Міра Лебе́га на — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.
Побудова міри на прямій
Зовнішня міра
Для довільної підмножини числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину
. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини
, і називається зовнішньою мірою:
Варіанти позначення зовнішньої міри:
Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.
властивості зовнішньої міри
, де
— відкрита множина. Дійсно, достатньо як
взяти суму інтервалів, що утворюють покриття
, таку що
. Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.
Внутрішня міра
Якщо множина обмежена, то внутрішньою мірою множини
називається різниця між довжиною сегмента
, що містить
та зовнішньою мірою доповнення
в
:
Для необмежених множин, визначається як точна верхня грань
по всіх відрізках
.
Вимірні множини
Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається чи
.
Приклад невимірної множини
- Множина Віталі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував у 1905 році італійський математик Джузепе Віталі.
Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).
Див. також
Джерела
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Mira Lebe ga na R n displaystyle mathbb R n mira sho ye rozshirennyam miri Zhordana na shirshij klas mnozhin bula vvedena Lebegom v 1902 roci Pobudova miri na pryamijZovnishnya mira Dlya dovilnoyi pidmnozhini E displaystyle E chislovoyi pryamoyi mozhna znajti dovilnu kilkist riznih sistem skinchennoyi chi zlichennoyi kilkosti intervaliv ob yednannya yakih mistit mnozhinu E displaystyle E Nazvemo taki sistemi pokrittyami Suma dovzhin intervaliv sho vhodyat v pokrittya ye nevid yemnoyu i obmezhena znizu otzhe mnozhina dovzhin vsih pokrittiv maye tochnu nizhnyu gran Cya gran zalezhit tilki vid mnozhini E displaystyle E i nazivayetsya zovnishnoyu miroyu m E inf i D i displaystyle m E inf left sum i Delta i right Varianti poznachennya zovnishnoyi miri m E f E E displaystyle m E varphi E E Ochevidno sho zovnishnya mira dovilnogo intervala zbigayetsya z jogo dovzhinoyu vlastivosti zovnishnoyi miri E 1 E 2 m E 1 m E 2 displaystyle E 1 subseteq E 2 Longrightarrow m E 1 leqslant m E 2 E k 1 E k m E k 1 m E k displaystyle E bigcup k 1 infty E k Longrightarrow m E leqslant sum k 1 infty m E k E e gt 0 G E m G m E e displaystyle forall E varepsilon gt 0 exists G supseteq E colon m G leqslant m E varepsilon de G displaystyle G vidkrita mnozhina Dijsno dostatno yak G displaystyle G vzyati sumu intervaliv sho utvoryuyut pokrittya E displaystyle E taku sho i D i m E e displaystyle sum i Delta i leqslant m E varepsilon Isnuvannya takogo pokrittya viplivaye z viznachennya tochnoyi nizhnoyi grani Vnutrishnya mira Yaksho mnozhina E displaystyle E obmezhena to vnutrishnoyu miroyu mnozhini E displaystyle E nazivayetsya riznicya mizh dovzhinoyu segmenta a b displaystyle a b sho mistit E displaystyle E ta zovnishnoyu miroyu dopovnennya E displaystyle E v a b displaystyle a b m E b a m a b E displaystyle m E b a m a b setminus E Dlya neobmezhenih mnozhin m E displaystyle m E viznachayetsya yak tochna verhnya gran b a m a b E displaystyle b a m a b setminus E po vsih vidrizkah a b displaystyle a b Vimirni mnozhiniMnozhina nazivayetsya vimirnoyu za Lebegom yaksho yiyi zovnishnya i vnutrishnya miri odnakovi Todi yih spilne odnakove znachennya nazivayetsya miroyu mnozhini za Lebegom i poznachayetsya m E m E E displaystyle mE mu E E chi l E displaystyle lambda E Priklad nevimirnoyi mnozhini Mnozhina Vitali istorichno pershij priklad mnozhini sho ne maye miri Lebega nevimirna mnozhina Cej priklad opublikuvav u 1905 roci italijskij matematik Dzhuzepe Vitali Pobudova nevimirnoyi mnozhini na vidrizku bula b nemozhliva bez prijnyattya aksiomi viboru ne mozhna bulo b dopuskati mozhlivist vibirati predstavnika v kozhnomu klasi ekvivalentnosti Div takozhMira Zhordana Mira HausdorfaDzherelaHausdorf F Teoriya mnozhestv Moskva Leningrad 1937 304 s ISBN 978 5 382 00127 2 ros Aleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros