Інтеграл Лебеґа

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, і на ньому визначена вимірна функція ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$.

Означення 1. Нехай ${\displaystyle \,f}$ — індикатор деякої вимірної множини ${\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)}$, де ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$. Тоді інтеграл Лебега функції ${\displaystyle \,f}$ за означенням:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).}$

Означення 2. Нехай ${\displaystyle \,f}$ — проста функція ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)}$, де ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}}$ — скінченне розбиття ${\displaystyle \,X}$ на вимірні множини. Тоді

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})}$.

Означення 3. Нехай тепер ${\displaystyle \,f}$ — невід’ємна функція, тобто ${\displaystyle f(x)\geq 0\;\forall x\in X}$. Розглянемо всі прості функції ${\displaystyle \,\{f_{s}\}}$, такі ,що ${\displaystyle f_{s}(x)\leq f(x)\;\forall x\in X}$. Позначимо це сімейство ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}}$. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від ${\displaystyle f}$ задається формулою:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}}$

Нарешті, якщо функція ${\displaystyle f}$ довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

${\displaystyle \,f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),}$

де

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))}$.

Означення 4. Нехай ${\displaystyle \,f}$ — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)}$.

Означення 5. Нехай нарешті ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ довільна вимірна множина. Тоді за означенням

${\displaystyle \int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)}$,

де ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$ — індикатор-функція множини ${\displaystyle A}$.

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле ${\displaystyle f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}$, задану на ${\displaystyle [0,1]}$. Ця функція набуває значення ${\displaystyle \,1}$ у раціональних точках і ${\displaystyle \,0}$ — в ірраціональних. Легко побачити, що ${\displaystyle \,f}$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, на просторі зі скінченною мірою ${\displaystyle ({\mathcal {B}}([0,1]),m)}$, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$ — борелівська σ-алгебра на ${\displaystyle \,[0,1]}$, а ${\displaystyle \,m}$ — міра Лебега, вона є простою функцією, бо набуває тільки двох значень, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

${\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}$

Справді, міра відрізка ${\displaystyle [0,1]}$ дорівнює ${\displaystyle 1}$. Оскільки множина раціональних чисел зліченна, то її міра ${\displaystyle m(\mathbb {Q} _{[0,1]})}$ дорівнює ${\displaystyle 0}$. Значить міра ірраціональних чисел ${\displaystyle m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})}$ дорівнює ${\displaystyle 1-0=1}$.

Зауваження

• Так оскільки ${\displaystyle \,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)}$, то вимірна функція ${\displaystyle \,f(x)}$ інтегровна за Лебегом тоді й тільки тоді, коли функція ${\displaystyle \,|f(x)|}$ інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується для інтеграла Рімана;
• Залежно від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом.
• Якщо функція визначена на ймовірнісному просторі ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

• Інтеграл Лебега лінійний, тобто

${\displaystyle \int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$,

де ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ — довільні константи;

• Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ майже скрізь, і ${\displaystyle \,g(x)}$ інтегровна, то інтегровна і ${\displaystyle \,f(x)}$, і більш того

${\displaystyle 0\leq \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leq \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$;

• Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо ${\displaystyle \,f(x)=g(x)}$ майже скрізь, то

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Інтеграл Бохнера;
• Лема Фату.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)