Простір неперервних функцій

Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій ${\displaystyle f}$ визначеної на множині ${\displaystyle S}$, це норма означена як невід'ємне число:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:

• нормою Чебишова для функцій або
• рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.

Якщо ${\displaystyle f}$ — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають максимум-нормою (англ. maximum norm). Зокрема, якщо ${\displaystyle x}$ — це деякий такий вектор, що ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Це називають (інші мови).

Пов'язані означення

Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ функції (зазвичай позначають ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$, іноді ${\displaystyle C^{0}[a,b]}$ або ${\displaystyle C^{(0)}[a,b]}$ або ${\displaystyle C(a,b)}$) . Норма в цьому просторі визначається так:

${\displaystyle ||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|}$

Властивості

• Якщо послідовність ${\displaystyle x_{n}}$ елементів з ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ збігається в цьому просторі до деякої граничної функції ${\displaystyle x(t)}$, то ${\displaystyle x_{n}\rightrightarrows x}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.
  • Звідси: ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ — банахів простір.
• Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
• В ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.

Варіації та узагальнення

Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.

Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) ${\displaystyle C(X,Y)}$ називають множину всіх неперервних обмежених функцій ${\displaystyle x:X\to Y}$ зі введеною на ній нормою:

${\displaystyle \|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.}$

Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:

${\displaystyle \|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt}$

У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n}}\end{cases}}}$

Його поповненням є ${\displaystyle L_{1}[a,b]}$ — простір сумованих функцій.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
• Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965.
• M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London : Academic Press, 1973.
• ^[en]. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967.