Вимірна функція

Вимірні функції  — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.

Визначення

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ і ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція ${\displaystyle f:X\to Y}$ називається ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}}$-вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ належить ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тобто

${\displaystyle \forall B\in {\mathcal {G}},\;f^{-1}(B)\in {\mathcal {F}},}$

де ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ повний прообраз множини ${\displaystyle B}$.

Замітка

• Якщо ${\displaystyle \,X}$ и ${\displaystyle \,Y}$ — топологічні простори, і алгебри ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ явно не вказані, то вважається, що це борелівські σ-алгебри відповідних просторів.

Дійснозначні вимірні функції

Нехай задана функція ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Тоді справедливі такі визначення:

• Функція ${\displaystyle f}$ вимірна, якщо

${\displaystyle \forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\leq c\}\in {\mathcal {F}}}$.

• Функція ${\displaystyle f}$ вимірна, якщо

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} }$, таких що ${\displaystyle a\leq b}$, маємо ${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\in |a,b|\}\in {\mathcal {F}}}$,

де ${\displaystyle |a,b|}$ позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий.

• Якщо ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} _{+}\cup +\infty ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}\cup +\infty ))}$ є невід'ємною дійснозначною функцією то вона є вимірною тоді й лише тоді коли вона є поточковою границею деякої поточково неспадної послідовності ${\displaystyle f_{n}}$ невід'ємних простих вимірних функцій.

Пов'язані визначення

• Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ і ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ називається борелівською.
• Вимірна функція ${\displaystyle f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$, де ${\displaystyle \Omega }$ — множина елементарних подій, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — неперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій.
• Нехай ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),}$ і ${\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x),\;x\in X}$ — індикатор множини ${\displaystyle A\not \in {\mathcal {F}}.}$ Тод функція ${\displaystyle f}$ не є вимірною.

Властивості вимірних функцій

• Сума і добуток вимірних функцій є вимірними функціями.
• Супремум зліченної множини дійснозначних вимірних функцій є вимірною функцією.
• Поточкова границя послідовності вимірних функцій є вимірною функцією.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)