Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:
скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа .
Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається .
Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.
Скалярний добуток на є прикладом білінійної форми..
Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється [en].
Якщо — поле комплексних чисел , тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є [en].
Координатне представлення
Нехай —
-вимірний векторний простір з базисом
.
Матрицю розмірності
, елементи якої визначаються як
, називають матрицею білінійної форми у базисі
.
- Якщо
— матриця
представляє вектор
у цьому базисі, аналогічно
відповідає іншому вектору
, то
де — квадратна матриця з елементами
.
- Якщо
деякий інший базис в
, де
— невироджена матриця, то
Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:
Відображення у спряжений простір
Будь-яка білінійна форма на просторі
визначає пару лінійних відображень з простору
у спряжений до нього простір
. Визначимо
як
Часто ці відображення позначається як
де вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).
Для скінченновимірного векторного простору , якщо будь-яке з відображень
або
є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму
називають [en]. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:
для усіх
передбачає, що
i
для усіх
передбачає, що
Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар
є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з
на
є множенням на 2.
Якщо простір — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір
з двічі спряженим простором
. Можна показати, що відображення
є [en] лінійного відображення
(якщо простір
нескінченновимірний, то
— транспонування
, обмежене образом простору
у просторі
). Для заданого відображення
можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином
Лівий і правий радикали білінійної форми є ядрами відображень
і
, відповідно; вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.
Якщо простір — скінченновимірний, тоді ранг відображення
дорівнює рангу відображення
. Якщо це значення дорівнює
, тоді відображення
і
є лінійними ізоморфізмами з простору
у простір
. У цьому випадку білінійна форма
є невиродженою. За [en] це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:
- Означення: Відображення
є невиродженим, якщо з умови
, яка виконується для всіх
, випливає, що
.
Для будь-якого лінійного відображення можна отримати білінійну форму
у просторі
як
Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення є ізоморфізмом.
Якщо простір є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору
, білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма
над полем цілих чисел.
Симетрична, кососиметрична та знакозмінна форми
Визначаємо білінійну форму як
- [en], якщо
для всіх
;
- [en], якщо
для всіх
;
- кососиметричну, якщо
для всіх
.
- Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.
- Доведення: Це можна побачити, розписавши
.
Якщо характеристика поля не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо
, то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.
Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при ).
Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення рівні (
), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком ((
). Якщо
, то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:
де — відображення транспоноване до
(визначене вище).
- Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо
:
або
.
- Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо
Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.
Симетрична білінійна форма
Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.
Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.
- Маючи білінійну форму
(не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
- І навпаки, маючи квадратичну форму
, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
Закон інерції
Похідна квадратична форма
Для будь-якої білінійної форми існує асоційована квадратична форма
, визначена як
.
Якщо , то квадратична форма
визначається симетричною частиною білінійної форми
і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.
Якщо і
, то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.
Рефлексивність та ортогональність
Означення: Білінійна форма називається рефлексивною, якщо із
випливає, що і
для всіх
.
Означення: Нехай — рефлексивна білінійна форма. Вектори
,
простору
є ортогональними відносно
, якщо
.
Білінійна форма є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична. За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор
з матричним представленням
знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням
, тоді і тільки тоді, коли
. Радикал — це завжди підпростір простору
. Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця
невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.
Нехай є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення як
Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення
дорівнює
.
Різні простори
Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле
Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору у простір
і з простору
у простір
. Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму
називають досконалим утворюванням пар.
У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, вигляду
є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні
.
Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку". Для їх визначення він використовує діагональні матриці , що мають лише
або
для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є симплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля
розлядаються поля дійсних чисел
, комплексних чисел
і кватерніонів
. Білінійна форма
називається дійсним симетричним випадком і позначається як , де
. Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.
Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.
Додатно визначений випадок називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса,
— простором Лоренца.
Якщо , то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.
Частинний випадок будемо називати розщепленим випадком.
Зв'язок з тензорним добутком
Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі і лінійними відображеннями
. Якщо
є білінійною формою у просторі
, то відповідне лінійне відображення визначається як
В іншому напрямку, якщо є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією
з білінійним відображенням
, яка відображає
у
.
Множина всіх лінійних відображень є спряженим простором для
, тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору
, який (для скінченновимірного простору
) канонічно ізоморфний простору
.
Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з (друга [en] простору
), і знакозмінні білінійні форм як елементи з
(друга зовнішня степінь простору
).
На нормованих векторних просторах
- Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі
є обмеженою, якщо існує константа
, що для всіх
- Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі
є еліптичною, або [en], якщо існує константа
, така, що для всіх
Узагальнення на модулі
Нехай задано кільце і правий
-модуль
та його [en]
, відображення
називається білінійною формою, якщо
для всіх , всіх
і всіх
.
Відображення відоме як [en], яке також називають канонічною білінійною формою на
.
Лінійне відображення індукує білінійну форму
, а лінійне відображення
індукує білінійну форму
.
І навпаки, білінійна форма індукує
-лінійні відображення
і
. Тут
позначає подвійний спряжений модуль для модуля
.
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)* Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 136, Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0768.00003
- Bourbaki, N. (1970), Algebra, Springer
- Cooperstein, Bruce (2010), Ch 8: Bilinear Forms and Maps, Advanced Linear Algebra, CRC Press, с. 249—88, ISBN
- Grove, Larry C. (1997), Groups and characters, Wiley-Interscience, ISBN
- Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0288.15002
- Harvey, F. Reese (1990), Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces, Spinors and calibrations, Academic Press, с. 19—40, ISBN
- Popov, V. L. (1987), , у Hazewinkel, M. (ред.), Encyclopedia of Mathematics, т. 1, Kluwer Academic Publishers, с. 390—392, архів оригіналу за 24 жовтня 2019, процитовано 6 травня 2021. Also: Білінійна форма, с. 390, на «Google Books»
- Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, т. I (вид. 2nd), ISBN
- Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 73, Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0292.10016
- Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press, ISBN
- Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), , , ISBN , архів оригіналу за 9 листопада 2014, процитовано 6 травня 2021
- Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ред.), Linear Algebra, Dover, ISBN
- Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principal Structures and Methods of Representation Theory, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Білінійна форма |
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bilinear form, Математична енциклопедія, , ISBN
- Bilinear form на PlanetMath
Примітки
- (PDF). 16 січня 2021. Архів оригіналу (PDF) за 22 січня 2021. Процитовано 6 травня 2021.
- Jacobson, 2009, с. 346.
- Zhelobenko, 2006, с. 11.
- Grove, 1997.
- Adkins та Weintraub, 1992, с. 359.
- Harvey, 1990, с. 22.
- Harvey, 1990, с. 23.
- Bourbaki, 1970, с. 233.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bilini jna fo rma bilinijnij funkcional bilinijna funkciya ce take vidobrazhennya dekartovogo kvadrata vektornogo prostoru V displaystyle V v skalyarne pole F displaystyle F sho ye linijnim za kozhnim zi svoyih argumentiv B V V F displaystyle B V times V to F skalyarne pole ce zazvichaj dijsni chisla R displaystyle R chi kompleksni chisla C displaystyle mathbb C B u u v B u v B u v displaystyle B boldsymbol u boldsymbol u boldsymbol v B boldsymbol u boldsymbol v B boldsymbol u boldsymbol v B u v v B u v B u v displaystyle B boldsymbol u boldsymbol v boldsymbol v B boldsymbol u boldsymbol v B boldsymbol u boldsymbol v B lu v B u lv lB u v displaystyle B lambda boldsymbol u boldsymbol v B boldsymbol u lambda boldsymbol v lambda B boldsymbol u boldsymbol v Bilinijna forma B v u displaystyle B boldsymbol v boldsymbol u nazivayetsya spryazhenoyu do formi B u v displaystyle B boldsymbol u boldsymbol v i poznachayetsya B displaystyle B Dlya vipadku kompleksnih chisel cikavishimi ye pivtoralinijni formi sho ye podibnimi do bilinijnih ale ye spryazheno linijnimi za odnim z argumentiv Skalyarnij dobutok na Rn displaystyle mathbb R n ye prikladom bilinijnoyi formi Oznachennya bilinijnoyi formi mozhna rozshiriti na moduli nad kilcem de linijne vidobrazhennya zaminyuyetsya en Yaksho K displaystyle mathbb K pole kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C todi chasto bilsh cikavimi ob yektami ye pivtoralinijni formi yaki podibni do bilinijnih form ale za odnim z argumentiv ye en Koordinatne predstavlennyaNehaj V Kn displaystyle V cong mathbb K n n displaystyle n vimirnij vektornij prostir z bazisom e1 en displaystyle boldsymbol e 1 dots boldsymbol e n Matricyu A displaystyle A rozmirnosti n n displaystyle n times n elementi yakoyi viznachayutsya yak Aij B ei ej displaystyle A ij B boldsymbol e i boldsymbol e j nazivayut matriceyu bilinijnoyi formi u bazisi e1 en displaystyle boldsymbol e 1 dots boldsymbol e n Yaksho n 1 displaystyle n times 1 matricya x displaystyle x predstavlyaye vektor v displaystyle boldsymbol v u comu bazisi analogichno y displaystyle y vidpovidaye inshomu vektoru w displaystyle boldsymbol w toB v w xTAy i j 1nxiaijyj displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w boldsymbol x rm T A boldsymbol y sum i j 1 n x i a ij y j de A displaystyle A kvadratna matricya z elementami aij B ei ej displaystyle a ij B e i e j Yaksho f1 fn displaystyle boldsymbol f 1 dots boldsymbol f n deyakij inshij bazis v V displaystyle V de S displaystyle S nevirodzhena matricya tofj i 1nSi jei displaystyle boldsymbol f j sum i 1 n S i j boldsymbol e i Todi pri perehodi do novogo bazisu matricya bilinijnoyi formi zminitsya na kongruentnu matricyu A STAS displaystyle A S T AS Vidobrazhennya u spryazhenij prostirBud yaka bilinijna forma B displaystyle B na prostori V displaystyle V viznachaye paru linijnih vidobrazhen z prostoru V displaystyle V u spryazhenij do nogo prostir V displaystyle V ast Viznachimo B1 B2 V V displaystyle B 1 B 2 colon V rightarrow V ast yak B1 v w B v w displaystyle B 1 boldsymbol v boldsymbol w B boldsymbol v boldsymbol w B2 v w B w v displaystyle B 2 boldsymbol v boldsymbol w B boldsymbol w boldsymbol v Chasto ci vidobrazhennya poznachayetsya yak B1 v B v displaystyle B 1 boldsymbol v B boldsymbol v cdot B2 v B v displaystyle B 2 boldsymbol v B cdot boldsymbol v de displaystyle cdot vkazuye na slot v yakij potribno pomistiti argument rezultuyuchogo linijnogo funkcionalu div karring Dlya skinchennovimirnogo vektornogo prostoru V displaystyle V yaksho bud yake z vidobrazhen B1 displaystyle B 1 abo B2 displaystyle B 2 ye izomorfizmom to todi obidva voni ye izomorfizmami i bilinijnu formu B displaystyle B nazivayut en Bilsh tochnishe dlya skinchennovimirnogo vektornogo prostoru nevirodzhenist oznachaye sho kozhen nenulovij element netrivialno poyednuyetsya z yakims inshim elementom B x y 0 displaystyle B x y 0 dlya usih y V displaystyle y in V peredbachaye sho x 0 displaystyle boldsymbol x 0 i B x y 0 displaystyle B x y 0 dlya usih x V displaystyle x in V peredbachaye sho y 0 displaystyle boldsymbol y 0 Vidpovidne ponyattya dlya modulya nad komutativnim kilcem polyagaye v tomu sho bilinijna forma ye unimodulyarnoyu yaksho vidobrazhennya V V displaystyle V rightarrow V ast ye izomorfizmom Nehaj zadano skinchennij porodzhenij modul nad komutativnim kilcem utvorennya par mozhe buti in yektivnim otzhe nevirodzhenim u navedenomu vishe rozuminni ale ne unimodulyarnim Napriklad dlya cilih chisel utvorennya par B x y 2xy displaystyle B x y 2xy ye nevirodzhenim ale neunimodulyarnim oskilki indukovane vidobrazhennya z V Z displaystyle V mathbb Z na V Z displaystyle V ast mathbb Z ye mnozhennyam na 2 Yaksho prostir V displaystyle V skinchennovimirnij todi mozhna ototozhnyuvati prostir V displaystyle V z dvichi spryazhenim prostorom V displaystyle V ast ast Mozhna pokazati sho vidobrazhennya B2 displaystyle B 2 ye en linijnogo vidobrazhennya B1 displaystyle B 1 yaksho prostir V displaystyle V neskinchennovimirnij to B2 displaystyle B 2 transponuvannya B1 displaystyle B 1 obmezhene obrazom prostoru V displaystyle V u prostori V displaystyle V ast ast Dlya zadanogo vidobrazhennya B displaystyle B mozhna viznachiti transponovane do nogo cherez bilinijnu formu nastupnim chinom tB v w B w v displaystyle rm t B boldsymbol v boldsymbol w B boldsymbol w boldsymbol v Livij i pravij radikali bilinijnoyi formi B displaystyle B ye yadrami vidobrazhen B1 displaystyle B 1 i B2 displaystyle B 2 vidpovidno voni ye vektorami ortogonalnimi do vsogo prostoru zliva ta sprava Yaksho prostir V displaystyle V skinchennovimirnij todi rang vidobrazhennya B1 displaystyle B 1 dorivnyuye rangu vidobrazhennya B2 displaystyle B 2 Yaksho ce znachennya dorivnyuye dim V displaystyle dim V todi vidobrazhennya B1 displaystyle B 1 i B2 displaystyle B 2 ye linijnimi izomorfizmami z prostoru V displaystyle V u prostir V displaystyle V ast U comu vipadku bilinijna forma B displaystyle B ye nevirodzhenoyu Za en ce ekvivalentno umovi sho livij ta pravij radikali budut trivialnimi Dlya skinchennovimirnih prostoriv ce chasto prijmayetsya yak oznachennya nevirodzhenosti Oznachennya Vidobrazhennya B displaystyle B ye nevirodzhenim yaksho z umovi B v w 0 displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w 0 yaka vikonuyetsya dlya vsih w displaystyle boldsymbol w viplivaye sho v 0 displaystyle boldsymbol v boldsymbol 0 Dlya bud yakogo linijnogo vidobrazhennya A V V displaystyle A colon V rightarrow V ast mozhna otrimati bilinijnu formu B displaystyle B u prostori V displaystyle V yak B v w A v w displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w A boldsymbol v boldsymbol w Cya forma bude nevirodzhenoyu todi i lishe todi koli vidobrazhennya A displaystyle A ye izomorfizmom Yaksho prostir V displaystyle V ye skinchennovimirnim todi vidnosno deyakogo bazisu prostoru V displaystyle V bilinijna forma ye virodzhenoyu todi i tilki todi koli viznachnik vidpovidnoyi matrici dorivnyuye nulyu Analogichno nevirodzhenoyu formoyu ye forma dlya yakoyi viznachnik asocijovanoyi matrici nenulovij matricya ye nesingulyarnoyu Ci tverdzhennya ne zalezhat vid vibranogo bazisu Dlya modulya nad komutativnim kilcem unimodulyarna forma ye formoyu dlya yakoyi viznachnik asocijovanoyi matrici dorivnyuye odinici napriklad 1 sho i obgruntovuye terminologiyu Zauvazhimo sho forma viznachnik yakoyi ne dorivnyuye nulyu ale ne ye odiniceyu bude nevirodzhenoyu ale ne unimodulyarnoyu napriklad forma B x y 2xy displaystyle B boldsymbol x boldsymbol y 2xy nad polem cilih chisel Simetrichna kososimetrichna ta znakozminna formiViznachayemo bilinijnu formu yak en yaksho B v w B w v displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w B boldsymbol w boldsymbol v dlya vsih v w V displaystyle boldsymbol v boldsymbol w in V en yaksho B v v 0 displaystyle B boldsymbol v boldsymbol v 0 dlya vsih v w V displaystyle boldsymbol v boldsymbol w in V kososimetrichnu yaksho B v w B w v displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w B boldsymbol w boldsymbol v dlya vsih v w V displaystyle boldsymbol v boldsymbol w in V Tverdzhennya Bud yaka znakozminna forma ye kososimetrichnoyu Dovedennya Ce mozhna pobachiti rozpisavshi B v w v w displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w boldsymbol v boldsymbol w Yaksho harakteristika polya K displaystyle mathbb K ne dorivnyuye 2 to spravedlivo i zvorotne tverdzhennya kozhna kososimetrichna forma ye znakozminnoyu Odnak yaksho char K 2 displaystyle operatorname char mathbb K 2 to kososimetrichna forma ye takoyu zh yak simetrichna forma i isnuyut simetrichni kososimetrichni formi yaki ne ye znakozminnimi Bilinijna forma ye simetrichnoyu vidpovidno kososimetrichnoyu todi i lishe todi koli yiyi koordinatna matricya vidnosno bud yakogo bazisu ye simetrichnoyu vidpovidno kososimetrichnoyu Bilinijna forma ye znakozminnoyu todi i tilki todi koli yiyi koordinatna matricya ye kososimetrichnoyu a diagonalni elementi dorivnyuyut nulyu ce viplivaye z kososimetrichnosti pri char K 2 displaystyle operatorname char mathbb K neq 2 Bilinijna forma ye simetrichnoyu todi i lishe todi koli vidobrazhennya B1 B2 V V displaystyle B 1 B 2 colon V rightarrow V ast rivni B1 v B2 v displaystyle B 1 boldsymbol v B 2 boldsymbol v i kososimetrichnoyu todi i lishe todi koli voni protilezhni za znakom B1 v B2 v displaystyle B 1 boldsymbol v B 2 boldsymbol v Yaksho char K 2 displaystyle operatorname char mathbb K neq 2 to bilinijnu formu mozhna rozklasti na simetrichnu ta kososimetrichnu chastini nastupnim chinom B 12 B tB B 12 B tB displaystyle B frac 1 2 B rm t B quad B frac 1 2 B rm t B de tB displaystyle rm t B vidobrazhennya transponovane do B displaystyle B viznachene vishe B 12 B B B B B displaystyle B pm frac 1 2 B pm B quad to quad B B B Simetrichna bilinijna forma nazivayetsya dodatnoviznachenoyu vid yemnoviznachenoyu yaksho x 0 displaystyle forall x neq 0 B x x gt 0 displaystyle B x x gt 0 abo B x x lt 0 displaystyle B x x lt 0 Dodatnoviznachena bilinijna forma zadovilnyaye vsi aksiomi skalyarnogo dobutku Simetrichna bilinijna formaSimetrichni bilinijni formi tisno pov yazani z kvadratichnimi formami Simetrichnu bilinijnu formu A x y nazivayut polyarnoyu do kvadratichnoyi formi A x x Matricya bilinijnoyi formi zbigayetsya z matriceyu polyarnoyi do neyi kvadratichnoyi formi v tomu zh bazisi Mayuchi bilinijnu formu B displaystyle B ne obov yazkovo simetrichnu otrimayemo kvadratichnu formu yak Q u B u u displaystyle Q boldsymbol u B boldsymbol u boldsymbol u I navpaki mayuchi kvadratichnu formu Q displaystyle Q vikoristavshi pravilo paralelograma otrimayemo asocijovanu z neyu simetrichnu bilinijnu formu B u v 14 Q u v Q u v displaystyle B boldsymbol u boldsymbol v frac 1 4 left Q boldsymbol u boldsymbol v Q boldsymbol u boldsymbol v right Zakon inerciyi Dokladnishe Zakon inerciyi SilvestraPohidna kvadratichna formaDlya bud yakoyi bilinijnoyi formi B V V K displaystyle B colon V times V rightarrow mathbb K isnuye asocijovana kvadratichna forma Q V K displaystyle Q colon V rightarrow mathbb K viznachena yak Q V K v B v v displaystyle Q colon V rightarrow mathbb K colon boldsymbol v mapsto B boldsymbol v boldsymbol v Yaksho char K 2 displaystyle operatorname char mathbb K neq 2 to kvadratichna forma Q displaystyle Q viznachayetsya simetrichnoyu chastinoyu bilinijnoyi formi B displaystyle B i ne zalezhit vid antisimetrichnoyi chastini U comu vipadku isnuye vzayemnoodnoznachna vidpovidnist mizh simetrichnoyu chastinoyu bilinijnoyi formi ta kvadratichnoyu formoyu i ye sens govoriti pro simetrichnu bilinijnu formu asocijovanu z kvadratichnoyu formoyu Yaksho char K 2 displaystyle operatorname char mathbb K 2 i dim V gt 1 displaystyle dim V gt 1 to takoyi vidpovidnosti mizh kvadratichnimi formami ta simetrichnimi bilinijnimi formami nemaye Refleksivnist ta ortogonalnistOznachennya Bilinijna forma B V V K displaystyle B colon V times V rightarrow mathbb K nazivayetsya refleksivnoyu yaksho iz B v w 0 displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w 0 viplivaye sho i B w v 0 displaystyle B boldsymbol w boldsymbol v 0 dlya vsih w v V displaystyle boldsymbol w boldsymbol v in V Oznachennya Nehaj B V V K displaystyle B colon V times V rightarrow mathbb K refleksivna bilinijna forma Vektori v displaystyle boldsymbol v w displaystyle boldsymbol w prostoru V displaystyle V ye ortogonalnimi vidnosno B displaystyle B yaksho B v w 0 displaystyle B boldsymbol v boldsymbol w 0 Bilinijna forma B displaystyle B ye refleksivnoyu todi i lishe todi koli vona simetrichna abo kososimetrichna Za vidsutnosti refleksivnosti nam dovoditsya rozriznyati livu ta pravu ortogonalnist U refleksivnomu prostori livij i pravij radikali spivpadayut i nazivayutsya yadrom abo radikalom bilinijnoyi formi pidprostir usih vektoriv ortogonalnih z bud yakim inshim vektorom Vektor v displaystyle boldsymbol v z matrichnim predstavlennyam x displaystyle x znahoditsya v radikali bilinijnoyi formi z matrichnim predstavlennyam A displaystyle A todi i tilki todi koli Ax 0 x A 0 displaystyle Ax 0 Leftrightarrow x top A 0 Radikal ce zavzhdi pidprostir prostoruV displaystyle V Vin trivialnij todi i tilki todi koli matricya A displaystyle A nevirodzhena i otzhe todi i tilki todi koli bilinijna forma ye nevirodzhenoyu Nehaj W displaystyle W ye pidprostorom Viznachimo ortogonalne dopovnennya yak W v B v w 0 w W displaystyle W bot left boldsymbol v mid B boldsymbol v boldsymbol w 0 forall boldsymbol w in W right Dlya nevirodzhenih bilinijnoyi formi na skinchennomirnomu prostori vidobrazhennya V W W displaystyle V W rightarrow W bot ye biyekciyeyu i rozmirnist ortogonalnogo dopovnennya W displaystyle W bot dorivnyuye dim V dim W displaystyle dim V dim W Rizni prostoriBilsha chastina teoriyi dostupna dlya bilinijnogo vidobrazhennya z dvoh vektornih prostoriv nad tim samim bazovim polem u ce pole B V V K displaystyle B colon V times V rightarrow mathbb K Tut vse she mayemo indukovani linijni vidobrazhennya z prostoru V displaystyle V u prostir W displaystyle W ast i z prostoru W displaystyle W u prostir V displaystyle V ast Mozhe trapitisya tak sho ci vidobrazhennya ye izomorfizmami pripuskayuchi skinchennovimirnist yaksho odne ye izomorfizmom inshe takozh maye buti izomorfizmom Koli ce vidbuvayetsya bilinijnu formu B displaystyle B nazivayut doskonalim utvoryuvannyam par U vipadku skinchennih rozmirnostej ce ekvivalentno tomu sho utvoryuvannya par ye nevirodzhenim prostori obov yazkovo mayut odnakovi rozmirnosti Dlya moduliv zamist vektornih prostoriv podibno do togo yak zaraz nevirodzhena forma ye slabshoyu za unimodulyarnu formu nevirodzhene utvoryuvannya par ye slabshim ponyattyam nizh doskonale utvoryuvannya par Utvoryuvannya par mozhe buti nevirodzhenim ne buduchi doskonalim Napriklad Z Z Z displaystyle mathbb Z times mathbb Z rightarrow mathbb Z viglyadu x y 2xy displaystyle x y mapsto 2xy ye nevirodzhenim ale indukuyetsya mnozhennya na 2 pri vidobrazhenni Z Z displaystyle mathbb Z rightarrow mathbb Z ast Terminologiya zminyuyetsya pri rozglyadi riznih bilinijnih form Napriklad F Riz Harvi obgovoryuye visim vidiv vnutrishnogo dobutku Dlya yih viznachennya vin vikoristovuye diagonalni matrici Aij displaystyle A ij sho mayut lishe 1 displaystyle 1 abo 1 displaystyle 1 dlya nenulovih elementiv Deyaki z vnutrishnih dobutkiv ye simplektichnimi formami a deyaki pivtoralinijnimi formami abo ermitovimi formami Zamist zagalnogo polya K displaystyle mathbb K rozlyadayutsya polya dijsnih chisel R displaystyle mathbb R kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C i kvaternioniv H displaystyle mathbb H Bilinijna forma k 1pxkyk k p 1nxkyk displaystyle sum k 1 p x k y k sum k p 1 n x k y k nazivayetsya dijsnim simetrichnim vipadkom i poznachayetsya yak R p q displaystyle mathbb R p q de p q n displaystyle p q n Potim vin formulyuye zv yazok iz tradicijnoyu terminologiyeyu Deyaki dijsni simetrichni vipadki duzhe vazhlivi Dodatno viznachenij vipadok R n 0 displaystyle mathbb R n 0 nazivayetsya evklidovim prostorom todi yak vipadok odnogo minusa R n 1 1 displaystyle mathbb R n 1 1 prostorom Lorenca Yaksho n 4 displaystyle n 4 to prostir Lorenca takozh nazivayut prostorom Minkovskogo abo prostorom chasom Minkovskogo Chastinnij vipadok R p p displaystyle mathbb R p p budemo nazivati rozsheplenim vipadkom Zv yazok z tenzornim dobutkomZgidno universalnoyi vlastivosti tenzornogo dobutku isnuye kanonichna vidpovidnist mizh bilinijnimi formami u prostori V displaystyle V i linijnimi vidobrazhennyami V V K displaystyle V otimes V rightarrow mathbb K Yaksho B displaystyle B ye bilinijnoyu formoyu u prostori V displaystyle V to vidpovidne linijne vidobrazhennya viznachayetsya yak v w B v w displaystyle boldsymbol v otimes boldsymbol w mapsto B boldsymbol v boldsymbol w V inshomu napryamku yaksho F V V K displaystyle F colon V otimes V rightarrow mathbb K ye linijnim vidobrazhennyam to vidpovidna bilinijna forma zadayetsya kompoziciyeyu F displaystyle F z bilinijnim vidobrazhennyam V V V V displaystyle V times V rightarrow V otimes V yaka vidobrazhaye v w displaystyle boldsymbol v boldsymbol w u v w displaystyle boldsymbol v otimes boldsymbol w Mnozhina vsih linijnih vidobrazhen V V K displaystyle V otimes V rightarrow mathbb K ye spryazhenim prostorom dlya V V displaystyle V otimes V tomu bilinijni formi mozhna rozglyadati yak elementi prostoru V V displaystyle V otimes V ast yakij dlya skinchennovimirnogo prostoru V displaystyle V kanonichno izomorfnij prostoru V V displaystyle V ast otimes V ast Tak samo simetrichni bilinijni formi mozhna rozglyadati yak elementi z Sym2 V displaystyle rm Sym 2 V ast druga en prostoru V displaystyle V ast i znakozminni bilinijni form yak elementi z 2V displaystyle wedge 2 V ast druga zovnishnya stepin prostoru V displaystyle V ast Na normovanih vektornih prostorahOznachennya Bilinijna forma na normovanomu vektornomu prostori V displaystyle V cdot ye obmezhenoyu yaksho isnuye konstanta C displaystyle C sho dlya vsih u v V displaystyle boldsymbol u boldsymbol v in V B u v C u v displaystyle B boldsymbol u boldsymbol v leq C boldsymbol u boldsymbol v Oznachennya Bilinijna forma na normovanomu vektornomu prostori V displaystyle V cdot ye eliptichnoyu abo en yaksho isnuye konstanta c gt 0 displaystyle c gt 0 taka sho dlya vsih u V displaystyle boldsymbol u in V B u u c u 2 displaystyle B boldsymbol u boldsymbol u geq c boldsymbol u 2 Uzagalnennya na moduliNehaj zadano kilce R displaystyle R i pravij R displaystyle R modul M displaystyle M ta jogo en M displaystyle M ast vidobrazhennya B M M K displaystyle B colon M times M rightarrow mathbb K nazivayetsya bilinijnoyu formoyu yaksho B u v x B u x B v x displaystyle B u v x B u x B v x B u x y B u x B u y displaystyle B u x y B u x B u y B ax xb aB u x b displaystyle B alpha x x beta alpha B u x beta dlya vsih u v M displaystyle u v in M ast vsih x y M displaystyle x y in M i vsih a b R displaystyle alpha beta in R Vidobrazhennya M M R u x u x displaystyle cdot cdot colon M ast times M rightarrow R colon u x mapsto u x vidome yak en yake takozh nazivayut kanonichnoyu bilinijnoyu formoyu na M M displaystyle M ast times M Linijne vidobrazhennya S M M u S u displaystyle S colon M ast rightarrow M ast colon u mapsto S u indukuye bilinijnu formu B M M R u x S u x displaystyle B colon M ast times M rightarrow R colon u x mapsto S u x a linijne vidobrazhennya T M M x T x displaystyle T colon M rightarrow M colon x mapsto T x indukuye bilinijnu formu B M M R u x u T x displaystyle B colon M ast times M rightarrow R colon u x mapsto u T x I navpaki bilinijna forma B M M R displaystyle B colon M ast times M rightarrow R indukuye R displaystyle R linijni vidobrazhennya S M M u x B u x displaystyle S colon M ast rightarrow M ast colon u mapsto x mapsto B u x i T M M x u B u x displaystyle T colon M rightarrow M ast ast colon x mapsto u mapsto B u x Tut M displaystyle M ast ast poznachaye podvijnij spryazhenij modul dlya modulya M displaystyle M Div takozhBilinijne vidobrazhennya Bilinijnij operator Prostir iz vnutrishnim dobutkom predgilbertovij prostir Linijna forma en Kvadratichna forma Pivtoralinijna forma en DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Adkins William A Weintraub Steven H 1992 Algebra An Approach via Module Theory Graduate Texts in Mathematics t 136 Springer Verlag ISBN 3 540 97839 9 Zbl 0768 00003 Bourbaki N 1970 Algebra Springer Cooperstein Bruce 2010 Ch 8 Bilinear Forms and Maps Advanced Linear Algebra CRC Press s 249 88 ISBN 978 1 4398 2966 0 Grove Larry C 1997 Groups and characters Wiley Interscience ISBN 978 0 471 16340 4 Halmos Paul R 1974 Finite dimensional vector spaces Undergraduate Texts in Mathematics Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 90093 3 Zbl 0288 15002 Harvey F Reese 1990 Chapter 2 The Eight Types of Inner Product Spaces Spinors and calibrations Academic Press s 19 40 ISBN 0 12 329650 1 Popov V L 1987 u Hazewinkel M red Encyclopedia of Mathematics t 1 Kluwer Academic Publishers s 390 392 arhiv originalu za 24 zhovtnya 2019 procitovano 6 travnya 2021 Also Bilinijna forma s 390 na Google Books Jacobson Nathan 2009 Basic Algebra t I vid 2nd ISBN 978 0 486 47189 1 Milnor J Husemoller D 1973 Symmetric Bilinear Forms Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete t 73 Springer Verlag ISBN 3 540 06009 X Zbl 0292 10016 Porteous Ian R 1995 Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 50 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55177 9 Shafarevich I R A O Remizov 2012 Springer ISBN 978 3 642 30993 9 arhiv originalu za 9 listopada 2014 procitovano 6 travnya 2021 Shilov Georgi E 1977 Silverman Richard A red Linear Algebra Dover ISBN 0 486 63518 X Zhelobenko Dmitriĭ Petrovich 2006 Principal Structures and Methods of Representation Theory Translations of Mathematical Monographs American Mathematical Society ISBN 0 8218 3731 1Vikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Bilinijna formaHazewinkel Michiel red 2001 Bilinear form Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Bilinear form na PlanetMathPrimitki PDF 16 sichnya 2021 Arhiv originalu PDF za 22 sichnya 2021 Procitovano 6 travnya 2021 Jacobson 2009 s 346 Zhelobenko 2006 s 11 Grove 1997 Adkins ta Weintraub 1992 s 359 Harvey 1990 s 22 Harvey 1990 s 23 Bourbaki 1970 s 233