Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій визначеної на множині , це норма означена як невід'ємне число:
Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:
- нормою Чебишова для функцій або
- рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.
Якщо — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають максимум-нормою (англ. maximum norm). Зокрема, якщо — це деякий такий вектор, що у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:
Це називають
.Пов'язані означення
Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку функції (зазвичай позначають
, іноді
або
або
) . Норма в цьому просторі визначається так:
Властивості
- Якщо послідовність
елементів з
збігається в цьому просторі до деякої граничної функції
, то
при
.
- Звідси:
— банахів простір.
- Звідси:
- Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
- В
не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.
Варіації та узагальнення
Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.
Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) називають множину всіх неперервних обмежених функцій
зі введеною на ній нормою:
Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:
У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність
Його поповненням є — простір сумованих функцій.
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965.
- M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London : Academic Press, 1973.
- [en]. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Supremum norma v matematichnomu analizi dlya dijsnoznachnoyi chi kompleksnoznachnoyi obmezhenoyi funkcij f displaystyle f viznachenoyi na mnozhini S displaystyle S ce norma oznachena yak nevid yemne chislo f f S sup f s s S displaystyle f infty f infty S sup left f s s in S right Ce najposhirenisha norma dlya neperervnih funkcij Yiyi dekoli nazivayut normoyu Chebishova dlya funkcij abo rivnomirnoyu normoyu oskilki zbizhnist za ciyeyu normoyu ekvivalentna rivnomirnij zbizhnosti Yaksho f displaystyle f neperervna funkciya na zamknenomu j obmezhenomu promizhku abo zagalnishe na kompaktnij mnozhini to vona obmezhena j supremum u navedenomu vishe viznachenni dosyagayetsya za drugoyu teoremoyu Veyershtrassa tozh todi mozhlivo zaminiti cej supremum maksimumom U takomu vipadku cyu normu takozh nazivayut maksimum normoyu angl maximum norm Zokrema yaksho x displaystyle x ce deyakij takij vektor sho x x 1 x 2 x n displaystyle x left x 1 x 2 ldots x n right u skinchennovimirnomu prostori koordinat vona nabuvaye viglyadu x max x 1 x n displaystyle x infty max left left x 1 right ldots left x n right right Ce nazivayut inshi movi Pov yazani oznachennyaPro stir nepere rvnih fu nkcij linijnij normovanij prostir elementami yakogo ye neperervni na vidrizku a b displaystyle a b funkciyi zazvichaj poznachayut C a b displaystyle mathrm C a b inodi C 0 a b displaystyle C 0 a b abo C 0 a b displaystyle C 0 a b abo C a b displaystyle C a b Norma v comu prostori viznachayetsya tak x C a b max t a b x t displaystyle x mathbf C a b max t in a b x t VlastivostiYaksho poslidovnist x n displaystyle x n elementiv z C a b displaystyle mathrm C a b zbigayetsya v comu prostori do deyakoyi granichnoyi funkciyi x t displaystyle x t to x n x displaystyle x n rightrightarrows x pri n displaystyle n to infty Zvidsi C a b displaystyle mathrm C a b banahiv prostir Prostir neperervnih funkcij separabelnij zlichennu vsyudi shilnu mnozhinu v nomu utvoryuye mnozhina vsih mnogochleniv z racionalnimi koeficiyentami Ce tverdzhennya vihodit yak naslidok aproksimacijnoyi teoremi Veyershtrassa V C a b displaystyle mathrm C a b ne vikonuyetsya totozhnist paralelograma tomu norma v nomu ne porodzhuye niyakogo skalyarnij dobutok Variaciyi ta uzagalnennyaAnalogichno cej prostir buduyetsya takozh i nad oblastyami ta yih zamikannyami U razi nekompaktnoyi mnozhini maksimum treba zaminiti tochnoyu verhnoyu grannyu Otzhe prostorom neperervnih obmezhenih funkcij vektor funkcij C X Y displaystyle C X Y nazivayut mnozhinu vsih neperervnih obmezhenih funkcij x X Y displaystyle x X to Y zi vvedenoyu na nij normoyu x C X Y sup t X x t Y displaystyle x C X Y sup t in X x t Y Poryad z chebishovskoyu normoyu chasto rozglyadayut prostir neperervnih funkcij z integralnoyu normoyu x a b x t d t displaystyle x int limits a b x t dt U sensi ciyeyi normi prostir neperervnih na vidrizku funkcij vzhe ne utvoryuye povnogo linijnogo prostoru Fundamentalnoyu ale ne zbizhnoyu v nomu ye napriklad poslidovnist x n displaystyle x n x n t 1 t 1 n n t t 1 n 1 n 1 t 1 n displaystyle x n t begin cases 1 quad t geqslant frac 1 n nt quad t in frac 1 n frac 1 n 1 quad t leqslant frac 1 n end cases Jogo popovnennyam ye L 1 a b displaystyle L 1 a b prostir sumovanih funkcij LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros L A Lyusternik V I Sobolev Elementy funkcionalnogo analiza M Nauka 1965 M Reed B Simon Methods of modern mathematicals physics Vol 1 Functional Analysis New York London Academic Press 1973 en Funkcionalnyj analiz M Mir 1967