Банахів простір — повний нормований векторний простір. Тобто векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел з нормою такою, що кожна фундаментальна послідовність є збіжною до елементу з за метрикою Центральний об'єкт у функціональному аналізі. Названий на честь Стефана Банаха.
Приклади
Позначимо через одне з полів —
або
.
Відомі Евклідові простори, де Евклідова норма вектора
визначається формулою
Простір усіх неперервних функцій , визначених на закритому інтервалі
, є Банаховим простором, якщо ми визначимо норму як
Це — норма, оскільки неперервні функції, визначені на закритому інтервалі, є обмеженими. Простір є повним за цією нормою. Одержаний Банахів простір позначають . Цей приклад можна узагальнити до простору
усіх неперервних функцій
, де
— компактний простір, або до простору всіх обмежених неперервних функцій
, де
— будь-який топологічний простір, або до простору
всіх обмежених функцій
, де
— будь-яка множина.
В усіх наведених прикладах Банахові простори є замкненими відносно множення функції, тому вони є Банаховими алгебрами.
Якщо — дійсне число, ми можемо розглядати простір усіх нескінчених послідовностей
елементів
таких, що нескінчені ряди
є збіжними. Корінь
-го степеня зі значення цього ряду за означенням є
-нормою послідовності. Цей простір разом із означеною нормою є Банаховим простором і позначається
.
Банахів простір складається з усіх обмежених послідовностей елементів з
. За норму такої послідовності можна взяти верхню межу абсолютних значень членів послідовності.
Також, якщо p ≥ 1 — дійсне число, можемо розглядати всі функції f : [a, b] → K такі, що |f|p є інтегровною за Лебеґом. За норму f беруть корінь p-го степеня з цього інтеграла. Сам собою цей простір не є Банаховим простором, оскільки є ненульові функції, норма яких дорівнює нулеві. Ми визначаємо співвідношення еквівалентності таким чином: f і g є еквівалентними тоді й тільки тоді, коли норма різниці f — g дорівнює нулеві. Тоді множина класів еквівалентності утворює Банахів простір, який позначають L p[a, b]. Тут суттєво застосовувати інтеграл Лебеґа, а не Рімана, оскільки Ріманів інтеграл не дає повного простору. Ці приклади можна узагальнити — див. Простір L p
Якщо X і Y — два Банахові простори, тоді можна утворити їхню пряму суму , що також є Банаховим простором. Цю конструкцію можна узагальнити до прямої суми довільного числа Банахових просторів.
Якщо M є закритим лінійним підпростором Банахового простору X, тоді частка Банахового простору і цього підпростору X/M також є Банаховим простором.
Лінійні оператори
Якщо V та W — Банахові простори над одним і тим самим полем K, сукупність усіх неперервних K-лінійних відображень або лінійних операторів A : V → W позначається L(V, W). Зверніть увагу на те, що в нескінченновимірних просторах не всі лінійні відображення автоматично є . L(V, W) є векторним простором. Якщо взяти за норму ||A|| = sup { ||Ax|| : x ∈ V, ||x|| ≤ 1 }, його можна розглядати як Банахів простір.
Простір L(V) = L(V, V) парних унітарної Банахової алгебри. Операція множення — композиція лінійних відображень.
Дуальний простір
Якщо V є Банаховим простором і K є полем (дійсним чи комплексним), тоді саме K є Банаховим простором (якщо брати абсолютну величину за норму), і ми можемо ввести дуальний простір до V як V' = L(V, K). Це також — Банахів простір. Він може застосовуватися для визначення нової топології на V — .
Існує природне відображення F з V в V'
для всіх x в V та f в V'. Згідно з теоремою Гана-Банаха, це відображення є ін'єкцією (відображенням «в»). Якщо воно також є сюр'єкцією (відображенням «на»), тоді Банахів простір V називають рефлексивним простором. Рефлексивні простори мають багато важливих геометричних властивостей. Простір є рефлексивним тоді й лише тоді, коли дуальний їх дуальні простори є рефлексивними, а це буває тоді й лише тоді, коли їх одинична куля є компактом у слабкій топології.
Наприклад, є рефлексивним для
, але
і
не є рефлексивними. Дуальний простір до
є
, де p та q зв'язані формулою (1/p) + (1/q) = 1. Дивіться Простір L p.
Зв'язок із Гільбертовим простором
- Кожен Гільбертів простір є Банаховим простором, оскільки за означенням Гільбертів простір є повним за нормою, пов'язаною з його скалярним добутком.
- Критерієм того, що Банахів простір також є Гільбертовим простором, є тотожність паралелограма:
Якщо норма Банахового простору задовольняє цю тотожність, цей простір також є Гільбертовим зі скалярним добутком, заданим поляризаційною тотожністю. Якщо V є дійсним Банаховим простором, поляризаційна тотожність така:
тоді як для комплексного Банахового простору V поляризаційна тотожність — :
для того, щоб побачити, чому паралелограм передбачає, що форма, визначена поляризаційною тотожністю, насправді є повним внутрішнім добутком, алгебраїчно перевіряють, чи є ця форма адитивною, звідки за математичною індукцією випливає, що форма є лінійною над цілими та раціональними числами. Далі, оскільки кожне дійсне число є границею деякої послідовності Коши раціональних чисел, повнота норми поширює лінійність на всю дійсну пряму.
У випадку комплексних чисел можна також перевірити, що білінійна форма є лінійною за i в одному з аргументів і в іншому.
Похідні
Можна визначити похідну функції f : V → W, що відображає один Банахів простір в інший. Інтуїтивно, якщо x є елементом V, похідна від f в точці x є неперервним лінійним відображенням, що є наближенням f в околі точки x
Формально f зветься диференційовною в x, якщо існує неперервне лінійне відображення A : V → W таке, що
Границя тут береться по всіх послідовностях ненульових елементів в , що збігаються до 0.
Якщо границя існує, пишемо та називаємо це похідною
в точці
.
Поняття похідної є фактично узагальненням звичайної похідної від функцій R → R, адже лінійні відображення з R в R є просто множенням на дійсні числа.
Якщо f є диференційовною в кожній точці x простору V, тоді Df : V → L(V, W) є іншим відображенням одного Банахового простору в інший (взагалі-то не лінійним відображенням!) і, можливо, також є диференційовним, таким чином визначаючи похідні вищих порядків від f. n-ту похідну в точці x можна розглядати як Vn → W.
Диференціювання є лінійною операцією в такому сенсі: якщо та
— два відображення V → W, що є диференційовними в точці x, і r та s є скалярами з K, тоді rf + sg є диференційовним в x, і
.
В цьому контексті також справджується правило ланцюга: якщо f : V → W диференційоване в точці x в V, і g : W → X є диференційовним в f(x), композиція g o f є диференційовною в x, і похідна є композицією похідних:
Узагальнення
Декілька важливих у функціональному аналізі просторів, наприклад, простір усіх нескінчених багатократно диференційовних функцій R → R або простір всіх розподілів на R є повними, але не нормованими векторними просторами, що відтак не є Банаховими просторами. У існує повна метрика, тоді як простори LF є повними рівномірними векторними просторами, що виникають як границі просторів Фреше.
Джерела
- Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
- Березанский Ю. М., , Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Banahiv prostir povnij normovanij vektornij prostir Tobto vektornij prostir V displaystyle V nad polem dijsnih abo kompleksnih chisel z normoyu displaystyle cdot takoyu sho kozhna fundamentalna poslidovnist ye zbizhnoyu do elementu z V displaystyle V za metrikoyu d x y x y displaystyle d x y x y Centralnij ob yekt u funkcionalnomu analizi Nazvanij na chest Stefana Banaha PrikladiPoznachimo cherez K displaystyle K odne z poliv R displaystyle mathbb R abo C displaystyle mathbb C Vidomi Evklidovi prostori Kn displaystyle K n de Evklidova norma vektora x x1 xn displaystyle x x 1 ldots x n viznachayetsya formuloyu x i 1n xi 2 displaystyle x sqrt sum limits i 1 n x i 2 Prostir usih neperervnih funkcij f a b K displaystyle f a b to K viznachenih na zakritomu intervali a b displaystyle a b ye Banahovim prostorom yaksho mi viznachimo normu yak f sup f x x a b displaystyle f sup f x x in a b Ce norma oskilki neperervni funkciyi viznacheni na zakritomu intervali ye obmezhenimi Prostir ye povnim za ciyeyu normoyu Oderzhanij Banahiv prostir poznachayut C a b displaystyle C a b Cej priklad mozhna uzagalniti do prostoru C X displaystyle C X usih neperervnih funkcij X K displaystyle X to K de X displaystyle X kompaktnij prostir abo do prostoru vsih obmezhenih neperervnih funkcij X K displaystyle X to K de X displaystyle X bud yakij topologichnij prostir abo do prostoru B X displaystyle B X vsih obmezhenih funkcij X K displaystyle X to K de X displaystyle X bud yaka mnozhina V usih navedenih prikladah Banahovi prostori ye zamknenimi vidnosno mnozhennya funkciyi tomu voni ye Banahovimi algebrami Yaksho p 1 displaystyle p geq 1 dijsne chislo mi mozhemo rozglyadati prostir usih neskinchenih poslidovnostej x1 x2 x3 displaystyle x 1 x 2 x 3 ldots elementiv K displaystyle K takih sho neskincheni ryadi xi p displaystyle sum x i p ye zbizhnimi Korin p displaystyle p go stepenya zi znachennya cogo ryadu za oznachennyam ye p displaystyle p normoyu poslidovnosti Cej prostir razom iz oznachenoyu normoyu ye Banahovim prostorom i poznachayetsya lp displaystyle l p Banahiv prostir l displaystyle l infty skladayetsya z usih obmezhenih poslidovnostej elementiv z K displaystyle K Za normu takoyi poslidovnosti mozhna vzyati verhnyu mezhu absolyutnih znachen chleniv poslidovnosti Takozh yaksho p 1 dijsne chislo mozhemo rozglyadati vsi funkciyi f a b K taki sho f p ye integrovnoyu za Lebegom Za normu f berut korin p go stepenya z cogo integrala Sam soboyu cej prostir ne ye Banahovim prostorom oskilki ye nenulovi funkciyi norma yakih dorivnyuye nulevi Mi viznachayemo spivvidnoshennya ekvivalentnosti takim chinom f i g ye ekvivalentnimi todi j tilki todi koli norma riznici f g dorivnyuye nulevi Todi mnozhina klasiv ekvivalentnosti utvoryuye Banahiv prostir yakij poznachayut Lp a b Tut suttyevo zastosovuvati integral Lebega a ne Rimana oskilki Rimaniv integral ne daye povnogo prostoru Ci prikladi mozhna uzagalniti div Prostir L p Yaksho X i Y dva Banahovi prostori todi mozhna utvoriti yihnyu pryamu sumu X Y displaystyle X oplus Y sho takozh ye Banahovim prostorom Cyu konstrukciyu mozhna uzagalniti do pryamoyi sumi dovilnogo chisla Banahovih prostoriv Yaksho M ye zakritim linijnim pidprostorom Banahovogo prostoru X todi chastka Banahovogo prostoru i cogo pidprostoru X M takozh ye Banahovim prostorom Linijni operatoriYaksho V ta W Banahovi prostori nad odnim i tim samim polem K sukupnist usih neperervnih K linijnih vidobrazhen abo linijnih operatoriv A V W poznachayetsya L V W Zvernit uvagu na te sho v neskinchennovimirnih prostorah ne vsi linijni vidobrazhennya avtomatichno ye L V W ye vektornim prostorom Yaksho vzyati za normu A sup Ax x V x 1 jogo mozhna rozglyadati yak Banahiv prostir Prostir L V L V V parnih unitarnoyi Banahovoyi algebri Operaciya mnozhennya kompoziciya linijnih vidobrazhen Dualnij prostirYaksho V ye Banahovim prostorom i K ye polem dijsnim chi kompleksnim todi same K ye Banahovim prostorom yaksho brati absolyutnu velichinu za normu i mi mozhemo vvesti dualnij prostir do V yak V L V K Ce takozh Banahiv prostir Vin mozhe zastosovuvatisya dlya viznachennya novoyi topologiyi na V Isnuye prirodne vidobrazhennya F z V v V F x f f x displaystyle F x f f x dlya vsih x v V ta f v V Zgidno z teoremoyu Gana Banaha ce vidobrazhennya ye in yekciyeyu vidobrazhennyam v Yaksho vono takozh ye syur yekciyeyu vidobrazhennyam na todi Banahiv prostir V nazivayut refleksivnim prostorom Refleksivni prostori mayut bagato vazhlivih geometrichnih vlastivostej Prostir ye refleksivnim todi j lishe todi koli dualnij yih dualni prostori ye refleksivnimi a ce buvaye todi j lishe todi koli yih odinichna kulya ye kompaktom u slabkij topologiyi Napriklad lp displaystyle l p ye refleksivnim dlya 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty ale l1 displaystyle l 1 i l displaystyle l infty ne ye refleksivnimi Dualnij prostir do lp displaystyle l p ye lq displaystyle l q de p ta q zv yazani formuloyu 1 p 1 q 1 Divitsya Prostir L p Zv yazok iz Gilbertovim prostoromKozhen Gilbertiv prostir ye Banahovim prostorom oskilki za oznachennyam Gilbertiv prostir ye povnim za normoyu pov yazanoyu z jogo skalyarnim dobutkom Kriteriyem togo sho Banahiv prostir takozh ye Gilbertovim prostorom ye totozhnist paralelograma u v 2 u v 2 2 u 2 v 2 displaystyle u v 2 u v 2 2 u 2 v 2 Yaksho norma Banahovogo prostoru zadovolnyaye cyu totozhnist cej prostir takozh ye Gilbertovim zi skalyarnim dobutkom zadanim polyarizacijnoyu totozhnistyu Yaksho V ye dijsnim Banahovim prostorom polyarizacijna totozhnist taka u v 14 u v 2 u v 2 displaystyle u v frac 1 4 u v 2 u v 2 todi yak dlya kompleksnogo Banahovogo prostoru V polyarizacijna totozhnist u v 14 u v 2 u v 2 i u iv 2 u iv 2 displaystyle u v frac 1 4 u v 2 u v 2 i u iv 2 u iv 2 dlya togo shob pobachiti chomu paralelogram peredbachaye sho forma viznachena polyarizacijnoyu totozhnistyu naspravdi ye povnim vnutrishnim dobutkom algebrayichno pereviryayut chi ye cya forma aditivnoyu zvidki za matematichnoyu indukciyeyu viplivaye sho forma ye linijnoyu nad cilimi ta racionalnimi chislami Dali oskilki kozhne dijsne chislo ye graniceyu deyakoyi poslidovnosti Koshi racionalnih chisel povnota normi poshiryuye linijnist na vsyu dijsnu pryamu U vipadku kompleksnih chisel mozhna takozh pereviriti sho bilinijna forma ye linijnoyu za i v odnomu z argumentiv i v inshomu PohidniMozhna viznachiti pohidnu funkciyi f V W sho vidobrazhaye odin Banahiv prostir v inshij Intuyitivno yaksho x ye elementom V pohidna vid f v tochci x ye neperervnim linijnim vidobrazhennyam sho ye nablizhennyam f v okoli tochki x Formalno f zvetsya diferencijovnoyu v x yaksho isnuye neperervne linijne vidobrazhennya A V W take sho limh 0 f x h f x A h h 0 displaystyle lim h to 0 frac f x h f x A h h 0 Granicya tut beretsya po vsih poslidovnostyah nenulovih elementiv v V displaystyle V sho zbigayutsya do 0 Yaksho granicya isnuye pishemo Df x A displaystyle rm D f x A ta nazivayemo ce pohidnoyu f displaystyle f v tochci x displaystyle x Ponyattya pohidnoyi ye faktichno uzagalnennyam zvichajnoyi pohidnoyi vid funkcij R R adzhe linijni vidobrazhennya z R v R ye prosto mnozhennyam na dijsni chisla Yaksho f ye diferencijovnoyu v kozhnij tochci x prostoru V todi Df V L V W ye inshim vidobrazhennyam odnogo Banahovogo prostoru v inshij vzagali to ne linijnim vidobrazhennyam i mozhlivo takozh ye diferencijovnim takim chinom viznachayuchi pohidni vishih poryadkiv vid f n tu pohidnu v tochci x mozhna rozglyadati yak Vn W Diferenciyuvannya ye linijnoyu operaciyeyu v takomu sensi yaksho f displaystyle f ta g displaystyle g dva vidobrazhennya V W sho ye diferencijovnimi v tochci x i r ta s ye skalyarami z K todi rf sg ye diferencijovnim v x i D rf sg x rD f x sD g x displaystyle rm D rf sg x r rm D f x s rm D g x V comu konteksti takozh spravdzhuyetsya pravilo lancyuga yaksho f V W diferencijovane v tochci x v V i g W X ye diferencijovnim v f x kompoziciya g o f ye diferencijovnoyu v x i pohidna ye kompoziciyeyu pohidnih D g f x D g f x D f x displaystyle D g circ f x D g f x circ D f x UzagalnennyaDekilka vazhlivih u funkcionalnomu analizi prostoriv napriklad prostir usih neskinchenih bagatokratno diferencijovnih funkcij R R abo prostir vsih rozpodiliv na R ye povnimi ale ne normovanimi vektornimi prostorami sho vidtak ne ye Banahovimi prostorami U isnuye povna metrika todi yak prostori LF ye povnimi rivnomirnimi vektornimi prostorami sho vinikayut yak granici prostoriv Freshe DzherelaBanah S Kurs funkcionalnogo analizu linijni operaciyi K Radyanska shkola 1948 216 s ukr Berezanskij Yu M Sheftel Z G Funkcionalnyj analiz kurs lekcij K Visha shkola 1990 600 s ros