Дуальний простір

Спря́жений простір — простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.

Лінійно-спяжений простір - означення

Простір всіх лінійних функціоналів на ${\displaystyle E}$ утворює лінійний простір. Це простір називається спряженим до ${\displaystyle E}$, він зазвичай позначається ${\displaystyle E^{*}}$.

Властивості

• У скінченновимірному випадку спряжений простір ${\displaystyle E^{*}}$ має ту ж розмірність, що і простір ${\displaystyle E}$.
• Якщо простір ${\displaystyle E}$ евклідів, тобто на ньому визначено скалярний добуток, то існує канонічний ізоморфізм між ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle E^{*}}$.
• Якщо простір ${\displaystyle E}$ гільбертів, то згідно з теоремою Ріса існує ізоморфізм між ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle E^{*}}$.
• У скінченновимірному випадку правильно також, що простір, спряжений до спряженого ${\displaystyle E^{**}}$, збігається з ${\displaystyle E}$ (точніше, існує канонічний ізоморфізм між ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle E^{**}}$).

Позначення

У скінченновимірному випадку звичайно елементи простору ${\displaystyle E}$ позначають вектором-стовпцем, а елементи ${\displaystyle E^{*}}$ — вектором-рядком. У тензорному численні застосовується позначення ${\displaystyle x^{k}}$ для елементів ${\displaystyle E}$ (верхній, або контраваріантний індекс) і ${\displaystyle x_{k}}$ для елементів ${\displaystyle E^{*}}$ (нижній, або коваріантний індекс).

Варіації і узагальнення

• У функціональному аналізі, під спряженим простором зазвичай розуміють простір неперервних лінійних функціоналів.
• Термін спряжений простір може мати інше значення для лінійних просторів над полем комплексних чисел: простір ${\displaystyle {\bar {E}}}$, що збігається з ${\displaystyle E}$ як дійсний лінійний простір, але з іншою структурою множення на комплексні числа:

  ${\displaystyle {\bar {c}}{\bar {x}}={\overline {cx}}}$

  • При наявності в просторі (наприклад, в гільбертовому просторі) лінійно- і комплексно-спряжені простори збігаються.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1980. — 495 с.