Симетрична різниця множин

Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.

Симетрична різниця
Формула	${\displaystyle \displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=\{x|x\in A\mathbin {\dot {\lor }} x\in B\}}$
Позначення у формулі	${\displaystyle \mathbin {\vartriangle } }$, ${\displaystyle \setminus }$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle \mathbin {\dot {\lor }} }$
Нотація	⊖^[d]^[1]
Підтримується Вікіпроєктом
Симетрична різниця у Вікісховищі

Теоретико-множинні операції

${\displaystyle {\overline {A}}\;}$ доповнення

${\displaystyle A\cup B\;}$ об'єднання

${\displaystyle A\cap B\;}$ перетин

${\displaystyle A\setminus B\;}$ різниця

${\displaystyle A\triangle B\;}$ симетрична різниця

${\displaystyle A\times B\;}$ декартів добуток

В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.

Визначення

Симетричну різницю можна визначити двома способами:

• симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:

${\displaystyle (A\triangle B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

• симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.

${\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

Властивості

• Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані;
• Симетрична різниця є комутативною: ${\displaystyle A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;}$
• Симетрична різниця є асоціативною: ${\displaystyle \left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);}$
• Перетин множин  є дистрибутивним відносно симетричної різниці: ${\displaystyle A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);}$
• Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:  ${\displaystyle A\bigtriangleup \varnothing =A;}$
• Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці: ${\displaystyle A\bigtriangleup A=\varnothing ;}$
• Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою;
• ${\displaystyle \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин ${\displaystyle (A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B}$;
• Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:

${\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

• Зв'язок з операцією перетину множин такий:

${\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

Приклади

Діаграма Венна для симетричної різниці AΔB

1. Нехай

${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.}$

Тоді

${\displaystyle A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.}$

2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.

Див. також

• Множина
• Базис циклів

Примітки

1. http://mathworld.wolfram.com/SymmetricDifference.html

Література

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)