Вимірна множина

Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.^[]

В сенсі Лебега

Множина ${\displaystyle A}$ називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться така елементарна множина ${\displaystyle B}$, що:

${\displaystyle \mu ^{*}(A\triangle B)<\varepsilon }$,

де:

• ${\displaystyle \mu ^{*}(A)}$ — зовнішня міра множини. Якщо функція ${\displaystyle \mu ^{*}(A)}$ розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега.
• ${\displaystyle \triangle }$ — симетрична різниця множин.

Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.

Властивості

• Сукупність ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{E}}$ вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру).
• Функція μ σ-адитивна на ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{E}}$.
• Доповнення вимірної множини також вимірна множина.
• Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини.
• Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина.
• Довільна множина ${\displaystyle A}$ зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.

Невимірні множини

Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.

Див. також

• Вимірна функція
• Міра множини
• Інтеграл Лебега

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)