Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.
В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.
В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в .
Пов'язані визначення
- Підмножину топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називають компактною множиною або компактом.
- Множину називають відносно компактною чи передкомпактною, якщо її замикання компактне.
- Локально компактний простір — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.
- Секвенційно компактний простір — топологічний простір, у якому з кожної послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
- Зліченно компактний простір — топологічний простір, із кожного зліченного покриття якого можна виділити скінченне підпокриття.
- Слабко зліченно компактний простір — має таку властивість, що кожна нескінченна підмножина має граничну точку.
Властивості
Загальні властивості
- Кожна замкнена підмножина компактного топологічного простору є компактною
- Для будь-якого неперервного відображення образ компакта — компакт.
- Компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнена.
- Теорема Тихонова: добуток довільного числа компактних множин (з топологією добутку) компактний.
- Будь-яке неперервне взаємно-однозначне відображення компакта в гаусдорфів простір є гомеоморфізмом.
- У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнених множин, тобто сімейство, в якому перетини скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також Лема про вкладені відрізки.
- Кожна неперервна функція із компактного топологічного простору в
є обмеженою і досягає свого найбільшого і найменшого значення.
- Образ компактного топологічного простору при неперервному відображенні також є компактним
Властивості компактних метричних просторів
- Метричний простір компактний тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність точок в ньому містить підпослідовність, що збігається.
- Для скінченовимірних евклідових просторів підпростір є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють властивості Гейне — Бореля. Див. також Теорема Больцано — Вейєрштрасса.
- Лема Лебега: Для будь-якого компактного метричного простору і відкритого покриття
існує додатне число
таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за
, міститься в одній з множин
. Таке число називають числом Лебега.
- У компактних просторах кожен ультрафільтр збігається принаймні до однієї точки.
- Для метричних просторів наступні твердження є еквівалентними: компактність; повнота та цілком обмеженість; ; .
Приклади компактних множин
- в будь-якому топологічному просторі множина, що складається з однієї точки, а також будь-яка скінченна, завжди компактна.
- замкнені й обмежені множини в
- теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір
неперервних функцій на метричному компактному просторі
з нормою
. Тоді замикання множини функцій
в
компактне тоді і тільки тоді, коли
рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.
- простір Стоуна булевої алгебри
- компактифікація топологічного простору
- Компактні групи Лі
Історія
Бікомпактний простір — термін, введений П. С. Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченному відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають зліченно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.
Див. також
Джерела
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kompa ktnij pro stir ce takij topologichnij prostir sho dlya bud yakogo jogo vidkritogo pokrittya znajdetsya skinchene pidpokrittya V topologiyi kompaktni prostori za svoyimi vlastivostyami nagaduyut skinchenni mnozhini v teoriyi mnozhin V matematichnomu analizi kompaktna mnozhina ce obmezhena j zamknuta mnozhina v Rn displaystyle mathbb R n Pov yazani viznachennyaPidmnozhinu topologichnogo prostoru sho v indukovanij topologiyi ye kompaktnim prostorom nazivayut kompaktnoyu mnozhinoyu abo kompaktom Mnozhinu nazivayut vidnosno kompaktnoyu chi peredkompaktnoyu yaksho yiyi zamikannya kompaktne Lokalno kompaktnij prostir topologichnij prostir v yakomu bud yaka tochka maye okil zamikannya yakogo kompaktne Sekvencijno kompaktnij prostir topologichnij prostir u yakomu z kozhnoyi poslidovnosti mozhna vidiliti zbizhnu pidposlidovnist Zlichenno kompaktnij prostir topologichnij prostir iz kozhnogo zlichennogo pokrittya yakogo mozhna vidiliti skinchenne pidpokrittya Slabko zlichenno kompaktnij prostir maye taku vlastivist sho kozhna neskinchenna pidmnozhina maye granichnu tochku VlastivostiZagalni vlastivosti Kozhna zamknena pidmnozhina kompaktnogo topologichnogo prostoru ye kompaktnoyu Dlya bud yakogo neperervnogo vidobrazhennya obraz kompakta kompakt Kompaktna pidmnozhina gausdorfovogo prostoru ye zamknena Teorema Tihonova dobutok dovilnogo chisla kompaktnih mnozhin z topologiyeyu dobutku kompaktnij Bud yake neperervne vzayemno odnoznachne vidobrazhennya kompakta v gausdorfiv prostir ye gomeomorfizmom U kompaktnih prostorah kozhne centrovane simejstvo zamknenih mnozhin tobto simejstvo v yakomu peretini skinchennih pidsimejstv ne porozhni maye neporozhnij peretin Div takozh Lema pro vkladeni vidrizki Kozhna neperervna funkciya iz kompaktnogo topologichnogo prostoru v Rn displaystyle mathbb R n ye obmezhenoyu i dosyagaye svogo najbilshogo i najmenshogo znachennya Obraz kompaktnogo topologichnogo prostoru pri neperervnomu vidobrazhenni takozh ye kompaktnimVlastivosti kompaktnih metrichnih prostoriv Metrichnij prostir kompaktnij todi i tilki todi koli bud yaka poslidovnist tochok v nomu mistit pidposlidovnist sho zbigayetsya Dlya skinchenovimirnih evklidovih prostoriv pidprostir ye kompaktom todi i tilki todi koli vin obmezhenij i zamknenij Pro prostori sho mayut taku vlastivist govoryat sho voni zadovolnyayut vlastivosti Gejne Borelya Div takozh Teorema Bolcano Vejyershtrassa Lema Lebega Dlya bud yakogo kompaktnogo metrichnogo prostoru i vidkritogo pokrittya Va a A displaystyle V alpha alpha in A isnuye dodatne chislo r displaystyle r take sho bud yaka pidmnozhina diametr yakoyi menshij za r displaystyle r mistitsya v odnij z mnozhin Va displaystyle V alpha Take chislo nazivayut chislom Lebega U kompaktnih prostorah kozhen ultrafiltr zbigayetsya prinajmni do odniyeyi tochki Dlya metrichnih prostoriv nastupni tverdzhennya ye ekvivalentnimi kompaktnist povnota ta cilkom obmezhenist Prikladi kompaktnih mnozhinv bud yakomu topologichnomu prostori mnozhina sho skladayetsya z odniyeyi tochki a takozh bud yaka skinchenna zavzhdi kompaktna zamkneni j obmezheni mnozhini v Rn displaystyle mathbb R n teorema Askoli Arcela daye harakterizaciyu kompaktnih mnozhin dlya deyakih funkcionalnih prostoriv Rozglyanemo prostir C X displaystyle C X neperervnih funkcij na metrichnomu kompaktnomu prostori X displaystyle X z normoyu f supx f x displaystyle f sup x f x Todi zamikannya mnozhini funkcij F displaystyle F v C X displaystyle C X kompaktne todi i tilki todi koli F displaystyle F rivnomirno obmezhena i rivnostepenevo odnostajno neperervna prostir Stouna bulevoyi algebri kompaktifikaciya topologichnogo prostoru Kompaktni grupi LiIstoriyaBikompaktnij prostir termin vvedenij P S Aleksandrovim yak posilennya vvedenogo M Freshe ponyattya kompaktnogo prostoru topologichnij prostir kompaktnij v pervinnomu smisli slova yaksho v kozhnomu zlichennomu vidkritomu pokritti cogo prostoru mistitsya jogo skinchenne pidpokrittya Prote podalshij rozvitok matematiki pokazav sho ponyattya bikompaktnosti nastilki vazhlivishe za pervinne ponyattya kompaktnosti sho v nash chas pid kompaktnistyu rozumiyut same bikompaktnist a kompaktni v staromu smisli prostori nazivayut zlichenno kompaktnimi Obidva ponyattya rivnosilni v zastosuvanni do metrichnih prostoriv Div takozhKompaktifikaciya Stouna Cheha Lokalno kompaktnij prostir Odnotochkova kompaktifikaciya Teorema Aleksandrova pro kompaktifikaciyuDzherelaBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi