безспінові поля малої маси, які називають .

Нехай потенціальна енергія записується у вигляді ${\displaystyle V(\varphi )=V_{0}(\varphi )+\lambda V_{1}(\varphi )}$, де доданок ${\displaystyle V_{0}(\varphi )}$ задовольняє умову інваріантності відносно перетворень групи ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}=0}$, ${\displaystyle V_{1}(\varphi )}$ являє собою збурення, яке руйнує симетрію, ${\displaystyle \lambda }$ — малий параметр. Доданок ${\displaystyle V_{1}(\varphi )}$ зміщує вакуумний стан в точку ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)}}$. Тоді умова мінімуму запишеться

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)=0\Rightarrow {\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.}$

Якщо помножити останнє рівняння на ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i}}$, та враховуючи, що другий доданок дасть ${\displaystyle 0}$ (умова інваріантності значення вакууму відносно перетворень калібрувальної групи, див. Доведення теореми Голдстоуна), отримуємо

${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}=0.}$

Отримане рівняння має назву умови підлаштування вакууму. Якщо ця умова не задовольняється, то навіть мале збурення приводить до настільки великих змін ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}}$, що члени розкладу ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}}$ в околі ${\displaystyle {\varphi }_{0}}$ не є малими поправками. Однак у випадку, коли ${\displaystyle G}$ є компактною групою Лі, ця умова виконується. По аналогії до розкладу в пункті «Доведення теореми Голдстоуна» можна отримати масову матрицю псевдоголдстоунівських бозонів

${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)=\lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}+{\frac {\partial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}\partial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right].}$

Масова матриця псевдоголдстоунівських бозонів є додатно-визначеною.

Порушення симетрії квантового поля

У квантовій теорії польова змінна ${\displaystyle \varphi (x)}$ перестає бути просто дійсною чи комплексною функцією координат, а є лінійним оператором ${\displaystyle {\widehat {\Phi }}(x)}$ у гільбертовому просторі станів поля, які в мають вигляд.

${\displaystyle |...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k}}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,}$

де ${\displaystyle C}$ — стала нормування, ${\displaystyle b_{\textbf {k}}^{+}}$ є так званим оператором породження, який збільшує число частинок з певним імпульсом ${\displaystyle {\textbf {k}}}$ на 1, наприклад для бозонів ${\displaystyle b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1}}|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle }$, ${\displaystyle |0\rangle }$ — вакуумний стан, в якому нема жодних частинок (збуджень). Спостережуваними величинами є середні від польових операторів на станах поля ${\displaystyle \langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle }$, де ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ — деякий оператор, поліноміальний по операторах поля.

Однак можна показати, що середнє оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ на станах ${\displaystyle |...,n_{\textbf {k}},...\rangle }$ можна переписати через вакуумне середнє ${\displaystyle \langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle }$ від оператора ${\displaystyle {\widehat {B}}}$, який є теж поліноміальним по операторах поля. Такі вакуумні середні зручно обчислювати як функціональні похідні від так званого , який означається як ^[en]

${\displaystyle Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},}$

де ${\displaystyle S}$ — класична дія полів ${\displaystyle \varphi ,\psi ,...}$. Твірний функціонал являє собою амплітуду переходу вакуум-вакуум.

Найчастіше твірний функціонал та його похідні обчислюють, проводячи розклади в околі дії вільних невзаємодіючих полів (квадратичних по полях лагранжіанів). Поправки до невзаємодіючої теорії зручно обчислювати за допомогою діаграм Фейнмана.

Так як і в квантовій механіці по відношенню до класичної, операторна природа поля приводить до нетривіальних квантових ефектів. Інколи квантові поправки є незначними, однак в загальному вони можуть мати значний (потенційно нескінченний) вклад. Часто для квантового поля мають місце квантові аномалії — порушення симетрійних характеристик квантової системи, які є в класичного відповідника. Тому викладена в попередньому розділі фізична картина порушення симетрії для класичного поля не може бути безпосередньо екстрапольована на квантовий випадок і апріорі стверджувати виконання теорем Голдстоуна чи Хіггса у квантовому випадку не можна.

Глобальна калібрувальна симетрія

Теорема Голдстоуна у квантовому випадку може бути легко показана в формалізмі ^[en] (потенціалу). В рамках цього підходу вводяться додаткові класичні струми ${\displaystyle J_{i}(x)}$, які взаємодіють з скалярними полями ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$. Твірний функціонал може бути переписаний у вигляді

${\displaystyle Z[J]=\exp {(iW[J])},}$

де величина ${\displaystyle W[J]}$ являє собою суму всіх зв'язних вакуумних