Лінійний функціонал

Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор (англ. linear form, linear functional, one-form, covector) в лінійній алгебрі — лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.

У ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців, то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків, а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок зліва та на вектор-стовпець справа. У загальному випадку, якщо ${\displaystyle V}$ є векторним простором над полем ${\displaystyle k}$, то лінійний функціонал ${\displaystyle f}$ є функцією з простору ${\displaystyle V}$ в поле ${\displaystyle k}$, яка є лінійною:

${\displaystyle f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})}$ для всіх ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V,}$

${\displaystyle f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})}$ для всіх ${\displaystyle {\vec {v}}\in V,}$ ${\displaystyle a\in k.}$

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору ${\displaystyle V}$ в поле ${\displaystyle k}$ (позначається як ${\displaystyle {\rm {Hom}}_{k}(V,k)}$) утворює векторний простір над полем ${\displaystyle k}$ з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору ${\displaystyle V}$, або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як ${\displaystyle V^{*}}$, ${\displaystyle V'}$ або ${\displaystyle V^{\vee }}$, якщо поле ${\displaystyle k}$ зафіксовано.

Формальне означення

Нехай ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем ${\displaystyle k}$. Відображення ${\displaystyle \varphi \colon V\to K}$ називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є

• однорідним,

${\displaystyle \forall c\in k\quad \forall \mathbf {x} \in V\quad \varphi (c\mathbf {x} )=c\varphi (\mathbf {x} ),}$

• адитивним,

${\displaystyle \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V\quad \varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} ).}$

Еквівалентною умовою є виконання рівності

${\displaystyle \forall c,d\in k\quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V\quad \varphi (c\mathbf {x} +d\mathbf {y} )=c\varphi (\mathbf {x} )+d\varphi (\mathbf {y} ).}$

Неперервні лінійні функціонали

Див. також: Лінійний неперервний оператор

Якщо ${\displaystyle V}$ — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо ${\displaystyle V}$ — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

Властивості лінійних форм

• Кожна лінійна форма є або тривіальною (рівною нулю для кожного вектора) або сюр'єктивною.
• Лінійна форма є неперервною тоді і тільки тоді, коли її ядро є замкнутою підмножиною. Абсолютне значення довільної лінійної форми над полем дійсних чи комплексних чисел є напівнормою на лінійному просторі, на якому вона визначена.

Приклади

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$, що рівна ${\displaystyle f(x,y,z)=x+2y+3z.}$
• ${\displaystyle I\colon C[a,b]\to \mathbb {R} }$, що рівна ${\displaystyle I(f)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.}$

Простір лінійних функціоналів

Множина ${\displaystyle {\rm {Hom}}_{k}(V,k)}$ всіх лінійних форм ${\displaystyle V\rightarrow K}$ утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм ${\displaystyle \varphi +\psi }$, і множення на скаляр ${\displaystyle c\varphi }$, що визначені поточково, тобто

${\displaystyle (\varphi +\psi )(\mathbf {x} )=\varphi (\mathbf {x} )+\psi (\mathbf {x} )}$

і

${\displaystyle (c\varphi )(\mathbf {x} )=c\varphi (\mathbf {x} ).}$

Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору ${\displaystyle V}$ і позначається ${\displaystyle V^{\star }.}$

Приклади і застосування

Лінійні функціонали в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Нехай вектори дійсного простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ представлені у вигляді вектор-стовпців

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Для будь-якого вектор-рядка ${\displaystyle [a_{1}\dots a_{n}]}$ існує лінійний функціонал ${\displaystyle f}$, визначений наступним чином:

${\displaystyle f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$

і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка ${\displaystyle [a_{1}\dots a_{n}]}$ і вектора-стовпця ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle f({\vec {x}})=\left[a_{1}\dots a_{n}\right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Інтегрування

Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

є лінійним функціоналом з векторного простору ${\displaystyle C[a,b]}$ неперервних на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ функцій у простір дійсних чисел. Лінійність ${\displaystyle I}$ випливає із стандартних властивостей інтегралу:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x=I(f)+I(g),\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,{\rm {d}}x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\alpha I(f).\end{aligned}}}$

Оцінка

Нехай ${\displaystyle P_{n}}$ — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня ${\displaystyle \leq n}$ визначених на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$. Якщо ${\displaystyle c\in [a,b]}$, тоді відображення ${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}\colon P_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ називається функціоналом оцінки

${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$

Відображення ${\displaystyle f\rightarrow f(c)}$ лінійне, оскільки

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c),\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$

Якщо ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ — ${\displaystyle n+1}$ різних точок відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, то функціонали оцінки ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},i=0,1,\dots ,n}$, утворюють базис спряженого до ${\displaystyle P_{n}}$ простору (Лакс, (1996) доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).

Застосування в інтегруванні

Функціонал ${\displaystyle I}$ визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі ${\displaystyle P_{n}}$ многочленів степеня ${\displaystyle \leq n}$. Якщо ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ — це ${\displaystyle n+1}$ різних точок у ${\displaystyle [a,b]}$, тоді є коефіцієнти ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$ для яких

${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n}),}$

для всіх ${\displaystyle f\in P_{n}}$. Це складає основу теорії чисельного інтегрування.

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}\colon f\rightarrow f(x_{i})}$ утворюють базис спряженого до ${\displaystyle P_{n}}$ простору.

Лінійні функціонали в квантовій механіці

Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.

Розподіли

У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.

Властивості лінійних функціоналів

• Будь-який лінійний функціонал ${\displaystyle L}$ є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ ${\displaystyle V}$ при відображені ${\displaystyle L}$ теж буде підпростором.
• Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.
• Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
• Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.

Зображення лінійних функціоналів

Геометрична інтерпретація 1-форми ${\displaystyle \alpha }$ як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які ${\displaystyle \alpha }$ відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина      проходить через початок координат.

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Гравітація by Misner, Thorne та Wheeler, (1973).

Спряжені вектори та білінійні форми

Лінійні функціонали (1-форми) ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ та їх сума ${\displaystyle \sigma }$ та вектори ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$, в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.

Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі ${\displaystyle V}$ породжує ізоморфізм ${\displaystyle V\rightarrow V^{*}}$ : ${\displaystyle v\rightarrowtail v^{*}}$ такий, що

${\displaystyle \displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall \,w\in V,}$

де білінійна форма на ${\displaystyle V}$ позначається як ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$ (наприклад, в евклідовому просторі ${\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}$  — скалярний добуток ${\displaystyle v}$ і ${\displaystyle w}$).

Оберненим ізоморфізмом є ${\displaystyle V^{*}\rightarrow V\colon v^{*}\rightarrowtail v}$, де ${\displaystyle v}$ єдиний елемент ${\displaystyle V}$ такий, що

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)\quad \forall \,w\in V.}$

Базис у скінченних розмірностях

Базис спряженого простору в скінченних розмірностях

Нехай векторний простір ${\displaystyle V}$ має базис ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}}$, необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір ${\displaystyle V^{*}}$ має базис ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$, який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {\text{якщо}} \ i=j,\\0&\mathrm {\text{якщо}} \ i\not =j.\end{matrix}}\right.}$

Або, більш коротко,

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i},}$

де ${\displaystyle \delta }$ — символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.

Лінійний функціонал ${\displaystyle {\tilde {u}}}$, що належить спряженому простору ${\displaystyle {\tilde {V}}}$, можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) ${\displaystyle u_{i}}$,

${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\tilde {\omega }}^{i}.}$

Тоді, застосувавши функціонал ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ до базисного вектора ${\displaystyle e_{j}}$, отримаємо

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]}$

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j}=u_{j}.}$

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

Спряжений базис та скалярний добуток

Якщо у просторі ${\displaystyle V}$ визначено ^[en], то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}}$ — базис простору ${\displaystyle V}$ (необов'язково ортогональний). Для розмірності три ${\displaystyle (n=3)}$ спряжений базис можна записати у явному вигляді:

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\left\langle {\sum \limits _{j=1}^{3}\sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle ,}$

для ${\displaystyle i=1,2,3}$, де ${\displaystyle \varepsilon }$ — символ Леві-Чівіта і ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$ — скалярний добуток у просторі ${\displaystyle V}$.

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

${\displaystyle \displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle ,}$

де ${\displaystyle \star }$ — оператор зірки Ходжа.

Див. також

• Лінійне відображення
• Спряжений простір
• ^[en]
• ^[en]
• ^[en]

Примітки

1. Lax, 1996
2. Rudin, 1991, Theorem 1.18

Література

• Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980), Chapter 4, Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, ISBN 
• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 
• Lax, Peter (1996), Linear algebra, Wiley-Interscience, ISBN 
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 
• Schutz, Bernard (1985), Chapter 3, A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN