Нескінченновимірний простір

Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів.

Нескінченновимірний простір
Названо на честь	^d
Досліджується в	лінійна алгебра
Is invariant under	^d
Є кількістю	базисний вектор^[d]
Нескінченновимірний простір у Вікісховищі

Визначення

Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа ${\displaystyle N>0}$ у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з ${\displaystyle N}$ векторів.

Базис

Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.

Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ утворює базис Шаудера простору ${\displaystyle E}$, якщо кожен елемент ${\displaystyle x\in E}$ можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$. Базис Шаудера існує не завжди.

Приклади

• Лінійний простір неперервних на даному проміжку функцій.
• Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ зі збіжною сумою квадратів ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$.
• Множина всіх многочленів.
• Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.
• ^[ru]

Властивості

• Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому скінченновимірному[8].

Див. також

• Скінченновимірний простір

Примітки

1. Функциональный анализ // ^[ru] / гл. ред. . — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613—615
2. Ефимов, 2004, с. 33.
3. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
4. Крейн, 1964, с. 74.
5. Шилов, 1961, с. 182.
6. Ефимов, 2004, с. 42.
7. Манин Ю. И. Математика как метафора. — М., МЦНМО, 2008. — . — с. 148
8. Ефимов, 2004, с. 39.

Література

• , Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М. : Физматлит, 2004. — 464 с. — .
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.
• під ред. Крейна С.Г. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1964. — 424 с. — 17500 прим.