В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.
Доповнення множин | |
Головний предмет твору | d і d |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | |
Команда TeX | \complement |
Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).
Різниця множин (відносне доповнення)
Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.
Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).
Формально:
Приклади:
- {1,2,3} − {2,3,4} = {1}
- {2,3,4} − {1,2,3} = {4}
- Якщо - множина дійсних чисел, і - множина всіх раціональних чисел то є множиною ірраціональних чисел.
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення::
- C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
- C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
- C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
- (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
- (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
- A − A = Ø
- Ø − A = Ø
- A − Ø = A
Абсолютне доповнення
Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA:
- AC = U − A
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення:
- правила де Моргана:
- (A ∪B)C = AC ∩BC
- (A ∩B)C = AC ∪BC
- закони доповнення:
- A ∪AC = U
- A ∩AC = Ø
- ØC = U
- UC = Ø
- закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):
- ACC = A.
Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, AC } є поділом U.
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi mnozhin ta inshih galuzyah matematiki odna z osnovnih operacij na mnozhinah Dopovnennya mnozhin Golovnij predmet tvorud i d Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Komanda TeX complement Teoretiko mnozhinni operaciyi A displaystyle overline A dopovnennya A B displaystyle A cup B ob yednannya A B displaystyle A cap B peretin A B displaystyle A setminus B riznicya A B displaystyle A triangle B simetrichna riznicya A B displaystyle A times B dekartiv dobutok Rozriznyayut dopovnennya mnozhin absolyutne dopovnennya ta riznicyu mnozhin vidnosne dopovnennya Riznicya mnozhin vidnosne dopovnennya Yaksho A ta B mnozhini to rizniceyu mizh B ta A poryadok mnozhin vazhlivij abo vidnosnim dopovnennyam A do B ye mnozhina z elementiv B yaki ne nalezhat A Riznicya mnozhin ye binarnoyu operaciyeyu Vidnosne dopovnennya A do B B A A c B displaystyle B setminus A A c cap B Vidnosne dopovnennya A do B poznachayetsya yak B A takozh B A Formalno B A x x B x A displaystyle B A x x in B wedge x not in A Prikladi 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Yaksho R displaystyle mathbb R mnozhina dijsnih chisel i Q displaystyle mathbb Q mnozhina vsih racionalnih chisel to R Q displaystyle mathbb R mathbb Q ye mnozhinoyu irracionalnih chisel Nastupne tverdzhennya mistit osnovni vlastivosti operaciyi riznici mnozhin ta yiyi spivvidnoshennya z operaciyami ob yednannya ta peretinu mnozhin TVERDZhENNYa 1 Yaksho A B ta C ye mnozhini to spravedlivi taki spivvidnoshennya C A B C A C B C A B C A C B C B A A C C B B A C B C A B C A B A C B C A C A A O O A O A O AAbsolyutne dopovnennyaDopovnennya A do U A c U A displaystyle A c U setminus A Dlya universalnoyi mnozhini U vidnosne dopovnennya deyakoyi mnozhini A do U nazivayetsya absolyutnim dopovnennyam abo prosto dopovnennyam A i poznachayetsya yak AC abo CA AC U A Nastupne tverdzhennya mistit deyaki osnovni vlastivosti absolyutnogo dopovnennya ta zv yazok ciyeyi operaciyi z operaciyami ob yednannya ta peretinu mnozhin TVERDZhENNYa 2 Yaksho A ta B ye pidmnozhini U to vikonuyutsya taki spivvidnoshennya pravila de Morgana A B C AC BC A B C AC BC dd zakoni dopovnennya A AC U A AC O OC U UC O dd zakon podvijnogo dopovnennya operaciya dopovnennya ye involyuciyeyu ACC A dd Poperednye spivvidnoshennya tverdit sho yaksho A ye neporozhnya pidmnozhina U to A AC ye podilom U DzherelaKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros