Замкнута множина

Для терміна «Замкнутість» див. інші значення.

За́мкнута множина́ — підмножина простору, доповненням до якої є відкрита множина.

Означення

Нехай дано топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$. Множина ${\displaystyle V\subset X}$ називається замкнутою відносно топології ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, якщо існує відкрита множина ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},}$ така що ${\displaystyle V=X\setminus U.}$

Приклади

• Весь простір ${\displaystyle X}$, а також порожня множина ${\displaystyle \emptyset }$ завжди замкнуті.
• Інтервал ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ замкнута в просторі раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
• об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle [a,b)}$ (при топології на ${\displaystyle \mathbb {R} }$)
• множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

• Відкрита множина
• Замикання (топологія)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)