Напівнорма або переднорма — узагальнення поняття норми; на відміну від норми напівнорма може бути рівною нулю на ненульових елементах простору.
Визначення
Напівнормою називається функція , у лінійному просторі над полем дійсних або комплексних чисел, що задовольняє наступним умовам:
- Абсолютна однорідність: для будь-якого скаляра
- Нерівність трикутника: для всіх
Простір називається напівнормованим простором.
Властивості
- Ця властивість одержується з першої умови визначення і рівності , тут перший нуль належить полю дійсних або комплексних чисел, а другий і третій — простору
- Ця властивість також є наслідком першої умови при .
- Якщо припустити існування такого , що , то з першої умови визначення одержується, що і . Скориставшись другою умовою одержуємо суперечність з першою властивістю.
Література
- Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Napivnorma abo perednorma uzagalnennya ponyattya normi na vidminu vid normi napivnorma mozhe buti rivnoyu nulyu na nenulovih elementah prostoru ViznachennyaNapivnormoyu nazivayetsya funkciya p L R displaystyle p colon L to mathbb R u linijnomu prostori L displaystyle L nad polem dijsnih abo kompleksnih chisel sho zadovolnyaye nastupnim umovam Absolyutna odnoridnist p a x a p x displaystyle p alpha x alpha p x dlya bud yakogo skalyara a displaystyle alpha Nerivnist trikutnika p x y p x p y displaystyle p x y leqslant p x p y dlya vsih x y L displaystyle x y in L Prostir L p displaystyle L p nazivayetsya napivnormovanim prostorom Vlastivostip 0 0 displaystyle p 0 0 Cya vlastivist oderzhuyetsya z pershoyi umovi viznachennya i rivnosti 0 0 0 displaystyle 0 cdot 0 0 tut pershij nul nalezhit polyu dijsnih abo kompleksnih chisel a drugij i tretij prostoru L displaystyle L p 0 p 0 0 0 p 0 0 displaystyle p 0 p 0 cdot 0 0 cdot p 0 0 dd p x p x displaystyle p x p x Cya vlastivist takozh ye naslidkom pershoyi umovi pri a 1 displaystyle alpha 1 p x 0 displaystyle p x geqslant 0 Yaksho pripustiti isnuvannya takogo x displaystyle x sho p x lt 0 displaystyle p x lt 0 to z pershoyi umovi viznachennya oderzhuyetsya sho i p x lt 0 displaystyle p x lt 0 Skoristavshis drugoyu umovoyu p 0 p x x p x p x lt 0 displaystyle p 0 p x x leqslant p x p x lt 0 oderzhuyemo superechnist z pershoyu vlastivistyu LiteraturaRudin U Funkcionalnyj analiz per s angl M 1975 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi