Ймовірнісний простір

Ймовірнісний простір — поняття, що його ввів А. М. Колмогоров в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Ймовірнісний простір — це трійка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, де

• ${\displaystyle \Omega \ }$ — довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, сама множина називається простором елементарних подій;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — сигма-алгебра підмножин ${\displaystyle \Omega \ }$, званих (випадковими) подіями;
• ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — ймовірнісна міра або ймовірність, тобто (сигма-адитивна скінченна міра), така що ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$.

Зауваження

• Елементарні події (елементи множини ${\displaystyle \Omega \ }$), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
• Кожна випадкова подія (елемент ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) — це підмножина ${\displaystyle \Omega \ }$. Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія ${\displaystyle A\subset \Omega }$, якщо (елементарний) результат експерименту є елементом ${\displaystyle A}$.

Вимога, що ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ є сигма-алгеброю підмножин ${\displaystyle \Omega \ }$, дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.

Скінченні ймовірнісні простори

Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай ${\displaystyle \Omega \ }$ — скінченна множина, що містить ${\displaystyle \ |\Omega |=n}$ елементів.

Як сигма-алгебру зручно узяти сімейство всіх підмножин ${\displaystyle \ \Omega }$. Його часто символічно позначають ${\displaystyle \ 2^{\Omega }}$. Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне ${\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }}$, що пояснює позначення.

Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:

${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{a}}{n}}}$,

де ${\displaystyle A\subset \Omega }$ та ${\displaystyle \ |A|=n_{a}}$ — число елементарних результатів, що належать ${\displaystyle \ A}$. Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:

${\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\quad \forall \omega \in \Omega .}$

Приклад

Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: ${\displaystyle \Omega =\{0,1\},\;{\mathcal {F}}=\{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset \}}$ і визначити ймовірність таким чином:

${\displaystyle \mathbb {P} (\{0\})={\frac {1}{2}},\quad \mathbb {P} (\{1\})={\frac {1}{2}},\quad \mathbb {P} (\{0,1\})=1,\quad \mathbb {P} (\emptyset )=0.}$

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)