Означення
Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.
Критерій повноти метричного простору
Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність замкнених вкладених одна в одну куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.
Приклади повних метричних просторів
- Метричний простір (тобто з евклідововою метрикою). Коротке позначення цього простору: .
- Метричний простір . Коротке позначення цього простору: .
- Метричний простір . Коротке позначення цього простору: .
- Метричний простір . Коротке позначення цього простору: .
- Метричний простір , де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто . Коротке позначення цього простору: C[a,b].
Приклад неповного метричного простору
- Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а — метрика, означена рівністю: . Коротке позначення цього простору: .
Джерела
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Березанский Ю. М., , Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
- Функціональний аналіз, спеціальність «Прикладна математика». Лекція № 7. Повні метричні простори. Кафедра обчислювальної математики факультету кібернетики КНУ(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
OznachennyaMetrichnij prostir nazivayetsya povnim yaksho u nomu bud yaka fundamentalna poslidovnist ye zbizhnoyu Kriterij povnoti metrichnogo prostoruDlya togo shob metrichnij prostir buv povnim neobhidno i dostatno shob u nomu bud yaka poslidovnist zamknenih vkladenih odna v odnu kul radiusi yakih pryamuyut do nulya mala neporozhnij peretin Prikladi povnih metrichnih prostorivMetrichnij prostir Rn r r x y i 1n xi yi 2 displaystyle mathbb R n rho rho x y sqrt sum i 1 n x i y i 2 tobto z evklidovovoyu metrikoyu Korotke poznachennya cogo prostoru Rn displaystyle mathbb R n Metrichnij prostir Rn r r x y i 1n xi yi displaystyle mathbb R n rho rho x y sum i 1 n x i y i Korotke poznachennya cogo prostoru R1n displaystyle mathbb R 1 n Metrichnij prostir Rn r r x y maxi xi yi displaystyle mathbb R n rho rho x y max i x i y i Korotke poznachennya cogo prostoru R n displaystyle mathbb R infty n Metrichnij prostir X r X x x1 x2 xn n 1 xn lt xn R n N r x y i 1 xi yi 2 displaystyle X rho X x x 1 x 2 x n sum n 1 infty x n lt infty x n in mathbb R n in mathbb N rho x y sqrt sum i 1 infty x i y i 2 Korotke poznachennya cogo prostoru l2 displaystyle l 2 Metrichnij prostir C a b r displaystyle C a b rho de C a b mnozhina vsih neperervnih na vidrizku a b funkcij a r displaystyle rho chebishovska rivnomirna metrika tobto r x t y t maxt a b x t y t displaystyle rho x t y t max t in a b x t y t Korotke poznachennya cogo prostoru C a b Priklad nepovnogo metrichnogo prostoruMetrichnij prostir C a b d de C a b mnozhina vsih neperervnih na vidrizku a b funkcij a r displaystyle rho metrika oznachena rivnistyu r x t y t ab x t y t 2dt displaystyle rho x t y t sqrt int a b x t y t 2 dt Korotke poznachennya cogo prostoru C2 a b displaystyle C 2 a b DzherelaBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Berezanskij Yu M Sheftel Z G Funkcionalnyj analiz kurs lekcij K Visha shkola 1990 600 s ros Funkcionalnij analiz specialnist Prikladna matematika Lekciya 7 Povni metrichni prostori Kafedra obchislyuvalnoyi matematiki fakultetu kibernetiki KNU ukr