Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:
де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.
Властивості
- Функція Діріхле є розривною в кожній точці своєї області визначення.
- Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом, проте є інтегровною за Лебегом.
- Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як границю послідовності неперервних функцій, але можна задати як границю границь послідовності неперервних функцій. Наприклад:
Інтеграли від функції Діріхле
Інтеграл Рімана
Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна
а верхня сума рівна
що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.
Інтеграл Лебега
Функція Діріхле є простою, тобто набуває скінченної кількості значень, тому маємо рівність для інтеграла в області
,
де позначає міру Лебега.
Оскільки як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkciya Dirihle funkciya viznachena na mnozhini dijsnih chisel sho nabuvaye znachennya 1 yaksho argument ye racionalnim chislom i znachennya 0 yaksho argument ye chislom irracionalnim Formalno viznachennya mozhna zapisati tak D x 1 x Q 0 x R Q displaystyle D x begin cases 1 amp x in mathbb Q 0 amp x in mathbb R setminus mathbb Q end cases de Q mnozhina racionalnih chisel a R mnozhina dijsnih chisel VlastivostiFunkciya Dirihle ye rozrivnoyu v kozhnij tochci svoyeyi oblasti viznachennya Funkciya Dirihle ne ye integrovnoyu za Rimanom prote ye integrovnoyu za Lebegom Funkciya Dirihle nalezhit do drugogo klasu Bera Tobto yiyi ne mozhna predstaviti yak granicyu poslidovnosti neperervnih funkcij ale mozhna zadati yak granicyu granic poslidovnosti neperervnih funkcij Napriklad D x lim m lim n cos 2 n m p x displaystyle D x lim m to infty lim n to infty cos 2n m pi x dd Integrali vid funkciyi DirihleIntegral Rimana Funkciya Dirihle ne ye integrovnoyu za Rimanom v zhodnij oblasti integruvannya oskilki dlya bud yakogo rozbittya Z na oblasti integruvannya vsi promizhki rozbittya x k 1 x k displaystyle left x k 1 x k right mistyat yak racionalni tak i irracionalni chisla i tomu nizhnya suma rivna U Z k 1 n x k x k 1 inf x k 1 lt x lt x k f x 0 displaystyle U Z sum k 1 n x k x k 1 cdot inf x k 1 lt x lt x k f x 0 a verhnya suma rivna O Z k 1 n x k x k 1 sup x k 1 lt x lt x k f x displaystyle O Z sum k 1 n x k x k 1 cdot sup x k 1 lt x lt x k f x sho dorivnyuye dovzhini oblasti integruvannya Oskilki dani tverdzhennya vikonuyutsya dlya bud yakogo rozbittya to granicya nizhnoyi sumi pri pryamuvanni dovzhini najbilshogo promizhku rozbittya do nulya ne rivna granici verhnoyi Otzhe funkciya ne ye integrovnoyu Integral Lebega Funkciya Dirihle ye prostoyu tobto nabuvaye skinchennoyi kilkosti znachen tomu mayemo rivnist dlya integrala v oblasti I R displaystyle I in mathbb R I D x d l x 0 l I R Q 1 l I Q displaystyle int I D x d lambda x 0 cdot lambda I cap mathbb R setminus mathbb Q 1 cdot lambda I cap mathbb Q de l x displaystyle lambda x poznachaye miru Lebega Oskilki l I Q displaystyle lambda I cap mathbb Q yak pidmnozhina racionalnih chisel maye miru nul to takozh ves integral rivnij nulyu I D x d l x 0 displaystyle int I D x d lambda x 0 Div takozhFunkciya Tome Spisok ob yektiv nazvanih na chest DirihleLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros