Проста́ функція в математиці — вимірна функція, задана на деякому вимірному просторі множина значень якої скінченна.
Визначення
Нехай — вимірний простір. Нехай , де — скінченна послідовність вимірних множин. Тоді вимірна функція називається простою, якщо вона може бути записана у виді:
- ,
де — індикатор множини . Тобто дана функція є лінійною комбінацією індикаторів множин.
Замітки
- Якщо — ймовірнісний простір, то проста функція називається простою випадковою величиною.
- Якщо — простір з мірою, проста, причому
- ,
і , то інтегровна за Лебегом, і
- .
Властивості
- Сума, різниця і добуток двох простих функцій є простою функцією. Справді, якщо — прості функції і і — відповідні їм множини з визначення простих функцій, то на всіх множинах функції є сталими. Оскільки очевидно кількість таких множин є скінченною то й дані функції мають скінченну кількість значень.
- Також множення простої функції на скаляр дає просту функцію
- Отже множина простих функцій визначених на деякому вимірному просторі утворює комутативну алгебру над полем дійсних (комплексних чисел).
- Наступна властивість використовується для визначення інтеграла Лебега:
- Довільна невід'ємна вимірна функція є монотонної зростаючої послідовності невід'ємних простих функцій .
- Справді нехай — невід'ємна вимірна функція визначена на просторі
- . Для кожного , область значень функції розбиваємо на інтервалів наступним способом. Нехай для і . Далі можна визначити вимірні множини для . Тоді зростаюча послідовність
- збігається до при .
- Коли є обмеженою збіжність є рівномірною.
- В загальному випадку довільну функцію можна записати у вигляді різниці , де — додатна, а — модуль від'ємної частини функції. Оскільки — невід'ємні вимірні функції то подане вище твердження справджується для них і відповідно для функції (очевидно тільки без монотонності).
Приклад
- Нехай , де — борелівська сигма-алгебра на , а — міра Лебега. Тоді функція
- проста, оскільки вона вимірна і приймає три різних значення.
Література
- Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Prosta funkciya v matematici vimirna funkciya zadana na deyakomu vimirnomu prostori mnozhina znachen yakoyi skinchenna ViznachennyaNehaj X F displaystyle X mathcal F vimirnij prostir Nehaj A 1 A n F displaystyle A 1 ldots A n in mathcal F de n N displaystyle n in mathbb N skinchenna poslidovnist vimirnih mnozhin Todi vimirna funkciya f X R C displaystyle f X to mathbb R mathbb C nazivayetsya prostoyu yaksho vona mozhe buti zapisana u vidi f x i 1 n a i 1 A i x x X displaystyle f x sum i 1 n a i mathbf 1 A i x x in X de a i R C 1 A i displaystyle a i in mathbb R mathbb C mathbf 1 A i indikator mnozhini A i i 1 n displaystyle A i i 1 ldots n Tobto dana funkciya ye linijnoyu kombinaciyeyu indikatoriv mnozhin ZamitkiYaksho X F W F displaystyle X mathcal F equiv Omega mathcal F jmovirnisnij prostir to prosta funkciya nazivayetsya prostoyu vipadkovoyu velichinoyu Yaksho X F m displaystyle X mathcal F mu prostir z miroyu f X R displaystyle f X to mathbb R prosta prichomu f x i 1 n a i 1 A i x x X displaystyle f x sum i 1 n a i mathbf 1 A i x x in X i m A i lt i 1 n displaystyle mu A i lt infty forall i 1 ldots n to f displaystyle f integrovna za Lebegom i X f d m i 1 n a i m A i displaystyle int limits X f d mu sum limits i 1 n a i mu A i VlastivostiSuma riznicya i dobutok dvoh prostih funkcij ye prostoyu funkciyeyu Spravdi yaksho f g displaystyle f g prosti funkciyi i A 1 A n F displaystyle A 1 ldots A n in mathcal F i B 1 B m F displaystyle B 1 ldots B m in mathcal F vidpovidni yim mnozhini z viznachennya prostih funkcij to na vsih mnozhinah A i B j i 1 n j 1 m displaystyle A i cap B j quad i in 1 n j in 1 m funkciyi f g f g f g displaystyle f cdot g f g f g ye stalimi Oskilki ochevidno kilkist takih mnozhin ye skinchennoyu to j dani funkciyi mayut skinchennu kilkist znachen Takozh mnozhennya prostoyi funkciyi na skalyar daye prostu funkciyu Otzhe mnozhina prostih funkcij viznachenih na deyakomu vimirnomu prostori utvoryuye komutativnu algebru nad polem dijsnih kompleksnih chisel Nastupna vlastivist vikoristovuyetsya dlya viznachennya integrala Lebega Dovilna nevid yemna vimirna funkciya f X R displaystyle f colon X to mathbb R ye monotonnoyi zrostayuchoyi poslidovnosti nevid yemnih prostih funkcij Spravdi nehaj f displaystyle f nevid yemna vimirna funkciya viznachena na prostori W F m displaystyle Omega mathcal F mu Dlya kozhnogo n N displaystyle n in mathbb N oblast znachen funkciyi f displaystyle f rozbivayemo na 2 2 n 1 displaystyle 2 2n 1 intervaliv nastupnim sposobom Nehaj 1 n k k 1 2 n k 2 n displaystyle mathbf 1 n k left frac k 1 2 n frac k 2 n right dlya k 1 2 2 2 n displaystyle k 1 2 ldots 2 2n i 1 n 2 2 n 1 2 n displaystyle mathbf 1 n 2 2n 1 2 n infty Dali mozhna viznachiti vimirni mnozhini A n k f 1 I n k displaystyle A n k f 1 I n k dlya k 1 2 2 2 n 1 displaystyle k 1 2 ldots 2 2n 1 Todi zrostayucha poslidovnist f n k 1 2 2 n 1 k 1 2 n 1 A n k displaystyle f n sum k 1 2 2n 1 frac k 1 2 n mathbf 1 A n k zbigayetsya do f displaystyle f pri n displaystyle n to infty dd Koli f displaystyle f ye obmezhenoyu zbizhnist ye rivnomirnoyu V zagalnomu vipadku dovilnu funkciyu mozhna zapisati u viglyadi riznici f f f displaystyle f f f de f displaystyle f dodatna a f displaystyle f modul vid yemnoyi chastini funkciyi Oskilki f f displaystyle f f nevid yemni vimirni funkciyi to podane vishe tverdzhennya spravdzhuyetsya dlya nih i vidpovidno dlya funkciyi f displaystyle f ochevidno tilki bez monotonnosti dd PrikladNehaj X F m R B R m displaystyle X mathcal F mu mathbb R mathcal B mathbb R m de B R displaystyle mathcal B mathbb R borelivska sigma algebra na R displaystyle mathbb R a m displaystyle m mira Lebega Todi funkciya f x 1 x gt 0 0 x 0 1 x lt 0 x R displaystyle f x left begin matrix 1 amp x gt 0 0 amp x 0 1 amp x lt 0 end matrix right x in mathbb R prosta oskilki vona vimirna i prijmaye tri riznih znachennya Funkciya Dirihle D x 1 x Q 0 x R Q displaystyle D x begin cases 1 amp x in mathbb Q 0 amp x in mathbb R setminus mathbb Q end cases LiteraturaRudin U Osnovy matematicheskogo analiza M 1976